第八章 立体几何初步（单元测试 能力提升）高一数学人教A版（2019）必修 第二册

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第八章 立体几何初步（能力提升）——高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为( )A. B.C. D.2.如图，在三棱锥中，，都为等边三角形，，，M为中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.03.设a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下面为真命题的是( )A.若，，，则B.对于空间中的直线l，若，，，，则C.若直线a上存在两点到平面的距离相等，则D.若，，则4.《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为( )A.224 B.448 C. D.1475.如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积是( )A.6 B.9 C.18 D.276.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，T是的中点，Q是内的动点，，则Q的轨迹长为( )A. B. C. D.7.如图，在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D.8.成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种“幄帐”示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为( )A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则( )A.圆台的高为4 B.圆台的母线长为4C.圆台的表面积为 D.球O的表面积为10.如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，若，，则( )A.直线与所成角的余弦值为B.二面角的大小为C.三棱锥的体积为D.直线与平面所成角的正弦值为11.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则( )A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直三棱柱中，，，则与所成角大小为_________.13.在一个棱长为的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为________________.14.如图所示，在三棱锥中，若，，E是的中点，则平面与平面的关系是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，F为棱上一点，且．(1)求证：平面(2)若，求绕直线旋转一周所得几何体的表面积．16.（15分）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段的中点，.(1)求证平面；(2)求与所成角的余弦值.17.（15分）如图1，已知是等边三角形，点M，N分别在，上，，，O是线段的中点.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）求证：（2）若，求点N到平面的距离.18.（17分）正方体的棱长为2，E，F，G分别是，，的中点。(1)求证：面；(2)求点G到平面的距离。19.（17分）如图，在四棱锥中，底面，若四边形为菱形，，，且E，F分别为，的中点(1)试判断直线与是否垂直，并说明理由；(2)若四棱锥的体积为，求异面直线与所成角的余弦值答案以及解析1.答案：D解析：如图所示，高线为，由方斗的容积为28升，可得，解得.由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得，，，侧面梯形面积为，所以方斗的表面积为.故选：D.2.答案：D解析：M为中点，取中点为N，连接，，如图所示，则，即为异面直线与所成角，，都为等边三角形，，，则，在中，，，，故.故选：D.3.答案：D解析：对于A：在长方体中，令平面是平面，平面为平面，直线为直线a，直线为直线b，显然，，，此时直线a，b是异面直线，a，b不平行，故A错误；对于B：当，，，时，只有a，b相交时才有，比如A选项的长方体中平面，平面，，，但是与平面不垂直，故B错误；对于C：若直线a上存在两点到平面的距离相等，则或a与相交，故C错误；对于D：如图：因为，过a作平面和平面交于n，则，而，故，又，故，故D正确.故选：D.4.答案：B解析：连接，交于点，连接，交于点，连接，过C作，如图，.因为“刍童”上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，所以底面，又，所以底面，所以是“刍童”，其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则，因为，所以，，易知四边形是等腰梯形，则，所以在中，，则，即“刍童”的高为12，则该刍童的体积.故选：B.5.答案：A解析：在长方体中，，连接交于点O，可得，又由平面，且面，所以，因为，且，平面，可得平面，所以四棱锥的高为，所以的体积.故选：A.6.答案：B解析：先找到一个平面总是保持与垂直，取，的中点E，F，连接，，.因为是正方形，所以.因为底面.所以.又，所以平面.所以.因为在中，，E为的中点，所以.又，所以平面.进一步.取，，的中点M，N，S，连接，，，，易证平面平面.故平面，记，又Q是内的动点，根据平面的基本性质得：点Q的轨迹为平面与平面的交线段，在中，，，，由余弦定理得：.故.故选：B.7.答案：B解析：如图所示，取中点E，连接，在上取F点满足，由题意易知为正三角形，则F点为的外接圆圆心，且，因为平面平面，平面平面，所以底面，底面，过F作，故三棱锥外接球的球心O在直线上，作交于G点，设，球半径为R，根据，易知，四边形为矩形，由勾股定理可知：，即，故其外接球表面积为.故选：B8.答案：B解析：如图，多面体中，取AB的中点C，做交MN于Q，做底面ABNM于E点，则E点在CQ上，且E点到BN，AM的距离相等，即，做于H点，连接EH，，则平面DHE，所以，所以坡面与底面所成二面角为，又，则平面DCE，所以，坡面与底面所成二面角为，所以正切值，不妨设，，可得斜脊，因为矩形宽，所以长为8，这样正脊，所以正脊与斜脊长度的比值为即.故选：B.9.答案：BCD解析：设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆如图，设圆台上、下底面圆心分别为，，半径分别为，则，O，共线，且，连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分，，故，，，，故，即，解得，母线长为，故B正确；圆台的高为，故A错误；圆台的表面积为，故C正确；球O的表面积为，故D正确.故选：BCD10.答案：AB解析：过A作，且，连接，如图，则四边形是平行四边形，即，，是直线与所成角或补角，因为，则，，而，，平面，所以平面，又因为平面，所以，，A正确；因为所以而，则是二面角的平面角，又因为，所以，即为正三角形，，B正确；因为平面，，所以平面平面，在平面内过点C作于O，于是得，，，，C错误；连接，因为，则是直线与平面所成角，，D错误；故选：AB.11.答案：ABD解析：对于，若，，，则，故A正确；对于B，若，，可得，又，则，故B正确；对于C，若，，，则、可能平行也可能相交，故C错误；对于D，，，如图所示，过空间一点作，且，作，且，则，，设，与确定的平面交直线c于点C，则，，所以，，又，所以，故四边形为矩形，，，所以，且，所以，故D正确.故选：ABD.12.答案：解析：设，设E是的中点，连接，，则，所以与所成角是或其补角，根据直棱柱的性质以及，可知，所以，所以三角形是等边三角形，所以，所以与所成角大小为.故答案为：13.答案：解析：如图：考虑小球O即在正四面体的一个角上时，做平面平面，为平面的中心，则.因为可得，所以，.由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近便得切点的轨迹仍为正三角形，因为，平分，所以，.因为正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，小球与一个面不能接触到的部分的面积为：.所以几何体的四个面永远不可能接触到容器的内壁的面积是.故答案为：.14.答案：垂直解析：因为，，E是的中点，所以由等腰三角形三线合一可知，，又，平面，平面，平面.又平面，平面平面.故答案为：垂直.15.答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)证明：因为，，所以，连接，因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面(2)因为四边形是等腰梯形，，所以．又，，所以，所以．又，，所以在平面中，作，，垂足分别为M，N，则，，又，从而，所以，所以绕直线旋转一周所得几何体的表面积是两个底面半径均为，高均为2的圆锥的侧面积之和，故所得几何体的表面积为．16.答案：(1)证明见解析；(2)与所成角的余弦值为.解析：(1)取的中点O，连接，，因为O，M分别为，的中点，，，由，且，，且，四边形为平行四边形，故，又平面，平面，平面；(2)因为，所以为直线与所成角，中，，直角梯形中，，，，，过F作，G为垂足，如图所示，则，，，，，所以为等腰三角形，则，中，，所以，中，，所以所以与所成角的余弦值为.17.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：因为是等边三角形，且，在中，可得，又点O是线段的中点，所以.因为平面平面，且平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.（2）由是等边三角形，，可得的高为，取的中点D，连接，，，，如图所示.因为，，可得，，所以的面积为，又平面，且，所以三棱锥的体积为.因为平面，平面，所以.在中，，，，所以，所以的面积为.设点O到平面的距离为d，因为，可得，解得.又由，且平面，平面，所以平面，则点N到平面的距离与点O到平面的距离相等，所以点N到平面的距离为.18.答案：(1)证明见解析；(2)解析：(1)连接，，，因为E，F分别是，的中点，由中位线定理得，又，所以，所以A，F，E，四点共面，由于G是AD的中点，则且那么四边形为平行四边形，从而，又面面故面，(2)由上问结论知点G到平面的距离等于点C到平面的距离，易得，，，利用余弦定理得则，设点C到平面的距离d，利用等体积法，可得，即点到平面的距离为.19.答案：(1)直线与不垂直，理由见解析；(2).解析：(1)直线与不垂直，证明如下：假设，连接，连接，由E，F分别为，的中点，得，由平面，得平面，而平面，则，又，，平面，于是平面，又平面，则，由四边形是菱形，得，因此，与矛盾，所以直线与不垂直(2)菱形中，，，则，菱形的面积，而平面，于是四棱锥的体积为，解得，由，平面，得，，，由，得或其补角即为异面直线与所成的角，在中，，由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为.