第八章 立体几何初步（单元测试 基础夯实）——高一数学人教A版（2019）必修 第二册

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第八章 立体几何初步（基础夯实）——高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A.两个平面 B.一条直线C.垂直 D.两个平面垂直于同一条直线2.有如下命题，其中错误的命题是( )A.若直线，且，则直线a与平面的距离等于平面，间的距离B.若平面平面，点，则点A到平面的距离等于平面，间的距离C.两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离D.两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离3.设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法对的是( )A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则4.在四棱锥中，底面为正方形，，，，则四棱锥的体积为( ).A. B. C. D.165.已知正四棱柱中，，，E为的中点，则直线与平面BED的距离为( )A.2 B. C. D.16.如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为( )A. B. C. D.7.空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是( )A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则8.已知四棱锥底面为正方形，平面，则( )A. B.C.平面 D.平面二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )A.若，，则直线a平行于平面内的无数条直线B.若，，，则a与b是异面直线C.若，，则D.若，，则a，b一定相交10.如图，在正方体中，M，N，P，Q分别是线段，，，BC的中点，给出下面四个结论：其中正确的序号为( )A.平面APC B.平面C.A，P，M三点共线 D.平面平面ABCD11.如图，已知正方体的棱长为a，则下列选项中正确的有( )A.异面直线与的夹角的正弦值为B.二面角的平面角的正切值为C.四棱锥的外接球体积为D.三棱锥与三棱锥体积相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，在四面体中，，，M、N分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为________.13.已知m，n为空间中两条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，则是的_____________条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）14.已知，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：①；②；③；④.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）在如图所示的几何体中，底面是正方形，四边形是直角梯形，，且四边形底面，E，G，F分别为，，的中点，，.(1)求证：平面平面；(2)求多面体的体积.16.（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，.(1)证明：；(2)若M为线段的靠近B点的四等分点，判断直线与平面是否相交？如果相交，求出P到交点H的距离，如果不相交，说明理由.17.（15分）如图，已知平面，点，点，点，且，，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面的交线与l有什么关系？证明你的结论.18.（17分）如图，在斜三棱柱中，点O、E分别是、的中点，与交于点F，平已知，.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.19.（17分）在如图所示的五面体中，四边形为直角梯形，，平面平面，，是边长为2的正三角形.（1）证明：平面；（2）证明：平面.答案以及解析1.答案：D解析：把命题改为“若p，则q”的形式为“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”，故命题的条件为“两个平面垂直于同一条直线”.2.答案：C解析：点到平面的距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面间的距离，所以ABD都正确，两条平行直线间距离不一定等于两个平行平面间的距离，所以C错误.故选C.3.答案：D解析：对于A中，由，，，，只有直线m与n相交时，可得，所以A不正确；对于B中，由，，，则l与m平行、相交或异面，所以B错误；对于C中，由，，，则，所以C错误；对于D中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确.故选：D.4.答案：C解析：过点P作底面，垂足为O，设E，F分别为，的中点，连接，，则点O在上.设，因为，，所以.，，.在中，，所以，解得，所以.故四棱锥的体积为.5.答案：D解析：线面平行，求线面距离可以转化为求点到面的距离，选用等体积法.平面，到平面BDE的距离等于A到平面BDE的距离，由题计算得，在中，，，边上的高，，，利用等体积法，得，解得.故选D.6.答案：A解析：，是异面直线CD与所成的角或其补角，在直角中，，，，所以，所以异面直线CD与所成的角是，故选：A.7.答案：B解析：对于选项A：若，，，则m，n可能异面，故A错误；对于选项B：若，，可知，且，所以，故B正确；对于选项C：若，，则m与不一定垂直，且，所以n与不一定垂直，故C错误；对于选项D：若，，，则可能有，故D错误，故选：B.8.答案：B解析：对于A选项，因为平面，平面，则，因为四边形为正方形，则，因为，、平面，所以，平面，因为平面，则，故为锐角，A错；对于B选项，因为平面，平面，则，B对；对于C选项，若平面，且平面，则、平行或重合，矛盾，假设不成立，C错；对于D选项，若平面，则与平面无公共点，这与平面矛盾，假设不成立，D错.故选：B.9.答案：AC解析：A中，，，则或，所以不管a在平面内还是平面外，都有结论成立，故A正确；B中，直线a与b没有交点，所以a与b可能异面，也可能平行，故B错误；C中，直线a与平面没有公共点，所以，故C正确；D中，直线a与平面有可能平行，故D错误，故选：AC10.答案：AB解析：平面APC即为平面，，，即，而平面，因此有平面，所以A正确.由平面平面，又平面，故平面，所以B正确.平面APC即为平面，共线，所以A，P，M三点不共线；所以C不正确.平面MNQ与平面ABCD是相交的.所以D不正确.故选：AB11.答案：ACD解析：对于A：因为，在中，就是异面直线所成的角，且，，则，故A正确；对于B：连接交于点O，连接，因为平面ABCD，BD平面ABCD，则BD，又因为，，，平面，可得平面，且平面，则，可知为二面角的平面角，在中，，故B错误；对于C，显然四棱锥的外接球即为正方体的外接球，因为正方体外接球的半径，所以正方体的外接球体积为，故C正确；对于D，因为，三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，故三棱锥与三棱锥体积相等，故D正确，故选：ACD.12.答案：5解析：取中点P，连接，，又因为，，M，N分别为，的中点，所以且，且，则为异面直线与所成的角（或补角），又因为异面直线与所成的角为，所以，所以，所以，故答案为：513.答案：充要解析：充分性：因为，，，所以m，n共面，又因为，为两个不同的平面，，所以，所以，故充分性成立；必要性：因为，，所以，又因为，所以，故必要性成立，所以是的充要条件.故答案为：充要.14.答案：①③④②（或②③④①）解析：，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同的直线，若①，③，则.又④，②.即①③④②.若②，③，则.又④，①.即②③④①.15.答案：(1)见解析(2)解析：(I)证明：E，G，F分别为，，的中点，，.又四边形是正方形，，.，平面，，平面，平面，平面.又，，平面，平面平面.(2)四边形是直角梯形，，，，.又四边形底面，平面平面，平面，平面，是四棱锥的高，.四边形是正方形，.平面，平面，.又，，平面.平面，即是三棱锥的高，，多面体的体积.16.答案：(1)证明见解析；(2)相交，解析：（1）连接，因为，，，，所以为等腰直角三角形，，，在中，由余弦定理得，即，所以，，.又平面，平面，.又，平面，平面，平面，.（2）过点P作直线，连接并延长交l于点H，因为，且，所以，所以P、H、C、D四点共面，所以点平面，所以点H为直线与平面的交点，易知，M为线段的靠近B点的四等分点，所以，所以.17.答案：见解析解析：平面ABC与的交线与l相交.证明如下：与l不平行，且，，与l一定相交.设，则，.又平面，平面，平面，平面.点P是平面ABC与平面的一个公共点，点C也是平面ABC与平面的一个公共点，且P，C是不同的两点，直线PC就是平面ABC与平面的交线，即平面平面，而，平面ABC与平面的交线与l相交.18.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：证明：（1）O，E分别是、的中点，与交于点F，，，，平面，平面，又，平面平面，平面，平面.（2）设点到平面的距离为d，，，，，，中，，，，，解得，设与平面所成角为，与平面所成角的正弦值为：.19.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）因为四边形为直角梯形，所以AB//CD，又平面CDEF，平面CDEF，所以AB//平面CDEF，又平面BAEF，平面平面，所以，又平面，平面，所以平面.（2）取的中点N，连接，，，，依题意易知，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以，因为平面平面，平面平面，，所以平面，，由（1）有：，所以，在和中，，，又，所以，所以.因为，，平面，所以平面.