沪科版（2024）八年级下册（2024）第18章 勾股定理及其逆定理18.2 勾股定理的逆定理测试题

这是一份沪科版（2024）八年级下册（2024）第18章 勾股定理及其逆定理18.2 勾股定理的逆定理测试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列每组数据是勾股数的一项是( )．
A. 1，1， 2B. 2，3，4C. 13，14，25D. 8，15，17
2.一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，则树顶端落在离树底部( )处．
A. 5mB. 7mC. 8mD. 10m
3.小迅家有一个长6dm，宽3dm，高4dm的长方体无盖鱼缸，一天他喂鱼时，不小心将一粒馒头屑掉在了鱼缸顶部的点B处，一只蚂蚁从鱼缸底部的点A处出发，想吃到鱼缸顶部B处的馒头屑，它爬行的最短路程是( )
A. 97dmB. (2 13+3)dmC. 13dmD. 9dm
4.已知a，b，c为△ABC的三边长，若满足|a−b|+ a2+b2−c2=0，则△ABC是( )．
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形
5.如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )
A. 10尺B. 11尺C. 12尺D. 13尺
6.用12根等长的火柴棒拼三角形(全部用上，不可折断、重叠)，关于下列说法正确的是( )．
甲：能拼成直角三角形；
乙：能拼成三种等腰三角形．
A. 只有甲对B. 只有乙对C. 甲乙都对D. 甲乙都不对
7.某城市规划局计划在一片矩形空地上建造一座纪念广场.为了增强广场的稳定性和美观性，设计师提出在矩形四边中点设置四根立柱，并用钢梁将这些立柱连接成一个四边形框架，工程师通过无人机测绘发现，原始矩形地块的对角线长度为150米.若用铝合金材料制作框架，每米造价为800元，问框架总预算至少需要多少万元( )
A. 24万元B. 30万元C. 48万元D. 60万元
二、填空题：
8.三角形两边分别是6和8，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是______．
9.如图，在长方形地面ABCD中，长AB=20m，宽AD=10m，中间竖有一堵高为2m的砖墙MN.一只蚂蚁从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要爬 m的路程．
10.如图，小岛A在港口B北偏东30°方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行15海里到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛A的距离为 海里．
11.我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推3m至C处时(即水平距离CD=3m)，踏板离地的垂直高度CF=2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是______m.
12.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是k，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC= ______°.
三、解答题：
13.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2−1，c=m2+1，那么a，b，c为勾股数.你认为对吗？如果对，请说明理由并利用这个结论得出一组勾股数．
14.如图，为了加固一个高2m、宽3m的大门，需在相对角的顶点间加一根木条，求木条的长度.(精确到0.1m)
15.已知：在▵ABC中，三条边长分别为a=n2−1，b=2n，c=n2+1n>1.求证：▵ABC为直角三角形．
16.编织一个底面周长为50cm、高为120cm的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？
17.如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点(网格线的交点)上．
(1)填空：AC= ______，AB= ______，BC= ______．
(2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】∵ 2不是整数，∴选项A不符合题意；∵22+32≠42，不是勾股数，∴选项B不符合题意；∵132+142≠252，不是勾股数，∴选项C不符合题意；∵82+152=172，是勾股数，∴选项D符合题意．故选D．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是勾股定理.首先根据题意画出相应的直角三角形，再利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，
根据题意有：AB=6m，AB+BC=16m，∠BAC=90°，
∴BC=10m，
在Rt△ABC中，AC= BC2−AB2= 102−62=8(m)，
∴树顶端落在离树底部8m处．
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：如图，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段AB= 92+42= 97(dm)；
故选：A．
利用勾股定理计算线段AB的长，进行比较即可．
本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道蚂蚁爬长方形的对角线长时，路径最短，关键确定长和宽，找到最短路径．
4.【答案】C
【解析】∵|a−b|+ a2+b2−c2=0，
∴a−b=0，a2+b2−c2=0，∴a=b，a2+b2=c2，
∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．
5.【答案】D
【解析】解：设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，
根据勾股定理得：x2+(102)2=(x+1)2，
解得：x=12，
芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺)，
故选D．
找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
6.【答案】A
【解析】3，4，5，为直角三角形；4，4，4，为等边三角形；5，5，2，为等腰三角形．故选A．
7.【答案】A
【解析】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线，
∴EF=12AC=75米，FG=12BD=75米，GH=12AC=75米，HE=12BD=75米，
∴框架的周长为：75×4=300米，
∴框架总预算为：300×800=240000元=24万元，
故选：A．
根据三角形中位线分别求出框架的各边长，进而求出框架的周长，计算即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
8.【答案】10或2 7
【解析】解：∵一个三角形的两边分别是6和8，
∴可设第三边为x，
∵此三角形是直角三角形，
∴当x是斜边时，x2=62+82，解得x=10；
当8是斜边时，x2+62=82，解得x=2 7．
故答案为：10或2 7．
根据勾股定理的逆定理分类讨论进行解答即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，解答此题时要注意分x是斜边或x是直角边两种情况进行讨论．
9.【答案】26
10.【答案】15 3
【解析】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．
利用直角三角形30度角的性质得出AB的长度，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意可知▵ABC是直角三角形，且∠A=30 ∘，BC=15，
∴AB=2BC=30，
利用勾股定理得，
AC= AB2−BC2= 302−152=15 3，
此时“远航号”与小岛A的距离为15 3海里．
故答案为：15 3．
11.【答案】3.25
【解析】解：由题意可知，DE=CF=2.5m，BE=0.5m，
BD=DE−BE=2.5−0.5=2m，
设AC的长为x(m)，则AB=AC=x(m)，
∴AD=AB−BD=(x−2)m，
在直角△ADC中，AD2+CD2=AC2，
又∵CD=3m，
(x−2)2+32=x2，
解得：x=3.25，
答：绳索AC的长是3.25m，
故答案为：3.25．
设AC的长为x m，则AB=AC=x(m)，故AD=AB−BD=(x−2)m，在直角△ADC中利用勾股定理即可求解．
本题考查勾股定理的实际应用，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键．
12.【答案】45
【解析】解：连接AC，
由题意得：AC2=k2+(2k)2=5k2，
BC2=k2+(2k)2=5k2，
AB2=k2+(3k)2=10k2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC= 5k，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
故答案为：45．
连接AC，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB=90°，再根据AC=BC= 5k，从而可得△ABC是等腰直角三角形，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13.【答案】解：正确.理由如下：
∵m表示大于1的整数，∴a，b，c都是正整数，且c是最大边．
∵2m2+m2−12=m2+12，∴a2+b2=c2，即a，b，c为勾股数．
当m=2时，可得一组勾股数3，4，5．

14.【答案】解：由勾股定理得：木条的长度= 22+32= 13≈3.6(m)．
答：木条的长度为3.6m．
【解析】由勾股定理求出木条的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用;熟练掌握勾股定理的实际应用是解决问题的关键．
15.【答案】证明 ∵a2+b2=n2−12+(2n)2
=n4−2n2+1+4n2
=n4+2n2+1
=n2+12=c2，
∴▵ABC为直角三角形.(勾股定理的逆定理)

16.【答案】解：将圆柱侧面展开，如图所示，

∵圆柱底面周长为50cm，高为120cm，
∴AB= 502+1202=130(cm)，
即每一根这样的竹条的长度最少是130cm．
【解析】将圆柱侧面展开，再根据勾股定理求出AB的长即可求解．
本题考查了平面展开−最短路径问题，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键．
17.【答案】 2 2 2 10
【解析】解：(1)由网格得，AC= 12+12= 2，AB= 22+22=2 2，BC= 12+32= 10，
故答案为： 2，2 2， 10；
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
由(1)知，AC= 2，AB=2 2，BC= 10，
∵AC2+AB2=( 2)2+(2 2)2=10，BC2=( 10)2=10，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
(1)利用勾股定理计算即可；
(2)利用勾股定理的逆定理判断即可；
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识是解题的关键．