初中数学沪科版八年级下册18.2 勾股定理的逆定理课后练习题

第18章　勾股定理

18.2　勾股定理的逆定理

基础过关全练

知识点1　勾股定理的逆定理

1.(2022安徽合肥瑶海期中)下列三条线段能组成直角三角形的是(　　)

A.a=4,b=5,c=6　　　　B.a=1.5,b=2,c=2.5

C.a=2,b=3,c=4　　　　D.a=1,b=,c=3

2.【教材变式·P59练习T1变式】以下列各组数(代数式)为长度的三条线段能构成直角三角形的是              (　　)

A.1,1,2                 B.(a+1)2,(a-1)2,4a(a>0)

C.4,6,8                 D.a-1,a+1;2(a>1)

3.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现想把它们摆成两个直角三角形,下列图形中正确的是              (　　)

A             B             C              D

4.如图,四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,DA=3,AC为一条对角线,若∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积为　　　　. 

5.【数形结合思想】(2022广西防城港防城期中)如图,在三角形纸片ABC中,AC=6 cm,BC=8 cm,AB=10 cm,折叠纸片使点B与点A重合,DE为折痕,将纸片展开铺平,连接AE.

(1)判断△ABC的形状,并说明理由;

(2)求AE的长.

知识点2　勾股数

6.下列各组数中,能称为勾股数的是 (　　)

A.1,,2　　　　B.1.5,2.5,2         C.9,12,15　　　　D.4,5,6

7.在学习“勾股数”的知识时,爱动脑的幸运同学发现了一组有规律的勾股数,并将它们记录在如下的表格中,则当a=24时,b+c的值为              (　　)

A.250　　　　B.288　　　　C.300　　　　D.574

能力提升全练

8.【学科素养·运算能力】(2018江苏南通中考,5,)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是              (　　)

A.3,4,5　　　　B.2,3,4

C.4,6,7　　　　D.5,11,12

9.(2021安徽蚌埠局属初中联考,9,)长度为a、b、c的三条线段:①a=2mn,b=m2-n2,c=m2+n2(m>n>0),②a=2n+1,b=2n2+2n+1,c=2n2+2n(n>0),③a=3k,b=4k,c=5k(k>0),④∶2,其中能构成直角三角形的有　(　　)

A.1组　　　　B.2组　　　　C.3组　　　　D.4组

10.(2021安徽舒城期中,15,)如图,每个小正方形的边长为1,则∠ABC的度数为　　　　. 

11.(2021浙江杭州中考,15,)如图,在直角坐标系中,以点A(3,1)为端点的四条射线AB,AC,AD,AE分别过点B(1,1),点C(1,3),点D(4,4),点E(5,2),则∠BAC　　　　∠DAE(填“>”“=”或“<”). 

12.(2021广西玉林中考,16,)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,则乙船沿　　　　方向航行. 

13.【学科素养·应用意识】【方程思想】(2022安徽蚌埠蚌山期中,18,)龙梅和玉荣是草原上的好朋友,可是有一次经过一场争吵之后,两人不欢而散,龙梅的速度是米/秒,如果她和龙梅同时停下来,而这时候她俩正好相距200米,那么她们两人走的方向是否成直角?如果她们现在想讲和,那么以原来的速度相向而行,多长时间后能相遇?

14.(2019河北中考,21,)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.

尝试　化简整式A.

发现　A=B2.求整式B.

联想　由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:

素养探究全练

15.【运算能力】我们知道,以3,4,5为边长的三角形是直角三角形,称3,4,5为勾股数组,记为(3,4,5),可以看作(22-1,2×2,22+1);同时8,6,10也为勾股数组,记为(8,6,10),可以看作(32-1,2×3,32+1).类似地,依次可以得到第三个勾股数组(15,8,17).

(1)请你根据上述勾股数组规律,写出第5个勾股数组;

(2)若设勾股数组中间的数为2n(n≥2,且n为整数),根据上述规律,请直接写出这组勾股数组.

答案全解全析

基础过关全练

1.B　42+52≠62,不能组成直角三角形,选项A错误;

1.52+22=2.52,能组成直角三角形,选项B正确;

22+32≠42,不能组成直角三角形,选项C错误;

1+<3,不能组成三角形,选项D错误.

2.D　∵1+1=2,∴选项A不能构成三角形;

∵(a-1)2+4a=(a+1)2,∴选项B不能构成三角形;

∵42+62≠82,∴选项C不能构成直角三角形;

∵(a-1)2+(2)2=(a+1)2,∴选项D能构成直角三角形.

3.C　∵72+202≠242,152+202=252,∴选项A不正确;

∵72+242=252,152+202≠242,∴选项B不正确;

∵72+242=252,152+202=252,∴选项C正确;

∵72+202≠252,242+152≠252,∴选项D不正确.

4.2+

解析　在Rt△ABC中,AC=.

在△ACD中,∵AC2=8,CD2=1,AD2=9,

∴AD2=AC2+CD2,

∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°,

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AC×CD

=.

5.解析　(1)△ABC是直角三角形.理由如下:

∵AC=6 cm,BC=8 cm,AB=10 cm,

∴AC2+BC2=62+82=102=AB2,

∴△ABC是直角三角形.

(2)由折叠可知AE=BE,设AE=BE=x cm,

则CE=(8-x)cm,在Rt△ACE中,根据勾股定理,得

62+(8-x)2=x2,解得x=,

∴AE= cm.

6.C　A.不是正整数,所以该组数不是勾股数,选项A不符合题意.

B.1.5,2.5不是正整数,所以该组数不是勾股数,选项B不符合题意.

C.由于92+122=152,且9,12,15都是正整数,所以该组数是勾股数,选项C符合题意.

D.由于42+52≠62,所以该组数不是勾股数,选项D不符合题意.

7.B　根据表格中数据可知,a2+b2=c2,c=b+2,

则a2+b2=(b+2)2,即a2=4b+4,

当a=24时,b=143,∴c=b+2=145,∴b+c=288.

能力提升全练

8.A　∵32+42=52,∴长为3,4,5的三条线段能组成直角三角形.故选A.

9.C  ①∵(m2-n2)2+(2mn)2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2

=(m2+n2)2,

∴能构成直角三角形;

②∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2,

∴能构成直角三角形;

③∵(3k)2+(4k)2=(5k)2,

∴能构成直角三角形;

④∵()2+()2=()2,

∴,,能构成直角三角形,但a,b,c不能构成直角三角形.

故能构成直角三角形的有3组.

10.45°

解析　如图,连接AC,由勾股定理得AC2=22+12=5,BC2=22+12=5,

AB2=12+32=10,

∴AC2+BC2=5+5=10=BA2,

∴△ABC是直角三角形,

∴∠ACB=90°.

∵AC=BC,

∴∠ABC=45°.

11.=

解析　如图,连接BC,DE,由图可知AB=2,BC=2,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∴∠BAC=45°.

AE=,DE=,AD=,

∴AE=DE,AE2+DE2=AD2,

∴△ADE是等腰直角三角形,

∴∠DAE=45°,

∴∠BAC=∠DAE.

12.北偏东50°

解析　由题意可知AP=12,BP=16,AB=20,

∵122+162=202,

∴△APB是直角三角形,∠APB=90°,

由题意知∠APN=40°,

∴∠BPN=90°-∠APN=90°-40°=50°.

∴乙船沿北偏东50°方向航行.

13.解析　龙梅走的路程=×4×60=120(米),

玉荣走的路程=×4×60=160(米),

∵1202+1602=2002,

∴她们走的方向成直角.

以原来的速度相向而行相遇的时间=200÷

=200÷(秒).

答:她们走的方向成直角,如果她们想讲和,按原来的速度相向而行,171秒后能相遇.

14.解析　尝试　A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.

发现　∵A=n4+2n2+1=(n2+1)2,A=B2,B>0,

∴B=n2+1.

联想　当2n=8时,n=4,∴n2+1=42+1=17.

当n2-1=35时,n2+1=37.

故勾股数组Ⅰ中B=17,勾股数组Ⅱ中B=37.

素养探究全练

15.解析　(1)第5个勾股数组为(35,12,37).

(2)勾股数组为n2-1,2n,n2+1.