数学18.2 勾股定理的逆定理优质课件ppt

这是一份数学18.2 勾股定理的逆定理优质课件ppt，文件包含辽宁省葫芦岛市普通高中2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷Word版含解析docx、辽宁省葫芦岛市普通高中2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. (重点)2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. (难点)
问题1 勾股定理的内容是什么?
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.
问题2 求以线段 a，b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长：
① a＝3，b＝4；② a＝2.5，b＝6；③ a＝4，b＝7.5.
思考 以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形，那可不可以通过边来判定直角三角形呢？
思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为 3，4，5，那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?
相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 8，15，17.问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 8，15，17.问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
32 + 42 = 52，满足.
a2 + b2 = c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能以部分代表整体.
问题4 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：命题 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2. 求证：△ABC 是直角三角形．
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′ = b，B′C′ = a，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C =∠C′ = 90°，即 △ABC 是直角三角形.
则 A′B′ 2=B′C′ 2 + A′C′2 = a2 + b2.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
例1 根据下列三角形的三边长 a，b，c 的值，判断△ABC 是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角.(1) a = 7，b = 24，c = 25； (2) a = 7，b = 8，c = 11.
解 (1) ∵ 72 + 242 = 252，∴ a2 + b2 = c2 .△ABC 是直角三角形，最大边 c 所对的角是直角 .
(2) ∵ 最大边是 c = 11，c2 = 121，a2 + b2 = 72+82 = 113，∴ a2 + b2≠c2. ∴ △ABC 不是直角三角形.
例2 如图，在正方形ABCD中，F 是 CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE ＝ CB，试判断 AF 与 EF 的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF. 理由如下：设正方形的边长为 4a， 则 EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在 Rt△ABE 中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2；在 Rt△CEF 中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2；在 Rt△ADF 中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.∴ 在 △AEF 中，AE2＝EF2＋AF2．∴ △AEF 为直角三角形，且 AE 为斜边．∴ ∠AFE＝90°，即AF⊥EF．
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数
注意 一组勾股数，都扩大相同的倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组新数同样是勾股数.
1．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的高为________．
【点拨】A.∵∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴2∠A＝180°.∴∠A＝90°.∴△ABC是直角三角形．故A不符合题意．B.∵AB∶BC∶AC＝3∶4∶5，∴设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k.∵AB2＋BC2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，AC2＝(5k)2＝25k2，∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC是直角三角形．故B不符合题意．
4．在如图所示的5×5的正方形网格中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，若△ABC为以AB为斜边的直角三角形，则这样的点C有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个
5. 对于平面直角坐标系内的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”为dPQ＝|x2－x1|＋|y2－y1|.已知不同的三点A，B，C满足dAC＝dAB－dBC，则下列四个结论中，不正确的是(　　)A．A，B，C三点可能构成锐角三角形B．A，B，C三点可能构成直角三角形C．A，B，C三点可能构成钝角三角形D．A，B，C三点可能构成等腰三角形
【点拨】不妨设C(0，0)，A(1，0)，B(x1，y1)，则dAC＝1，dBC＝|x1|＋|y1|，dAB＝|x1－1|＋|y1|，由dAC＝dAB－dBC，可知1＋|x1|＋|y1|＝|x1－1|＋|y1|，即1＋|x1|＝|x1－1|.当x1＝0，y1≠0时，1＋|x1|＝|x1－1|成立，此时△ABC为直角三角形，故B正确；当x1＝0，y1＝1时，△ABC为等腰三角形，故D正确；当x1＞0时，无解，故A不正确；当x1＜0时，∠BCA为钝角，且1＋|x1|＝|x1－1|成立，故C正确．
6．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2.
(1)求证：∠C＝90°；
【证明】如图，连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB.∴AE＝BE.又∵AE2－CE2＝BC2，∴BE2－CE2＝BC2.∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°.
(2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
8. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为___________．
【点拨】通过观察得：第①组勾股数为2×1＋1＝3，2×12＋2×1＝4，2×12＋2×1＋1＝5；第②组勾股数为2×2＋1＝5，2×22＋2×2＝12，2×22＋2×2＋1＝13；第③组勾股数为2×3＋1＝7，2×32＋2×3＝24，2×32＋2×3＋1＝25；第④组勾股数为2×4＋1＝9，2×42＋2×4＝40，2×42＋2×4＋1＝41；所以第⑤组勾股数为2×5＋1＝11，2×52＋2×5＝60，2×52＋2×5＋1＝61.
9．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝________．
如图②所示，当点D在CB的延长线上时，同理可得，DC＝16，∴BC＝CD－BD＝16－9＝7；∵AC>AB，∴点D不在BC的延长线上．综上所述，BC的长度为25或7.