初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）18.2 勾股定理的逆定理课后测评

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）18.2 勾股定理的逆定理课后测评，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组3个整数是勾股数的是( )
A. 4，5，6B. 6，8，9C. 13，14，15D. 8，15，17
2.一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，则树顶端落在离树底部( )处．
A. 5mB. 7mC. 8mD. 10m
3.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )
A. 12 mB. 10 mC. 13 mD. 8 m
4.甲、乙两人从同一地点出发，甲以40m/min的速度向北偏东40°方向直行，乙以30m/min的速度向南偏东50°方向直行，若他们同时出发，则5min后他们相距( )
A. 50mB. 70mC. 250mD. 350m
5.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且(a+c)(a-c)=b2，则( )
A. ∠A为直角B. ∠B为直角C. ∠C为直角D. ∠A是锐角
6.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a-5)2+|b-12|+ c-13=0，则△ABC( )．
A. 不是直角三角形B. 是以a为斜边的直角三角形
C. 是以b为斜边的直角三角形D. 是以c为斜边的直角三角形
7.如图，一圆柱高8 cm，底面半径2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是( )
A. 10 cmB. 12 cmC. 14 cmD. 无法确定
8.小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径长为 ( )
A. 16米B. 82米C. 146米D. 178米
二、填空题：
9.如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 米．
10.古代有“偃矩以望高”的测高方法，图1是测量工具“矩”，小亮同学利用“矩”测量某物体DE的高度(如图2).通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AB保持水平，且A，C，E三点在同一直线上，∠EDA=90°，BC=0.2米，若点B恰为线段AD的中点，则此物体的高度DE为______米.
11.如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2 3，AA1=2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC-A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于______．
12.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为5m，则所需彩带最短是______m.
13.如图，已知∠C=90°，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，则∠ABD=______．
14.已知△ABC三边长a，b，c满足 a-5+(b-12)2+|c-13|=0，则△ABC的形状是 ．
三、解答题：
15.如图，在6×7的网格中，点A，B在格点(网格线的交点)上．
(1)在图1中，找一格点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形．
(2)在图2中，作线段AB的垂直平分线．
16.如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm．
(1)求点A1到点C2之间的距离；
(2)若一只蚂蚁从长方体表面的点A2爬到点C1，请直接写出爬行的最短路程为______cm．
17.某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住.楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C=90°，AC=3m，AB=5m．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶.(假设地毯在铺的过程中没有损耗)
18.如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90 ∘，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．
(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
(2)如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？
19.通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题：
如图1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2，这个命题叫做勾股定理，在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理．
图1 图2
【初步应用】已知一个直角三角的一条直角边a=6，斜边c=10，求另一直角边b的值；
【深入探究】如图2，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12.求最大正方形E的面积．
【实际应用】有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查的是勾股定理.首先根据题意画出相应的直角三角形，再利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，
根据题意有：AB=6m，AB+BC=16m，∠BAC=90°，
∴BC=10m，
在Rt△ABC中，AC= BC2-AB2= 102-62=8(m)，
∴树顶端落在离树底部8m处．
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，画出图形，BC=5m ，如图：
设旗杆的高为：xm ，则绳子AC 的长为(x+1)m ，
在Rt△ ABC中，
由勾股定理得：BC2+AB2=AC2， ，
即52+x2=(x+1)2 ，
解得：x=12 ，
即旗杆的高为12m ．
4.【答案】C
【解析】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，
∴∠CAB=90°，
根据题意得，AC=40×5=200(m)，AB=30×5=150(m)，
∴BC= AC2+AB2= 2002+1502=250(m)，
故5min后他们相距250m．
故选：C．
根据方向角的概念求出∠CAB=90°，根据勾股定理求出BC的长，得到答案．
本题考查的是勾股定理的应用和方向角问题，正确运用勾股定理．善于观察题目得到直角三角形是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵(a+c)(a-c)=b2，
∴a2-c2=b2，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠A为直角，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质再结合二次根式的性质、勾股定理的逆定理等知识，正确得出a，b，c的值是解题关键．
直接利用绝对值以及偶次方的性质再结合二次根式的性质得出a，b，c的值，进而得出答案．
【解答】
解：∵(a-5)2+|b-12|+ c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：如图所示：
可以把A和B展开到一个平面内，
即圆柱的半个侧面是矩形：
矩形的长BC=4π2=2π≈6，矩形的宽AC=8，
在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6，
根据勾股定理得：AB≈ (2π)2+64=10．
8.【答案】B
【解析】解：如图：
AC=5+3=8，BC=8，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 82+82=8 2．
即从点A攀爬到点B的最短路径为8 2米．
故选：B．
将长方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而根据勾股定理求出AB的长．
本题考查了平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是先将图形展开，再根据两点之间线段最短然后利用勾股定理解答．
9.【答案】4
【解析】本题考查了勾股定理的应用；由勾股定理求出“路”长，再用两直角边和减去“路”长即可．
【详解】解：由题意知，“路”长= 122+52=13(米)，
则少走了：12+5-13=4(米)；
故答案为：4．
10.【答案】0.4
【解析】解：A，C，E三点在同一直线上，∠EDA=90°，BC=0.2米，点B恰为线段AD的中点，
∴AD=2AB，
∵∠CBA=∠EDA=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴BCDE=ABAD，
∴0.2DE=12，
解得DE=0.4，
故答案为：0.4．
证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的性质列式求解即可．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，正确进行计算是解题关键．
11.【答案】 19
【解析】解：如图1，将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内，连接MB1，
∵M是AC的中点，△ABC和△A1B1C1是等边三角形，
∴CM=12AC=12×2 3= 3，
∴BM=CM+BC=3 3，
在Rt△MBB1中，由勾股定理得：
B1M= BM2+B1B2= 31，
如图2，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，
则四边形AEFA1是矩形，ME⊥AB，
在Rt△AME中，∠MAE=60°，
∴ME=AM⋅sin60°= 3× 32=32，
AE=AM⋅cs60°= 32，
∴MF=ME+EF=32+2=72，
B1F=A1B1-A1F=3 32，
在Rt△MFB1中，由勾股定理得：
B1M= MF2+B1F2= 19，
如图3，连接B1M，交A1C1于点N，则B1M⊥AC，B1N⊥A1C1，
在Rt△A1NB1中，∠NA1B1=60°，
∴NB1=A1B1⋅sin60°=3，
∴B1M=NB1+MN=5，
∵ 19