沪科版（2024）八年级下册（2024）第18章 勾股定理及其逆定理18.2 勾股定理的逆定理同步练习题

这是一份沪科版（2024）八年级下册（2024）第18章 勾股定理及其逆定理18.2 勾股定理的逆定理同步练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A. 13，14，15B. 5，6，7C. 0.3，0.4，0.5D. 5，12，13
2.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A. 6米B. 9米C. 12米D. 15米
3.已知三角形的三边长为a、b、c，如果(a−5)2+|b−12|+c2−26c+169=0，则△ABC是( )
A. 以a为斜边的直角三角形B. 以b为斜边的直角三角形
C. 以c为斜边的直角三角形D. 不是直角三角形
4.下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中是直角三角形的是( )．
A. B.
C. D.
5.一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为6m.若梯子顶端下滑1m，那么梯子底端在水平方向上滑动了( )
A. 1mB. 小于1mC. 大于1mD. 无法确定
6.如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm(π=3)在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约( )
A. 10cmB. 12cmC. 19cmD. 20cm
二、填空题：
7.如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距3米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．
8.我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为x尺，高为y尺，那么可列方程组是 ．
9.如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，以AB为直径的半圆过点C，再分别以BC、AC为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 ．
10.小杰打算用铁丝制作一个长方体框架模型，如果这个长方体三条棱的长度分别为3厘米，5厘米和6厘米，那么需要铁丝的长度至少为______厘米．
11.已知▵ABC的三条中线AD、BE、CF相交于点G，AD=9,BE=12,CF=15，那么▵ABC的面积等于 ．
三、解答题：
12.如图，A、B、C三镇在天然气管道MN的同侧，现要在管道MN上修建两个泵站P、Q，P向A、B两镇供气，Q向B、C两镇供气.问两个泵站P、Q应修在管道什么位置，可使所用的输气管线最短？
13.有一块空白地，如图，∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，AB=26m，BC=24m，试求这块空白地的面积．
14.如图是一块四边形绿地的示意图，其中AB=24，BC=15，CD=20，DA=7，∠C=90 ∘.求此绿地ABCD的面积．
15.如图，在▵ABC中，BC= 10AB，直线l⊥AC，垂足为点D．
(1)如果点E在直线l上，且点E到∠BAC两边的距离相等(点E在∠BAC的内部)，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点E(不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点E)；
(2)在第(1)题的条件下，连结BE和CE，若S▵ABES▵ACE=13，请判断▵ABC的形状，并说明理由．
16.如图：已知，在四边形ABCD中，AB⊥BC于点B，AB=9，BC=12，CD=15，DA=15 2，求四边形ABCD的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解．
【详解】解：A.不是正整数，则13，14，15不是勾股数，故本选项不符合题意；
B.52+62≠72，则5，6，7不是勾股数，故本选项不符合题意；
C.不是正整数，则0.3，0.4，0.5不是勾股数，故本选项不符合题意；
D.因为52+122=169=132，所以5，12，13是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D．
2.【答案】B
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是绝对值、偶次方的非负性、勾股定理的逆定理、完全平方公式，
关键是证出a，b，c之间的关系．
根据给出的条件求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理来判定三角形的形状．
【解答】
解：∵(a−5)2+|b−12|+c2−26c+169=0，
∴(a−5)2+|b−12|+(c−13)2=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
故选C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的有关知识，根据勾股定理求出三角形的三边，然后根据勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】
解：由勾股定理得
A.三角形的三边分别为 22+12= 5，3， 22+22=2 2，
此时 52+2 22≠32，则该三角形不是直角三角形；
B.三角形的三边分别为 22+12= 5， 32+12= 10， 42+12= 17，
此时 52+ 102≠ 172，则该三角形不是直角三角形；
C.三角形的三边分别为 32+12= 10， 42+12= 17， 22+32= 13，
此时 102+ 132≠ 172，故该三角形不是直角三角形；
D.三角形的三边分别为 32+12= 10， 32+12= 10， 42+22=2 5，
此时 102+ 102=2 52，故该三角形是直角三角形．
5.【答案】C
【解析】根据题意作图，利用勾股定理即可求解．
【详解】根据题意作图如下，
AB=DE=10，
CB=6，BD=1
∴AC= 102−62=8
当梯子顶端下滑1m，
则CE=7，
CD= 102−72= 51
∴梯子底端在水平方向上滑动的距离是 51−6>1m
故选C．
6.【答案】A
【解析】解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．
根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．
故选A．
根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．
本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．
7.【答案】5
【解析】如图，由题意，得AB=6−2=4(米)，BC=3米，AB⊥BC．
由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=25，则AC=5米．
8.【答案】x+6.8=yx2+y2=102
【解析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．
设长方形门的宽x尺，则高是y尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【详解】解：设长方形门的宽x尺，高是y尺，根据题意得：
x+6.8=yx2+y2=102,
故答案为：x+6.8=yx2+y2=102．
9.【答案】30
【解析】根据勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，再根据面积的和差关系可求阴影部分的面积．
【详解】解：∵52+122=169=132，
∴△ABC是直角三角形，
S阴影=12π(122)2+12π(52)2−[12π(132)2−12×5×12]=30．
故答案为：30．
10.【答案】56
【解析】解：铁丝的长度=4×(3+5+6)=4×14=56厘米．
故答案为：56．
需要的铁丝的长度等于长方体的棱长之和．
本题主要考查的是立体图形的认识，掌握长方体的特点是解题的关键．
11.【答案】72
【解析】如图，首先把▵BDG绕点D作中心对称变换得到▵CDM，然后根据重心的性质可以分别得到CG=23CF=10,CM=BG=23BE=8,GM=2GD=13AD=6，由此利用勾股定理的逆定理可以证明▵GCM是直角三角形，即∠GMC=90 ∘，再利用三角形的面积公式求出S▵GCM，最后可以得到S▵BGC=S▵GCM=24，而S△ABC=3S△BGC，由此即可求解．
【详解】解：如图，把▵BDG绕点D作中心对称变换得到▵CDM，
∴CG=23CF=10,CM=BG=23BE=8,GM=2GD=23AD=6，
∵GM2+CM2=100=CG2，
∴▵GCM是直角三角形，即∠GMC=90 ∘，
∴S▵GCM=12CM⋅GM=24
∴S▵BGC=S▵GCM=24，
∴S▵ABC=3S▵BGC=72，
故答案为：72．
12.【答案】解：分别作点A、点C关于直线MN的对称点A′，C′，
连接A′B，C′B交直线MN于P，Q，
则点P、Q即为所求．
【解析】根据轴对称的性质即可得到结论．
本题考查了平面展开−最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
13.【答案】解：连接AC，
在Rt△ACD中，
∵CD=6m，AD=8m，
∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，
∴AC=10m，
在△ABC中，
∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676．
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
∴S空白=12AC·BC−12AD·CD=12×10×24−12×8×6=96(m2).
答：这块空白地的面积是96m2．
【解析】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理运用．
连接AC，根据勾股定理可求出AC的长，再证明△ACB为直角三角形，根据空白地的面积=△ABC面积−△ACD面积即可计算．
14.【答案】解：连接BD.如图所示：
∵∠C=90 ∘，BC=15，CD=20，
∴BD= BC2+CD2= 152+202=25；
在▵ABD中，
∵BD=25，AB=24，DA=7，
∴242+72=252，即AB2+AD2=BD2，
∴▵ABD是直角三角形．
∴S四边形ABCD=S▵ABD+S▵BCD
=12AB⋅AD+12BC⋅CD
=12×24×7+12×15×20
=84+150
=234；
即绿地ABCD的面积为234．

【解析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定▵ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角▵BCD的面积+直角▵ABD的面积．
15.【答案】【小题1】
解：如图，点E为所作；
【小题2】
解：▵ABC为直角三角形．
理由如下：
∵S▵ABES▵ACE=13，点E到∠BAC两边的距离相等，
∴ABAC=13，
即AC=3AB，
∵BC= 10AB，
∴AB2+AC2=AB2+9AB2=10AB2,BC2= 10AB2=10AB2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴▵ABC为直角三角形．

【解析】1.
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和勾股定理的逆定理．
作∠BAC的平分线交直线l于E点，根据角平分线的性质可判断E点满足条件；
2. 利用三角形面积公式可得到ABAC=13，即AC=3AB，然后利用勾股定理的逆定理可证明▵ABC为直角三角形．
16.【答案】解：∵AB⊥BC，AB=9，BC=12，
∴在Rt▵ABC中，AC= AB2+BC2=15，
∵CD=15，DA=15 2，
∴CD2=152=225，DA2=15 22=450，AC2=225，
∴CD2+AC2=DA2，
∴▵ACD为直角三角形，且∠ACD=90 ∘，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×9×12=54，
S△ACD=12AC⋅CD=12×15×15=2252，
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=54+2252=3332．

【解析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．先利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理逆定理判断▵ACD为直角三角形，且∠ACD=90 ∘，再分别求Rt▵ABC和Rt▵ACD的面积即可．