八年级下册（2024）第17章 一元二次方程及其应用17.2 一元二次方程的解法精练

这是一份八年级下册（2024）第17章 一元二次方程及其应用17.2 一元二次方程的解法精练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.用公式法解方程2x2−3x=1时，先求出a，b，c的值，则a，b，c依次是( )
A. 2，3，1B. 0，2，−3C. 2，3，−1D. 2，−3，−1
2.用配方法解一元二次方程4x2−4x=1，变形正确的是( )．
A. x−122=0B. x−122=12C. x−12=12D. x−12=0
3.如果关于x的方程(x−9)2=m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是 ( )
A. m>0B. m≥0C. m>−3D. m≥−3
4.若(x2+y2+2)(x2+y2−3)=6，则x2+y2=( )
A. −3B. 4C. −3或4D. −1或3
5.一元二次方程x2−2x=0的解是 ( )
A. x1=3，x2=1B. x1=2，x2=0
C. x1=3，x2=−2D. x1=−2，x2=−1
6.用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是( )
A. (x+4)2=−9B. (x+4)2=−7C. (x+4)2=25 D. (x+4)2=7
二、填空题：
7.若方程x2+px+q=0与方程2x+3x−5=0的解相同，则p= ，q= ．
8.若(m2+n2)(m2+n2−1)=12，求(m2+n2)的值为 ．
9.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m−4，则ba= ．
10.用配方法解方程x2−6x=1时，方程两边应同时加上 ，就能使方程左边配成一个完全平方式．
11.已知a>b>0，且2a+1b+3b−a=0，则ba=
三、解答题：
12.解方程：
(1)x2−6x+8=0；
(2)3x2−2x−2=0；
(3)(x−3)(x+1)=x−3．
13.解方程：
(1)(x−2)2−4=0
(2)x2−4x−5=0
(3)x2−10x+15=0
(4)(x−1)(x+2)=4
(5)x(x−3)=6−2x
(6)3x2−4x+1=0
14.已知(a+b+1)(a+b−1)=24，且(a−b+1)(a−b−1)=0.求a、b的值．
15.当x为何值时，代数式5x2−x的值与4x−2的值互为相反数？
16.用配方法解一元二次方程2x2+4x−1=0时，将它化为(x+a)2=b的形式，求a+b的值。
17.由多项式乘法：x+ax+b=x2+a+bx+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+a+bx+ab=x+ax+b．
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+2+3x+2×3=x+2x+3．
(1)尝试：分解因式：x2+6x+8= (x+ )(x+ )；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2−3x−4=0．
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
【解析】解：设t=x2+y2(t≥0)，则原方程转化为(t+2)(t−3)=6，
整理，得(t−4)(t+3)=0，
解得t1=4，t2=−3(舍去)．
则x2+y2=4．
故选：B．
设t=x2+y2(t≥0)，则原方程转化为(t+2)(t−3)=6，然后利用因式分解法解该方程求得t的值即可．
本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
5.【答案】B
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程有关知识，利用配方法进行解答即可．
【解答】
解：∵x2+8x+9=0，
∴x2+8x+16=16−9
∴x+42=7．
故选D．
7.【答案】−2
−15

8.【答案】4
【解析】设m2+n2=x，把原方程变形，求得x，即可得出(m2+n2)的数值．
【详解】解：设m2+n2=x，则原方程为xx−1=12，
整理得x2−x−12=0，
x+3x−4=0，
∴x+3=0，x−4=0，
解得x1=−3，x2=4，
∵m2+n2是非负数，
∴m2+n2=4．
故答案为：4．
9.【答案】4
10.【答案】9
11.【答案】−1+ 32
12.【答案】x1=2，x2=4；
x1=1+ 73,x2=1− 73；
x1=0，x2=3．
【解析】解：(1)x2−6x+8=0，
∴(x−2)(x−4)=0，
∴x−2=0或x−4=0，
∴x1=2，x2=4；
(2)3x2−2x−2=0，
∴a=3，b=−2，c=−2，
∴b2−4ac=(−2)2−4×3×(−2)=28，
∴x=−(−2)± 282×3=1± 73，
∴x1=1+ 73,x2=1− 73；
(3)(x−3)(x+1)=x−3
∴x2−2x−3=x−3，
∴x2−3x=0，
∴x(x−3)=0，
∴x=0或x−3=0，
∴x1=0，x2=3．
(1)根据因式分解法解一元二次方程，即可完成求解；
(2)根据公式法解一元二次方程，即可完成求解；
(3)先去括号，再移相，再根据因式分解法解一元二次方程，即可完成求解．
此题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
13.【答案】解：(1)(x−2)2−4=0，
(x−2)2=4，
x−2=±2，
∴x1=4，x2=0；
(2)x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
x−5=0或x+1=0，
∴x1=5，x2=−1；
(3)x2−10x+15=0，
x2−10x=−15，
x2−10x+25=−15+25，
(x−5)2=10，
x−5=± 10，
∴x1= 10+5，x2=− 10+5；
(4)(x−1)(x+2)=4，
x2+x−6=0，
(x+3)(x−2)=0，
x+3=0或x−2=0，
∴x1=−3，x2=2；
(5)x(x−3)=6−2x，
x(x−3)−(6−2x)=0，
x(x−3)−2(3−x)=0，
(x−3)(x+2)=0，
x−3=0或x+2=0，
∴x1=3，x2=−2；
(6)3x2−4x+1=0，
(3x−1)(x−1)=0，
3x−1=0或x−1=0，
∴x1=13,x2=1．
【解析】(1)先移项，再利用直接开平方法求解；
(2)直接利用因式分解法求解；
(3)先移项，再利用配方法求解；
(4)先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法求解即可；
(5)先移项，再利用因式分解法求解即可；
(6)直接利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，一般方法有：直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法，根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题的关键．
14.【答案】解：设x=a+b，则
(x+1)(x−1)=24，
整理，得
x2−1=24，
解得x1=5，x2=−5．
故a+b=5或a+b=−5．
设y=a−b，则
(y+1)(y−1)=0，
解得y1=−1或y1=1．
即a−b=1或a−b=1．
①当a+b=5a−b=1时，解得a=3b=2；
②当a+b=5a−b=−1时，解得a=2b=3；
③当a+b=−5a−b=1时，解得a=−2b=−3；
④当a+b=−5a−b=−1时，解得a=−3b=−2．
【解析】设x=a+b，则原方程转化为关于x的方程，通过解方程求得x的值即(a+b)的值；同理求得a−b的值，则易求a、b的值．
本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
15.【答案】由题意，得5x2−x+4x−2=0，即5x2+3x−2=0，
∴x=−3± 9+4010=−3±710，∴x1=−1，x2=25．
故当x=−1或25时，代数式5x2−x的值与4x−2的值互为相反数．

16.【答案】解：由2x2+4x−1=0得：
x2+2x=12
x2+2x+1=12+1
(x+1)2=32
∴a=1，b=32
∴a+b=52
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】【小题1】
2
4
【小题2】
解：∵x2−3x−4=x2+1−4x+1×−4=x+1x−4=0，
∴x+1=0或x−4=0，解得x1=−1，x2=4．