沪科版（2024）八年级下册（2024）17.2 一元二次方程的解法第2课时教案

这是一份沪科版（2024）八年级下册（2024）17.2 一元二次方程的解法第2课时教案，共5页。教案主要包含了 教学目标， 教学重难点，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
第2课时
一、 教学目标
1.理解配方法，会利用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程；
2.会利用配方法灵活地解决二次项系数不为1的一元二次方程；
3.通过不同方程的转化，获得解决问题的经验，体会数学中的转化思想；
4.经历由已知知识到新知识的探究过程，培养学生观察能力和运用所学过的知识解决问题的能力，使学生感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
二、 教学重难点
重点：用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程.
难点：灵活的运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
教师活动：请同学们跟随老师一起练习上节课内容，着重说明第（4）题的配方
互动方式：全班作答
1.解方程：
（1）；（2）；（3）；（4）
答：（1）x1=3， x2= – 3；（2）x1=0， x2=4；（3）x1=0， x2= – 6；（4）y1=9， y2= – 3
2. 填空：
(1)a2+2ab+b2=_______
(2)a2 – 2ab+b2=________
(3)x2 +mx+9是完全平方式，m=_________
(4)4x2 +12x+a是完全平方式，a=_________
预设答案：（1）(a+b)2；（2）(a – b)2；（3）±6；（4）9
教师活动：在问题2中讲解（3）（4）时，着重说明常数项是一次项系数一半的平方，注重演示及方法阐述.
设计意图：练习上节课的解方程问题，为后面内容做铺垫，结合前面学习过的完全平方公式来配方，为后面配方法解方程做方法铺垫.
环节二：探究新知
思考：(1)怎样解方程x2+2x–1=0?
预设答案：x2+2x–1=0
移项，得x2+2x=1
左边既不是单独的平方式，也不能直接化成平方式，所以这个方程，显然不能通过直接开平方来解.
思考：(2)能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式?
解：x2+2x–1=0
移项，得x2+2x=1
两边都加1，得 x2 + 2x +1= 1+1
即 (x + 1)2 = 2
直接开平方，得x+1=±2
所以原方程的根是x1=2−1，x2=−2−1
思考：(3)上述求解一元二次方程的思路是怎样的呢？
预设答案：解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2 = p(p≥0)的形式.
注意：左边是一个完全平方式，右边是个大于等于0的常数.
思考：(4)上面等式x2 + 2x +1= 1+1的左边常数项和一次项系数有什么关系？
预设答案：常数项是一次项系数一半的平方.
总结：二次项系数为1的完全平方式中，常数项是一次项系数一半的平方.
思考：(5)对于形如x2+ax的式子如何配成完全平方式？
预设答案：
练一练：参考上题的解题思路，尝试解方程： x2+6x+4=0.
预设答案：

追问：为什么在方程 x2+6x=-4的两边加上9，而不是别的数呢？
预设答案：要配成完全平方式，常数项是一次项系数的一半的平方，所以两边只能加上9.
归纳：像上面这样，通过配成完全平方形式，再直接开平方求解一元二次方程的方法，叫做配方法.
思考：如果一元二次方程的系数不为 1 ，我们应该怎样使用配方法去解方程呢？
预设答案：方程3x2 + 18x + 24 = 0两边同时除以二次项系数3，得到二次项系数为1的一元二次方程，从而求解.
归纳：在方程的两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1，再根据二次项系数为1的解法求解.
设计意图：通过经历由已知知识到新知识的探究过程，培养学生观察能力和运用所学过的知识解决问题的能力，使学生感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
环节三：应用新知
例1：用配方法解下列方程：
(1) x2 – 4x–1=0 (2) 2x2 – 3x–1=0
分析：(1)将常数项移到右边，左边配完全平方形式，再利用直接开平方法求解.
(2)先把x2的系数化为1，再将常数项移到右边，左边配完全平方形式，再利用直接开平方法求解.
解：(1) 移项，得x2 – 4x = 1
配方，得x2 – 2×2x +22=1+22
(x–2)2=5
开平方，得
所以原方程的根是
(2) 解：先把x2的系数化为1，即把原方程两边同除以2，得
移项，得
配方，得
开平方，得
所以原方程的根是.
讨论：根据上面的例题，请你归纳出用配方法解一元二次方程应有的步骤.
①化—二次项系数化为1，如果二次项系数不为1，将其化为1；
②移—移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③配—配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程边为(x + m)2 = p (p≥0)的形式；
④开—如果p≥0，就可左右两边开平方得x+m=±p；
⑤解—解两个一元一次方程得x=−m±p.
设计意图：从二次项系数为1到不为1的自然过渡，培养学生用已学的知识解决问题的能力.
环节四：课堂练习
互动方式：学生独自作答，老师展示书写好的过程.
1.填空：
(1) x2 –8x+( )2=(x–____)2
(2) y2 +5y+( )2=(y + ___)2
(3) x2 –x +( )2 =(x – ____)2
(4) x2 +px+( )2 =(x + ___)2
2.用配方法解下列方程
(1) x2 +x –1=0
(2) x2 –3x –2=0
(3) 2x2+5x –1=0
(4) 3x2 – 6x +1=0
答案：
1.（1）4，4（2）54，52（3）54，54；（4）p2，p2.
2.解：(1) 移项，得x2 +x=1
配方，得x2 +x+122=1+122
即(x+12)2=54
开平方，得x +12=±52
所以原方程的根是x1=−12+52，x2=−12−52
(2) 移项，得x2 –3x =2
配方，得x 2 –3x+322=2+322
即(x –32)2=174
开平方，得x –32=±172
所以原方程的根是x1=32+172，x2=32−172
(3) 两边同时除以2，得 x2+52x –12=0
移项，得x2+52x =12
配方，得x2+52x+542=12+542
即(x +54)2=3316
开平方，得x +54=±334
所以原方程的根是x1=−54+334，x2=−54−334
(4) 两边同时除以3，得x2 –2x+13=0
移项，得x2 –2x =−13
配方，得x2 –2x+12=−13+12
即(x –1)2=23
开平方，得x –1=±63
所以原方程的根是x1=1+63 ，x2=1−63
设计意图：进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五：课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.