数学八年级下册（2024）17.2 一元二次方程的解法一课一练

这是一份数学八年级下册（2024）17.2 一元二次方程的解法一课一练，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.方程x2=3x的解是( )
A. x=3B. x=−3C. x=0D. x=3或x=0
2.解方程x2+8x+ x2+8x−11=23，若设y= x2+8x−11，则原方程可化为( )．
A. y2+y+12=0B. y2+y−23=0C. y2+y−12=0D. y2+y−34=0
3.关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的一个根是0，则a的值( )
A. 1或−1B. 12C. 1D. −1
4.用配方法解一元二次方程x2−6x+8=0，配方后得到的方程是( )
A. x+62=28B. x−62=28C. x+32=1D. x−32=1
5.方程x2+3x=14的根是( )．
A. x=3± 652B. x=−3± 652C. x=3± 232D. x=−3± 232
6.用配方法解一元二次方程2x2−3x−1=0，配方正确的是( )
A. (x−34)2=1716B. (x−34)2=12C. (x−32)2=134D. (x−32)2=114
二、填空题：
7.方程x2−2x=0的解为 ．
8.一元二次方程x2−81=0的解是 ．
9.将一元二次方程x2−6x+4=0配方后可得x+m2=n，那么m−n= ．
10.若实数x满足x2+xx2+x+1=42，则x2+x= ．
11.若一元二次方程的根为x=−3± 32−4×2×12×2，则该一元二次方程可以为 ．
三、解答题：
12.解方程：2x+3+6x2−9=1x−3+1．
13.解方程：2(x−1)2=98．
14.用配方法解方程：3x2+6x−1=0．
15.已知m、n为实数，且(m2+n2)(m2+n2−2)=15，求m2+n2的值．
16.小海同学解一元二次方程4x2−3 2x=18的过程如下：
解：a=4，b=−3 2，c=18①
Δ=b2−4ac=(−3 2)2−4×4×18=16②
x=−b± Δ2a=−3 2± 168③
x=−3 2+48或x=−3 2−48④
所以，原方程的根是x1=−3 2+48，x2=−3 2−48.⑤
(1)小海的求解过程从______步开始出现错误．
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：x2−3x=0，
x(x−3)=0，
x=0或x−3=0，
所以x1=0，x2=3．
先移项得x2−3x=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．先对已知方程进行变形为x2+8x−11+ x2+8x−11−12=0，然后用y代替方程中的 x2+8x−11．
【解答】
解：由已知方程，得
x2+8x−11+ x2+8x−11−12=0，
设y= x2+8x−11，
则y2+y−12=0．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】本题考查了一元二次方程的概念与根的概念以及解一元二次方程，关键是掌握以上概念，本题要注意二次项系数不为零，将根代入后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：将x=0代入方程得a2−1=0，
∴a=±1，
∵a−1≠0，
∴a=−1
故选：D．
4.【答案】D
【解析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即−622计算即可．
【详解】∵x2−6x+8=0，
∴x2−6x+8+−622=−622，
∴x2−6x+−32=9−8，
∴x−32=1，
故选D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了用公式法解一元二次方程，求根公式为：x=−b± b2−4ac2a．
解答此题直接利用公式法解答即可．
【解答】
解：x2+3x−14=0，
a=1，b=3，c=−14，
b2−4ac=9+56=65，
∴x=−3± 652．
6.【答案】A
【解析】解：由原方程，得
x2−32x=12，
x2−32x+916=12+916，
则(x−34)2=1716，
故选A．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为1，等式两边同时加上一次项系数−32的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
7.【答案】x1=0，x2=2
【解析】把方程的左边分解因式得x(x−2)=0，得到x=0或x−2=0，求出方程的解即可．
解：x2−2x=0，
x(x−2)=0，
x=0或x−2=0，
x1=0 或x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
8.【答案】x1=9，x2=−9
【解析】用直接开方法解方程即可．
【详解】∵x2−81=0，
∴x2=81，
∴x=±9，
∴x1=9，x2=−9，
故答案为：x1=9，x2=−9
9.【答案】−8
【解析】本题考查了配方法解一元二次方程，求代数式的值，关键是配方后求出m与n的值；方程两边加5，配方得(x−3)2=5，即可得m与n的值，再代入代数式中即可求解．
【详解】解：方程两边加5，得：x2−6x+9=5，
配方得(x−3)2=5，
∴m=−3,n=5，
∴m−n=−3−5=−8；
故答案为：−8．
10.【答案】6
【解析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．设x2+x=y，则原方程换元为yy+1=42，即y2+y−42=0，可得y1=6,y2=−7，即可求解．
【详解】设x2+x=y，则原方程换元为yy+1=42，即y2+y−42=0，
∴y−6y+7=0，
解得：y1=6,y2=−7，
即x2+x=6或x2+x=−7(无实数根，舍去)，
∴x2+x=6．
故答案为：6．
11.【答案】2x2+3x+1=0
【解析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若其有实数根，那么其实数根为x=−b± b2−4ac2a，据此结合题意得到a=2，b=3，c=1，即可得到答案．
【详解】解：设关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0a≠0，
∵一元二次方程的根为x=−3± 32−4×2×12×2，
∴a=2，b=3，c=1，
∴该一元二次方程可以为2x2+3x+1=0，
故答案为：2x2+3x+1=0．
12.【答案】x=−2．
【解析】解：2x+3+6x2−9=1x−3+1，
方程两边同时乘(x+3)(x−3)，得2(x−3)+6=x+3+(x+3)(x−3)，
去括号，得2x−6+6=x+3+x2−9，
移项、合并同类项，得x2−x−6=0，
∴(x+2)(x−3)=0，
∴x=−2或x=3，
检验：把x=3代入(x+3)(x−3)=0，
∴x=3是原分式方程的增根．
把x=−2代入(x+3)(x−3)≠0，
∴分式方程的解为x=−2．
根据解分式方程的方法，方程两边同时乘(x+3)(x−3)，得出整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解一元二次方程的方法，解分式方程的方法是解题的关键．
13.【答案】解：(x−1)2=49；
x−1=±7，
x1=−6，x2=8．
【解析】首先将方程两边同时除以2，然后用直接开平方法求解即可．
此题主要考查了用直接开平方法求一元二次方程解的方法，需注意的是在开平方的过程中，方程右边的常数项(正数)有两个平方根，它们互为相反数．
14.【答案】解：先将常数项移到等号的右边，再把方程各项除以3，得
x2+2x=13，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+2x+1=13+1
配方得(x+1)2=43，
开方得x+1=±2 33，
解得x1=2 33−1,x2=−2 33−1．
【解析】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先将常数项移到等号的右边，再把方程各项除以3，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程．
15.【答案】解：根据题意，(m2+n2)(m2+n2−2)=15，
设x=m2+n2，则有x(x−2)=15，
整理可得x2−2x−15=0，
(x−5)(x+3)=0，
x−5=0或x+3=0，
解得x1=5，x2=−3，
因为m2≥0，n2≥0，
所以m2+n2≥0，
所以m2+n2=5，即m2+n2的值为5．
【解析】设x=m2+n2，则有x(x−2)=15，解该方程，并结合m2+n2≥0，即可获得答案．
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，换元法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
16.【答案】①
【解析】解：(1)由解题步骤可知，求解过程从第①步出现错误，
故答案为：①；
(2)4x2−3 2x=18，
4x2−3 2x−18=0，
∵a=4，b=−3 2，c=−18，
∴Δ=(−3 2)2−4×4×(−18)=18+2=20，
∴x=3 2± 202×4=3 2±2 58，
∴x1=3 2+2 58，x2=3 2−2 58．
(1)根据题中给出的解题步骤解答即可；
(2)利用公式法求解即可．
本题考查的是解一元二次方程，二次根式的性质与化简，熟知利用公式法解一元二次方程是解题的关键．