沪科版（2024）八年级下册（2024）18.1 勾股定理同步练习题

这是一份沪科版（2024）八年级下册（2024）18.1 勾股定理同步练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在一个直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是( )
A. 70°B. 50°C. 30°D. 10°
2.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=25，BC=14，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC于点E，则DE的长为( )
A. 6
B. 16825
C. 7
D. 8
3.如图，在Rt△ABC中，AB=AC=2 2，点D，E在边BC上，且∠DAE=45°，DC=1，则DE的长是( )
A. 53
B. 43
C. 32
D. 2
4.有下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=5:3:2；③∠A=90°-∠B；④∠A=2∠B=3∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的直角边长分别为m，n(m>n).若小正方形的面积为5，(m+n)2=21，则大正方形的面积为( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
6.如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，阴影部分正方形的边长为( )
A. 5B. 10C. 13D. 17
二、填空题：
7.直角三角形中，若两条边的长分别为4，5，则第三条边的长为______．
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=60°，那么∠A=____°．
9.如图，四边形BCDE中，BC/​/DE，∠EBC=120°，BE=2，若BA平分∠EBC，则BC与DE之间的距离是______．
10.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，CD=1，则AC=________．
11.如图，Rt▵ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，AD=20，BC= ．
12.如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=3，现以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，交线段AD于点E，则线段DE的长为 ．
三、解答题：
13. 在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a=5，b=12，求c；
(2)若c=26，b=24，求a．
14.可以用如图所示的方法证明勾股定理，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为S1；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角角形和1个正方形组成，面积记为S2.请你写出用此方法证明勾股定理的过程．
15.如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF
(1)求证：△ABE≌△CBF；
(2)若∠BAE=25°，求∠ACF的度数．
16.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且DE=DF，求DE的长．
17.如图，在四边形ABCD中，E点在AD上，∠B+∠AEC=180 ∘，且BC=CE，AB=DE．
(1)试说明：▵ABC≌▵DEC．
(2)若∠BCE=90 ∘，求∠BAC的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数=90°-40°=50°．
2.【答案】B
【解析】解：∵∠B=∠C，AB=25，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=12BC=7，
∴∠ADB=90°，
∴AD= AB2-BD2= 252-72=24，
∴S△ADC=12AD⋅CD=12×24×7=84，
∵DE⊥AC，
∴S△ADC=12AC⋅DE=12×25⋅DE=84，
∴DE=16825．
故选：B．
由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由勾股定理即可求出AD的长度，最后用面积法求得DE的长．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由条件可知BC= 2AB=4，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠B，
把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连接EF，
则∠B=∠ACF，∠BAE=∠CAF，AE=AF，BE=CF，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴∠DAF=∠CAF+∠CAD=∠BAE+∠CAD
=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠DAE=∠DAF，
在△ADE和△ADF中，
AE=AF∠DAE=∠DAFAE=AE，
∴△ADE≌△ADF(SAS)，
∴DE=EF，
设DE=x，则DF=x，
CF=BE=BC-CD-DE=4-1-x=3-x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，12+(3-x)2=x2，
得x=53，
即DE=53．
故选：A．
由题意得出∠B=∠C=45°，BC=4，由旋转的性质，再证△ADE≌△ADF，得出，DE=DF，设DE=x，则DF=x，CF=BE=BC-CD-DE=4-1-x=3-x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，
设∠A=5x，∠B=3x，∠C=2x，则5x+3x+2x=180°，
解得x=18°，
∴∠A=18°×5=90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A=90°-∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C=2∠B=∠A，
∴∠A+∠B+∠C=∠A+12∠A+13∠A=180°，
∴∠A=(108011)°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③，共3个，
故选：C．
根据直角三角形的定义对各个条件进行分析，即可得到答案．
本题主要考查了直角三角形的定义，三角形内角和定理，掌握有一个内角为90°的三角形是直角三角形是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m-n，
∴(m-n)2=5，即m2+n2-2mn=5①，
∵(m+n)2=21，
∴m2+n2+2mn=21②，
①+②得2(m2+n2)=26，
∴大正方形的面积为：m2+n2=13，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意得：
阴影正方形的边长是： 22+32= 13；
故选：C．
7.【答案】 41或3
【解析】解：当5为直角边时，第三边为 42+52= 41，
当5为斜边时，第三边为 52-42=3，
故答案为： 41或3．
分5为斜边和直角边，分别利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了勾股定理，运用分类思想是解题的关键．
8.【答案】75
【解析】【分析】
本题考查直角三角形的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题.根据直角三角形两锐角互余，构建方程组即可解决问题．
【解答】
解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A-∠B=60°，
∴2∠A=150°，
∴∠A=75°．
故答案为75．
9.【答案】 3
【解析】解：如图，作BF⊥DE于点F，
∵BC/​/DE，
∴∠E+∠EBC=180°，
∵∠EBC=120°，
∴∠B=60°，
在Rt△BEF中，sin∠E=BFBE，
∵BE=2，
∴sin60°=BF2= 32，
∴BF= 3，
∴BC与DE之间的距离是 3．
故答案为： 3．
作BF⊥DE于点F，根据平行线的性质得∠B=60°，在Rt△BEF中，根据BE=2，可求出BF= 3，即可得出答案．
此题主要考查了平行线之间的距离，平行线的性质，含30度角的直角三角形，解答此题的关键是熟练掌握平行线间的距离的定义．
10.【答案】1+ 2
【解析】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC=1，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠B=45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BD= 2DE= 2，
∴BC=CD+BD=1+ 2，
∴AC=1+ 2．
故答案为1+ 2．
作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到DE=DC=1，再利用等腰直角三角形的性质得到AC=BC，∠B=45°，所以BD= 2，然后计算出BC即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰直角三角形．
11.【答案】10 3
【解析】利用已知条件求出AD=BD=20，DC=10，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴AD=BD=20，
∴DC=10，
∴BC= BD2-CD2= 400-100=10 3．
故答案为：10 3
12.【答案】3- 5
【解析】解：由题意知，BE=BC=3，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC=2，AD=BC=3，
在Rt△ABE中，AE= BE2-AB2= 32-22= 5，
∴DE=AD-AE=3- 5，
13.【答案】解：如图，
(1)∵a=5，b=12，
∴C= a2+b2= 52+122=13；
(2)∵c=26，b=24，
∴a= c2-b2= 262-242=10．
【解析】根据题意画出图形，利用勾股定理即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
14.【答案】证明：根据题意，得S1=a2+b2+2×12ab=a2+b2+ab，S2=c2+2×12ab=c2+ab．
∵S1=S2，∴a2+b2+ab=c2+ab，∴a2+b2=c2．

15.【答案】(1)证明：在Rt△ABE与Rt△CBF中，
AE=CFAB=BC，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
(2)解：∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCF=25°；
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=25°+45°=70°．
【解析】(1)根据全等三角形的判定方法(斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等)，判断出△ABE≌△CBF即可．
(2)首先根据△ABE≌△CBF，可得∠BAE=∠BCF=25°；然后根据AB=BC，∠ABC=90°，求出∠ACB的度数，即可求出∠ACF的度数．
此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
16.【答案】5.
【解析】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，
∴AD平分∠BAC，
∴∠DAE=12∠BAC=30°，
∵∠AED=90°，
∴DE=12AD=12×10=5．
由角平分线性质定理的逆定理推出∠DAE=12∠BAC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得到DE=12AD=12×10=5．
本题考查角平分线性质定理的逆定理，含30°角的直角三角形，关键是由角平分线性质定理的逆定理推出AD平分∠BAC．
17.【答案】【小题1】
证明：∵∠B+∠AEC=180 ∘，∠DEC+∠AEC=180 ∘，
∴∠B=∠DEC，
在▵ABC和▵DEC中
AB=DE∠B=∠DECBC=EC
∴▵ABC≌▵DECSAS；
【小题2】
解：∵▵ABC≌▵DEC
∴AC=DC，∠ACB=∠DCE，∠BAC=∠D
∴∠DCA=∠DCE+∠ECA=∠ACB+∠ECA=∠BCE=90 ∘．
∴▵ACD是等腰直角三角形，
∴∠D=45 ∘
∴∠BAC=∠D=45 ∘

【解析】1.
利用四边形的内角和为360 ∘，说明∠B=∠DEC，再利用SAS证明▵ABC≌▵DEC；
2.
利用全等三角形的性质可得∠DCA=90 ∘，AC=DC，∠BAC=∠D，从而得到∠BAC=∠D=45 ∘