九年级下册直线与圆的位置关系优秀ppt课件

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湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件2.5.4 三角形的内切圆第2章 圆授课教师： Home . 班 级： 九年级（---）班 . 时 间： . 2026年2月2日情境引入 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下面有四种方案，请选择最佳方案.方案一方案二方案三方案四√合作探究猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相________.方案二切∟∟∟O三角形的内切圆画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形的三条边都相切？如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心 O 到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.半径到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 是∠A 的__________与∠B的___________的___点.平分线平分线交 与三角形的三条边都相切的圆存在吗？ 若存在， 如何画出这样的圆？如图，已知△ABC.求作：与△ABC 的各边都相切的圆.作法：（1）作∠A，∠B 的平分线AD，BE，它们相交于点 O；（2）过点 O 作 AB 的垂线，垂足为 M；（3）以点 O 为圆心，OM 为半径作圆．⊙O 就是所求作的圆.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆.内切圆的圆心叫作三角形的内心.这个三角形叫作圆的外切三角形.设点 O 是△ABC 的内心，由于 AB，BC，CA 都与⊙O 相切，因此圆心 O 到 AB，BC，CA 的距离都等于圆的半径. 从而圆心 O 在△ABC 的每个内角的平分线上. 由此得出：三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，∠A = 70°，求∠BOC的度数.解: ∵ ∠A = 70°，∴ ∠ABC +∠ACB = 180° -∠A = 110°.∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，∴ BO，CO 分别是∠ABC与∠ACB 的平分线，即∠1 = ∠ABC， ∠2 = ∠ACB.∴ ∠BOC = 180°-（∠1 +∠2） = 180°- （∠ABC+∠ACB）= 180°- × 110°= 125°.【教材P74页】练习任画一个三角形，求作它的内切圆.【教材P74页】2. 如图，△ABC 的内切圆的三个切点分别为D，E，F， ∠A＝ 74°，∠B ＝ 47°，求圆心角∠EOF 的度数．【教材P74页】解：∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∴ OF⊥AC，OE⊥BC，OD⊥AB，∴∠OEC=∠OFC=90°.∵∠A＝ 74°，∠B＝ 47°，∴∠C=59°，∴∠EOF = 121°.3. 已知等边三角形 ABC 的边长为 a， 求它的内切圆的半径．【教材P74页】解：如图，⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，连接OB， OC，则∠OBC＝ ∠B＝30°，∠OCB＝ ∠C＝30°.设BC 边与⊙O 的切点为D，连接OD，则OD⊥BC，且OD 为内切圆的半径.在Rt△OBD 与Rt△OCD 中，∴ BD＝DC， 即 DC＝即内切圆的半径长为【教材75】解 ⊙O 的半径为 5 cm（1） 两个公共点；（2） 一个公共点；（3） 没有公共点【教材75】解 ∵ AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O，∴∠C = 90°， ∠A+∠CBA = 90°.又∵ ∠CBM = ∠A，∴ ∠CBM+∠CBA＝ 90°，即 AB⊥ MN.又∵ OB 是⊙O 的半径， 直线 MN 经过点 B，∴ MN是⊙O 的切线.【教材75】证明 连接 BC.∵ OC＝OB， ∠COB=60°，∴ △OBC 为等边三角形.∴∠OBC＝∠OCB＝60°， BC＝OC.又∵ OC＝CA， ∴ BC＝CA. ∴ ∠CBA＝30°.∴ ∠OBA＝90°， 即 OB⊥BA.又∵ OB 为⊙O 的半径， 且 AB 经过点 B，∴ AB 是⊙O 的切线.【教材75】解 ∵ BC 与⊙O 相切于点 B，OB 是半径， ∴ OB⊥BC， 即∠OBC＝90°. ∵∠ABC＝70°， ∴∠OBA＝20°.又∵ OA＝OB， ∴ ∠A＝∠OBA＝20°.【教材75】解 连接 OA，OB.∵ OA， OB 为⊙O 的半径，PA，PB 为⊙O 的切线，点 A，B 为切点，∴ OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB＝3 cm.在 Rt△OPA 中， sin∠OPA＝ ，∴ ∠OPA＝30°.∴ cos30°＝ ，得 PA＝OP·cos30°＝ cm.同理， ∠OPB＝30°， PB ＝ cm .【教材75】解 ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D，E，F，∴由切线长定理得： AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∴ BD + CF ＝ BE + CE ＝ BC，即 L△ABC＝ 2AF + 2BC ＝ 9+6+5 ∴ AF＝4.【教材75】已知： 如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的内切圆，AB＝AC，⊙O与BC 边相切于点 D，求证：BD=CD.证明： 连接OB，OC，OD，则OD⊥BC，由内切圆性质可知OB，OC分别平分∠B， ∠C，又∠B＝∠C，∴ ∠OBD＝∠OCD＝α，【教材76】解 如图，设⊙O 与△ABC 相切于点 D，E，F， 连接OD，OE，OF，因此OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD＝OE＝OF＝r.连接 OA，OB，OC，则 S△ABC ＝ S△OBC + S△OBA + S△OAC ＝ AB·OD + BC·OE + AC·OF ＝ (AB+BC+AC)·r = lr证明 作△OAB 底边上的高 OD，D 为垂足，由等腰三角形的性质知 D 也为 AB 的中点，即 AD ＝ 4 cm.在 Rt△OAD 中，OA＝ 5 cm，AD＝ 4 cm， ∴ OD ＝ 3 cm.而⊙O 的直径为 6 cm， 即 OD 为⊙O 的半径，∴ AB 所在的直线与⊙O 相切.【教材76】【教材76】（1）如图，已知 l1，l2 是⊙O 的两条平行切线，设 l1 与⊙O 的切点为 A，连接 AO，并延长交 l2于 B.∵ OA⊥l1， l1∥l2，∴ OA⊥l2， 则 OB⊥l2.又∵ l2与⊙O 相切，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则 l2与⊙O 的切点为点 B，因此 AB 为⊙O 的直径.【教材76】解 （1） ∵ DC， DA 分别为⊙O 的切线，∴ DC＝DA. 同理，EC＝EB.∴ △PDE 的周长= DC +EC +PE +PD =（DA +PD）+（EB+PE）=PA+PB = 8（cm）.（2） 连接OA， OB， OC. 在四边形 PBOA中，∠P＝40°，∠A＝∠B＝90°,∴ ∠BOA = 360°-40°-2×90°＝140°. 易证△OAD ≌△OCD （SSS），∴ ∠AOD =∠COD. 同理， ∠COE=∠BOE.∴∠DOE =∠COD+∠COE = ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 70°. 返回C1．下列说法错误的是(　　)A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切B．一个三角形一定有唯一一个内切圆C．一个圆一定有唯一一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆2. 某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在绿地ABC内建一个休息点O，使它到AB，BC，AC三边的距离相等，下列作法正确的是(　　)D 返回3．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为(　　)A．37° B．20°　 C．16° D．14° 返回C5. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形的内切圆半径为2，大正方形的面积为169，则小正方形的面积为________．49三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内切圆应用重要结论内心(三角形三条角平分线的交点)外切三角形