2024年中考数学真题分类汇编：知识点45 规律猜想型问题2024（解析版）

这是一份2024年中考数学真题分类汇编：知识点45 规律猜想型问题2024（解析版），共8页。学案主要包含了2024·重庆B卷，2024·河北16题，2024·济宁，2024·武汉，2024·扬州，2024·内江，2024·德阳，2024·云南等内容，欢迎下载使用。
7．【2024·重庆B卷】用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20B．21C．23D．26
【答案】C【解析】由所给图形可知，第①个图案中，菱形的个数为：2＝1×3−1；第②个图案中，菱形的个数为：5＝2×3−1；第③个图案中，菱形的个数为：8＝3×3−1；第④个图案中，菱形的个数为：11＝4×3−1；…，
所以第n个图案中，菱形的个数为（3n−1）个，当n＝8时，3n−1＝23（个），即第⑧个图案中，菱形的个数为23个．故选C．
河北省
16．【2024·河北16题】平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（−1，9），则点Q的坐标为（ ）
A．（6，1）或（7，1）B．（15，−7）或（8，0）
C．（6，0）或（8，0）D．（5，1）或（7，1）
【答案】D【解析】根据已知：点P3（2，2）横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4（2，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5（1，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位………，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（−1.9），则按照“和点”Q16 反向运动16次即可，可以分为两种情况：①Q16先向右1个单位得到Q15（0，9），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立； ②Q16先向下1个单位得到Q15（−1，8），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到Q16，故符合题意.∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（−1+7，9−8），即（6，1），∴最后一次若向右平移则为（7，1），若向左平移则为（5，1）.故选D．
山东省
10.【2024·济宁】 如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A. 90B. 91C. 92D. 93
【答案】B【解析】第1个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，……第6个图形有（个）正方形，故选B.
湖北省
10．【2024·武汉】如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3−3x2+3x−1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（ ）
A．−1B．−0.729C．0D．1
【答案】D【解析】由题知，点A10的坐标为（1，0），则y10＝0．因为函数图象关于点（1，0）中心对称，所以y9+y11＝y8+y12＝…＝y1+y19＝0.将x＝2代入函数解析式得，y＝23−3×22+3×2−1＝1，即y20＝1，所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1．故选D．
江苏省
1．【2024·扬州】1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676B．674C．1348D．1350
【答案】D【解析】这列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数，∵2024÷3＝674…2，即前2024个数共有674组，且余2个数，奇数有：674×2+2＝1350（个），故选D．
四川省
12．【2024·内江】如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为点B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=−34x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线y=−34x上，如此下去，…，若点B的坐标为（0，3），则点B37的坐标为（ ）
A．（180，135）B．（180，133）
C．（−180，135）D．（−180，133）
【答案】C【解析】由题知，将y＝3代入y=−34x得，x＝−4，所以点A的坐标为（−4，3），所以OB＝3，AB＝4，
在Rt△ABO中，AO=32+42=5，所以C△OAB＝3+4+5＝12．由所给旋转方式可知，点B2n−1（n为正整数）在直线y=−34x上．因为OB1＝5+4＝9，OB3＝9+12，OB5＝9+2×12，…，所以OB2n−1＝9+12（n−1）＝12n−3，令2n−1＝37，解得n＝19，所以12n−3＝12×19−3＝225，即OB37＝225．令点B37的坐标为（m，−34m），所以m2+(−34m)2=2252，解得m＝−180（舍正），所以−34m=135，所以点B37的坐标为（−180，135）．故选C．
1．【2024·德阳】将一组数2，2，6，22，10，23，…，2n，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（ ）
A．72B．82C．58D．47
【答案】C【解析】由题意可得前七行所有的数的总个数为1+2+3+4+5+6+7＝28，
则第八行左起第1个数是第29个数，即29×2=58，
故选C．
云南省
1．【2024·云南】按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是（ ）
A．2xnB．（n−1）xnC．nxn+1D．（n+1）xn
【答案】D
黑龙江省
7．【2024·牡丹江】如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】B【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1，第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1，第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1，…，按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形，则第674个图案中三角形的个数为3×674+1＝2023（个）．故选B．
二、填空题
江西省
1．【2024·江西10题】观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
【答案】a100【解析】根据题意可知，有一列按照一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，…，∴第100个式子为：a100，故答案为：a100．
山东省
18．【2024·泰安】如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
【答案】12【解析】由所给图形可知，第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1＝1，“●”的个数为：4＝1×2+2；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：3＝1+2，“●”的个数为：6＝2×2+2；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：6＝1+2+3，“●”的个数为：8＝3×2+2；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：10＝1+2+3+4，“●”的个数为：10＝4×2+2；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1+2+3+…+n=n(n+1)2，“●”的个数为：2n+2；
由题知，n(n+1)2=3(2n+2)，解得n1＝−1，n2＝12，又因为n为正整数，所以n＝12，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．故答案为12．
1．【2024·枣庄】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 ．
【答案】（2，1）【解析】点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2），经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1），经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4），…，发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），∵2024÷3＝674⋯2，∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1），
故答案为（2，1）．
四川省
17．【2024·眉山】已知a1＝x+1（x≠0且x≠−1），a2=11−a1，a3=11−a2，…，an=11−an−1，则a2024的值为 ．
【答案】−1x【解析】∵a1＝x+1，∴a2=11−a1=11−(x+1)=−1x，a3=11−a2=11−(−1x)=xx+1，∴a4=11−a3=11−xx+1=11x+1=x+1，∴a5=−1x，a6=xx+1，….由上可得，每三个为一个循环，∵2024÷3＝674×3+2，∴a2024=−1x．故答案为−1x．
14．【2024·遂宁】在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1−3S△ADF．
如图①当ADAB=12时，S△DEF＝1−3×14=14；
如图②当ADAB=13时，S△DEF＝1−3×29=13；
如图③当ADAB=14时，S△DEF＝1−3×316=716；
…
直接写出，当ADAB=110时，S△DEF＝ ．
【答案】73100【解析】如图①当ADAB=12时，S△DEF＝1−3×14=1−3×2−122=14；如图②当ADAB=13时，S△DEF＝1−3×29=1−3×3−232=13；如图③当ADAB=14时，S△DEF＝1−3×316=1−3×4−142=716；…当ADAB=1n时，S△DEF＝1−3×n−1n2；故当ADAB=110时，S△DEF＝1−3×10−1102=73100．
16．【2024·广安】已知，直线l：y=33x−33与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2024的横坐标为 ．
【答案】(52)2023【解析】∵直线l：y=33x−33与x轴负半轴交于点A1，∴点A1坐标为（1，0），∴OA1＝1.
如图，过B1，B2作B1M⊥x轴交x轴于点M，B2N⊥x轴交A1B1于点D，交x轴于点N.∵△A1B1O为等边三角形，∴∠OB1M＝30°，∴MO=12A1O=12，∴B1M=B1O2−OM2=12−(12)2=32，∴B1（12，32）.当y=32时，32=33x−33，解得x=52，∴A2C1=52，A2(52，32)，∴C1D=12A2C1=54，∴B2D=(52)2−(34)2=534，
∴B2N=534+32=734，∴当y=734时，734=33x−33，解得x=254，∴A1(254，734).而254=(52)2，
同理可得：A4的横坐标为(52)3=1258，∴点A2024的横坐标为(52)2023.故答案为(52)2023．
14．【2024·达州】如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD=13∠CAB，∠E1BD=13∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD=13∠E1AB，∠E2BD=13∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝ 度．
解：由题意∠E1AD=13∠CAB，∠E1BD=13∠CBD，∴设∠E1AD＝α，∠E1BD＝β，则∠CAB＝3α，∠CBD＝3β，由三角形的外角的性质得：β＝α+∠E1，3β＝3α+∠C，∠E1=13∠C，同理可求：∠E2=13∠E1，∠E2=(13)2∠C ……，∠En=(13)n∠C，即 ∠En=13nm°，故答案为：13nm．
1．【2024·成都】在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；当n＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；……．若n＝6，则k的值为 ；若n＝24，则k的值为 ．
【答案】9 144 【解析】当n＝6时，从1，2，3，4，5，6中，取两个数的和大于6，这两个数分别是{6，1}，{6，2}，{6，3}，{6，4}，{6，5}，{5，2}，{5，3}，{5，4}，{4，3}，∴k＝5+3+1＝9；当n＝24时，从1，2，，23，24中，取两个数的和大于24，这两个数分别是：{24，1}，{24，2}{24，23}，{23，2}{23，3}{23，22}，{22，3}，{22，4}{22，21}，．{14，11}，{14，12}，{14，13}，{13，12}，∴k＝23+21+19++3+1＝144；故答案为：9，144．
黑龙江省
20．【2024·龙东地区】如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3−32，12）；如此下去，……，则A2024的坐标是 ．
【答案】（1，3）【解析】由题知，点A1的坐标为（2，0），点A2的坐标为（2，0），点A3的坐标为（3−32，12），
点A4的坐标为（3，2），点A5的坐标为（3，2），点A6的坐标为（52，3−32），点A7的坐标为（1，3），点A8的坐标为（1，3），点A9的坐标为（32，52），点A10的坐标为（0，1），点A11的坐标为（0，1），点A12的坐标为（12，32），
点A13的坐标为（2，0），…，由此可见，点An的坐标每12个循环一次，因为2024÷12＝168余8，所以点A2024的坐标为（1，3）．故答案为（1，3）．
21．【2024·绥化】如图，已知A1（1，−3），A2（3，−3），A3（4，0），A4（6，0），A5（7，3），A6（9，3），A7（10，0），A8（11，−3）…，依此规律，则点A2024的坐标为 ．
【答案】（2891，−3）【解析】由题知，点A1的坐标为（1，−3），点A2的坐标为（3，−3），点A3的坐标为（4，0），点A4的坐标为（6，0），点A5的坐标为（7，3），点A6的坐标为（9，3），点A7的坐标为（10，0），点A8的坐标为（11，−3），点A9的坐标为（13，−3），点A10的坐标为（14，0），点A11的坐标为（16，0），点A12的坐标为（17，3），点A13的坐标为（19，3），点A14的坐标为（20，0），…，由此可见，每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按−3，−3，0，0，3，3，0循环出现，又因为2024÷7＝289余1，所以1+289×10＝2891，则点A2024的坐标为（2891，−3）．故答案为：（2891，−3）．
17．【2024·齐齐哈尔】如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，0），点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O′，点C的对应点为C′，OC与O′C′的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
【答案】（1349+6743，33）【解析】由题知，∠COB＝∠O′C′B＝30°，BO＝BC′，∴A1O＝A1C′，∴点A1在OC′的垂直平分线上．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，在Rt△A1OB中，tan30°=A1BOB，∴A1B=33，
∴点A1的坐标为（1，33）．依次类推，点A2的坐标为（3+3，33），点A3的坐标为（5+23，33），
…，∴点An的坐标为（2n−1+(n−1)3，33）（n为正整数）．又∵每滚动三次，出现下一个花心，∴2024÷3＝674于2，则674+1＝675，∴滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为点A675．当n＝675时，点A675的坐标为（1349+6743，33），即滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心的坐标为（1349+6743，33）．故答案为：（1349+6743，33）．
青海省
16．【2024·青海】如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．
【答案】15【解析】观察图形的变化可知，摆第1个图案要用火柴棒的根数为3；摆第2个图案要用火柴棒的根数为5＝3+2＝1+2×2；摆第3个图案要用火柴棒的根数为7＝3+2+2＝1+3×2；…则摆第n个图案要用火柴棒的根数为1+2n×1＝2n+1；故第7个图案要用火柴棒的根数为2×7+1＝15．故答案为15．