2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点44 尺规作图（Word版附解析）

这是一份2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点44 尺规作图（Word版附解析），共35页。试卷主要包含了故选等内容，欢迎下载使用。

A．123cm2B．63cm2C．33cm2D．23cm2
【答案】B【解析】过P作PE⊥OB于E，由作图得：OP平分∠AOB，∴∠PAB＝∠AOP=12∠AOB＝30°，∴PB=12OP=3cm，∴OB=OP2-PB2=33cm，∵PE∥OA，PF∥OB，∴四边形AEOF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°，∴∠POE＝∠OPE，
∴OE＝PE，设OE＝PE＝xcm，在Rt△PEB中，PE2﹣BP2＝EB2，即：x2﹣32＝（33-x）2，解得：x＝23，∴S四边形OEPF＝OE•PB＝23×3＝63（cm）．故选：B．
7．【2023·衢州】如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（ ）
A．AB＝ACB．AG⊥BCC．∠DGB＝∠EGCD．AG＝AC
【答案】D【解析】 根据题中所给的作图步骤可知，AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（SAS），所以BG＝CG，故A选项不符合题意．当AG⊥BC时，∠AGB＝∠AGC＝90°，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，故B选项不符合题意．当∠DGB＝∠EGC时，因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAA），所以∠AGD＝∠AGE，又∠DGB＝∠EGC，所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．又∠AGB+∠AGC＝90°，所以∠AGB＝∠AGC＝90°，则方法同（2）可得出BG＝CG，故C选项不符合题意．故选：D．
10．【2023·海南】如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【答案】C【解析】由作图得：MN垂直平分BC，∴CD＝BD，∴∠CBD＝∠C＝40°，∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝80°．
11．【2023·呼伦贝尔、兴安盟】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE的值是（ ）
A．1：2B．1：3C．2：5D．3：8
【答案】A【解析】 ∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴AB：AC＝sinC＝1：2，由题意得：AP平分∠BAC，∴AB：AC＝BE：CE＝1：2，∴S△BDE：S△CDE＝1：2，故选：A．
6．【2023·西宁】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
A．直线PQ是AC的垂直平分线
B．CD=12AB
C．DE=12BC
D．S△ADE：S四边形DBCE＝1：4
【答案】D【解析】由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确，∴DA＝DC，AE＝EC，∴∠A＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC，∴AD＝DB，∴CD=12AB，故选项B正确，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE=12BC，故选项C正确，故选：D．
8．【2023·黄石】如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（ ）
A．2B．52C．4D．92
【答案】A【解析】 由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD，∴OB＝OC，DN＝CN，∴ON=12BD，∵AB＝9，AC＝AD＝5，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5＝4，∴ON=12×4＝2．故选：A．
7．【2023·常州】小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D 【解析】∵CM∥DN∥BE，∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，∵AC＝CD＝DE，∴AM＝MN＝NB，∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，故选：D．
贵州省
11. 【2023·贵州】如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A【解析】由作图过程可知平分，.，
福建省
7．【2023·福建7题】阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DMB．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DMD．∠2＝∠3且OD＝DM
【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．
【答案】A 【解析】A.以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM.又OC＝OD，OM＝OM，∴△OCM≌△ODM（SSS）.∴∠1＝∠2.故选项A符合题意；B.∵OC，CM的长度在变化，∴OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故选项B不符合题意；C.∵OD，DM的长度在变化，∴OD和DM不一定相等，故选项C不符合题意；D.∵CM的位置在变化，∴CM和OB不一定平行.∴∠2不一定等于∠3，故选项D不符合题意．故选A．
天津
10．【2023•天津10题】如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】D【解析】根据线段垂直平分线的性质可得AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵BD＝CD，∴BD＝AD.∴∠B＝∠BAD.然后利用三角形内角和可得∠BAC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理得AB=6.
湖北省
7．【2023·黄冈】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A．10B．11C．23D．4
【分析】如图，设BP交CD与点J，过点J作JK⊥BD于点K．首先利用相似三角形的性质证明CN•BM＝12，再想办法求出BM，可得结论．
【答案】A 【解析】如图，设BP交CD与点J，过点J作JK⊥BD于点K．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，∵CN⊥BM，∴∠CMB＝∠CDN＝90°，∴∠CBM+∠BCM＝90°，∠BCM+∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN，∴△BMC∽△CDN，∴BMCD=BCCN，∴BM•CN＝CD•CB＝3×4＝12，∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，∴BD=CD2+BC2=32+42=5，由作图可知BP平分∠CBD，∵JK⊥BD，JC⊥BC，∴JK＝JC，∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ，∴12×3×4=12×5×JK+12×4×JC，∴JC＝KJ=43，∴BJ=CB2+JC2=42+(43)2=4103，∵cs∠CBJ=BMCB=BCBJ，∴BM4=44103，∴BM=6105，∵CN•BM＝12，∴CN=10．故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．【2023·随州】如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（ ）
A．AE＝CFB．DE＝BFC．OE＝OFD．DE＝DC
【分析】根据作图可知：EF垂直平分BD，根据线段垂直平分线的性质得到BO＝DO，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；无法证明DE＝CD，故D错误．
【答案】D【解析】根据作图可知：EF垂直平分BD，∴BO＝DO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；无法证明DE＝CD，故D错误；故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
内蒙古
10．【2023·通辽】下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
​下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【分析】根据线段的垂直平分线的性质及直角三角形的性质作图判定．
【答案】A【解析】由作图得：PQ垂直平分AB，∴O为AB的中点，∴AO＝BO，∵∠C＝90°．∴CO＝AO＝BO，∴⊙O是△ABC的外接圆，故选：A．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质及直角三角形的性质是截图的关键．
四川省
8．【2023·南充】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．∠CAD＝∠BADB．CD＝DEC．AD＝53D．CD：BD＝3：5
【分析】由基本作图可判断A；根据角平分线的性质可判断B；由三角形的面积公式求出CD再根据勾股定理求出AD，可判断C；求出BD的长可判断D．
【答案】C【解析】由作图可得，AP平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，故选项A不符合题意；∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，故选项B不符合题意；在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴BC=AB2-AC2=8，∵△ABC的面积为＝△ACD的面积+△ABD的面积，∴12AC•CD+12AB•DE=12AC•BC，∴6•CD+10CD＝6×8，解得CD＝3，∴AD=AC2+CD2=62+32=35，故选项C符合题意；∵BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，∴CD：BD＝3：5，故选项D不符合题意．故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、角平分线的性质的运用，勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10．【2023·凉山州】如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于12AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】利用基本作图得MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠A＝40°，则计算出∠ABC＝∠C＝70°，然后计算∠ABC﹣∠ABD即可．
【答案】B【解析】由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠A）=12×（180°﹣40°）＝70°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
湖南省
10．【2023·永州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的定长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E，则下列结论不正确的是（ ）
A．BC＝BEB．CD＝DE
C．BD＝ADD．BD一定经过△ABC的内心
【分析】由作图知，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质得到CD＝DE，BD一定经过△ABC的内心，故B不符合题意，故D不符合题意；根据全等三角形的性质得到BC＝BE，故A不符合题意；无法证明BD＝AD，故C符合题意．
【答案】C 【解析】由作图知，BD平分∠ABC，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，BD一定经过△ABC的内心，故B不符合题意，故D不符合题意；在Rt△BCD与Rt△BED中，CD=DEBD=BD，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE，故A不符合题意；无法证明BD＝AD，故C符合题意．故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键．
吉林省
7. 【2023·长春】如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解．
【答案】B【解析】根据作图可得，故A，C正确；∴在的垂直平分线上，
∴，故D选项正确，而不一定成立，故B选项错误，故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
山东省
11．【2023·泰安】如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于12FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED=12BC；④当AC＝2时，AD=5-1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，可得到△BCD也是含有36°角的等腰三角形，进而得出AD＝BD＝BC，再根据三角形内角和定理和等腰三角形的判定，进一步得出AE＝AD＝BD＝BC，对①作出判断；在根据平行线的判定方法可得出DE∥BC，对①作出判断；由AE≠BE，可得DE不是△ABC的中位线，对③作出判断，最后再根据相似三角形的判定和性质，得出△BCD∽△ABC，进而求出BC，即AD即可对④作出判断．
【答案】C【解析】由题意可知，BD是∠ABC的平分线，MN是线段BD的中垂线，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB=180°-36°2=72°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，在△BCD中，∠C＝72°，∠CBD＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∵MN是BD的中垂线，∴EB＝ED，∴∠BDE＝∠ABD＝36°＝∠CBD，∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，因此①正确，∴AE＝AD＝BD＝BC，因此②正确；由于DE不是△ABC的中位线，因此③不正确；∵∠CBD＝∠BAC＝36°，∠BCD＝∠ACB＝72°，∴△BCD∽△ABC，∴ACBC=BCCD，即BC2＝AC•CD，设BC＝x，则CD＝2﹣x，∴x2＝2×（2﹣x），解得x＝﹣1-5（舍去）或x=5-1，即BC=5-1＝AD，因此④正确，综上所述，正确的结论有①②④，共有3个，故选：C．
【点评】本题考查角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及相似三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和是180°以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
9．【2023•枣庄】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于D的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A．BE＝DEB．AE＝CE
C．CE＝2BED．S△EDCS△ABC=33
【分析】由作法得AB＝AD，PB＝PD，则可判断AP垂直平分BD，于是根据线段垂直平分线的性质可对A选项进行判断；由作法得AE平分∠BAC，则∠BAE＝∠CAE＝30°，所以∠CAE＝∠C，则可对B选项进行判断；在Rt△ABE中利用∠BAE＝30°得到AE＝2BE，则CE＝2BE，于是可对C选项进行判断；在Rt△ABC中利用∠C＝30°得到AC＝2AB，则AD＝CD，根据三角形面积公式得到S△EDC=12S△ACE，再证明S△ACE=23S△ABC，所以S△EDC=13S△ABC，从而可对D选项进行判断．
【答案】D【解析】由作法得AB＝AD，PB＝PD，∴AP垂直平分BD.∴BE＝DE，所以A选项不符合题意；
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，∴∠BAC＝60°.由作法得AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°.∴∠CAE＝∠C.∴AE＝CE，所以B选项不符合题意；在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，∴AE＝2BE.∴CE＝2BE，所以C选项不符合题意；在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AB.∵AD＝AB，∴AD＝CD.∴S△EDC=12S△ACE.∵CE＝2BE，
∴CE=23BC.∴S△ACE=23S△ABC.∴S△EDC=12×23S△ABC=13S△ABC，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
辽宁省
9．【2023·本溪】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（ ）
A．35B．34C．43D．53
【分析】由角平分线的性质定理推出CD＝MD，由勾股定理求出AC的长，由△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，得到12AC•BC=12AC•CD+12AB•MD，因此4×3＝4CD+5CD，即可求出CD的长，得到DB的长．
【答案】D【解析】作DM⊥AB于M，由题意知AD平分∠BAC，∵DC⊥AC，∴CD＝DM，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC=AB2-BC2=4，∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，∴12AC•BC=12AC•CD+12AB•MD，∴4×3＝4CD+5CD，∴CD=43，∴BD＝BC﹣CD＝3-43=53．
【点评】本题考查勾股定理，角平分线的性质，作图—基本作图，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到CD＝MD，由三角形面积公式得到12AC•BC=12AC•CD+12AB•MD．
9．【2023·抚顺、葫芦岛】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝30°，BC＝32，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF交AB于点M，交AC于点N，连接BN，则AN的长为（ ）​
A．2+3B．3+3C．23D．33
【分析】利用基本作图的MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，则∠NBA＝∠CAB＝30°，所以∠CNB＝60°，再计算出∠CBN＝45°，过C点作CH⊥BN于H点，如图，利用等腰直角三角形的性质得到BH＝CH＝3，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到NH=3，然后计算BH+NH即可．
【答案】B【解析】由作法得MN垂直平分AB，∴NA＝NB，∴∠NBA＝∠CAB＝30°，∴∠CNB＝∠A+∠NBA＝60°，∵AB＝AC，∠CAB＝30°，∴∠ABC=12×（180°﹣30°）＝75°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠NBA＝75°﹣30°＝45°，过C点作CH⊥BN于H点，如图，∴BH＝CH=22BC=22×32=3，∴NH=33CH=3，∴BN＝BH+NH＝3+3．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形三边的关系．
二、填空题
16．【2023·西藏】如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为 ．
【答案】13【解析】连接CE，由作图知，直线MN是线段BC的垂直平分线，∴CE＝BE，∵∠A＝90°，AE＝5，AC＝12，∴BE＝CE=AC2+AE2=122+52=13，故答案为：13．
14．【2023·甘孜州】如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为 °．
【答案】30【解析】 由作法得AE平分∠BAD，∴∠EAB＝∠EAD=12∠BAD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，∴∠EAD=12∠BAD＝30°．故答案为：30．
10．【2023·镇江】如图，扇形OAB的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP＝35°，则AB的长l＝ （结果保留π）．
【答案】718π 【解析】由作图知：OP垂直平分AB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠BOP＝2×35°＝70°，∵扇形的半径是1，∴AB的长=70π×1180=718π．故答案为：718π．
湖南省
12．【2023·岳阳】如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC＝ °．
【答案】30
15．【2023·湘潭】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长为 ．
【分析】根据角平分线的性质得到CD＝点D到AB的距离＝1．
【答案】1【解析】由作图知AD平分∠BAC，∵∠C＝90°，点D到AB的距离为1，∴CD＝1．故答案为：1．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
14．【2023·鞍山市】如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为 ．
【答案】6【解析】 由题中作图可知：CM平分∠ACB，∴∠ACM＝∠BCM，∵MN⊥BC，BN＝CN，∴MB＝MC，∴∠B＝∠BCM，∴∠ACM＝∠B，∵∠CAM＝∠CAB，∴△ACM∽△ABC，∴AC：AB＝AM：AC，∵AM＝4，BM＝5，∴AB＝AM+BM＝9，∴AC：9＝4：AC，∴AC＝6．故答案为：6．
湖北省
14．【2023·荆州】如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝23，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为 ．
【分析】由作图知PE垂直平分OC，CO平分∠AOB，根据线段垂直平分线的性质得到OE=12OC=12×23=3，∠PEO＝90°，根据角平分线的定义得到∠POD＝∠AOC=12∠AOB=30°，根据三角函数的定义得到EP＝OE×tan30°=3×33=1，根据角平分线的性质即可得到结论．
【答案】1 【解析】由作图知PE垂直平分OC，CO平分∠AOB，∴OE=12OC=12×23=3，∠PEO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠POD＝∠AOC=12∠AOB=30°，∴EP＝OE×tan30°=3×33=1，∵CO平分∠AOB，∴点P到OA的距离＝PE＝1．故答案为：1．
【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图．以及角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
山西省
13．【2023•山西13题】如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OFOE的值为 ．
【答案】3【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°.∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°.∵BA＝BE，∴△ABE是等边三角形.∴∠BAE＝60°.∵BF平分∠ABE，∴AO＝OE，BO⊥AE.∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，∴tan∠OAF=OFOA=3.∴OFOE=3.
山东省
17．【2023·东营】如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G．若AC＝9，BC＝6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为 ．
【分析】如图，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N．利用角平分线的性质定理证明GM＝GN，利用三角形面积公式求出GM，可得结论．
【答案】12 【解析】如图，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N．
由作图可知CG平分∠ACB，∵GM⊥AC，GN⊥BC，∴GM＝GN，∵S△BCG=12•BC•GN＝8，BC＝6，∴GN=83，∴GN＝GM=83，∴S△AGC=12•AC•GM=12×9×83=12，故答案为：12．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
吉林省
11.【2023·吉林】如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为__________度．
【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到．
【答案】55【解析】∵由作图可得，是的角平分线∴．故答案为：55．
【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
四川省
13．【2023·成都】如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 ．
【分析】由作图知∠A＝∠BDE，由平行线的性质得到DE∥AC，证得△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【答案】【解析】由作图知，∠A＝∠BDE，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC．∵△BDE的面积：四边形ACED的面积＝421，∴△BDE的面积：△BAC的面积＝（）2＝，∴＝，∴＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的性质和判定，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
14．【2023·遂宁】如图，▱ABCD中，BD为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若AD⊥BD，BD＝4，BC＝8，则AE的长为 ．
【分析】根据平行四边形 性质得到AD＝BC＝8，根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，由作图知，MN垂直平分AB，求得AF＝AB＝2，EF⊥AB，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【答案】5【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴＝4，由作图知，MN垂直平分AB，∴AF＝AB＝2，EF⊥AB，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABD，∴，∴，∴AE＝5．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
15．【2023·眉山】如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若DG＝2，则CF的长为 ．
【分析】先判断DG为△BCE的中位线，再根据三角形相似求解．
【答案】83 【解析】由作图得：MN垂直平分AB，∴AE＝BE=12AB，∵DG∥CE，∴AD是中线，∴GB＝EG=12BE=14AB，
∴GD为△BCE的中位线，∴CE＝2GD＝4，∵DG∥CE，∴△AEF∽△AGD，∴EFDG=AEAG，即：EF2=23，解得：EF=43，∴CF＝EC﹣EF＝4-43=83，故答案为：83．
【点评】本题考查了基本作图，掌握三角形的中位线的性质和三角形相似的性质是解题的关键．
辽宁省
14．【2023·沈阳】如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
（1）以点E为圆心，以任意长为半径作弧交射线EB于点M，交射线EF于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BEF内交于点P；
（3）作射线EP交直线CD于点G；
若∠EGF＝29°，则∠BEF＝ 度．
【分析】根据角平分线的性质及平行线的性质求解．
【答案】58【解析】由作图得：EG平分∠BEF，∴∠BEF＝2∠BEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝29°，∴∠BEF＝2∠BEG＝58°，
【点评】本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质及平行线的性质是解题的关键．
三、解答题
17．【2023·青岛】请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA＝PC，且点P在△ABC边AB的高上．
解：如图，点P为所作．
21．【2023·青海】如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB＝AC，CF∥BE．
（1）尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
解：（1）解：如图，AD为所作；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵∠CAE＝∠B+∠ACB，
即∠CAD+∠EAD＝∠B+∠ACB，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
24．【2023·淮安】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝4，求⊙O与△ABC重叠部分的面积．
解：（1）如图，先作∠ABC的平分线交AC于点D，再过D点作AC的垂线交AB于O点，然后以O点为圆心，OB为半径作⊙O，
则⊙O为所作；
（2）⊙O交BC于E点，交AB于F点，连接OE，如图，
设⊙O的半径为r，则OB＝r，
∵AC为⊙O的切线，
∴OD⊥AC，OD＝r，
∵∠C＝90°．∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴OA＝2r，
∵AB＝4，
∴2r+r＝4，
解得r=43，
∵OB＝OE，∠OBE＝60°，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠BOE＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴⊙O与△ABC重叠部分的面积＝S扇形EOF+S△OBE=120×π×(43)2360+34×（43）2=1627π+439．
21．【2023·盐城】如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
解：（1）证明：在△ABC和△AED中，
AB=AE∠B=∠EBC=ED，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD；
（2）解：如图AF即为所求．
20．【2023·襄阳】如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接FB，若∠D＝140°，求∠CBF的度数．
解：（1）作法：1．分别以点A、点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，交于点M、点N，
2．作直线MN交AB于点E，交AC于点F，
直线MN、点E、点F就是所求的图形．
（2）解：连接FB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠D＝140°，AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA=12×（180°﹣140°）＝20°，
∵MN垂直平分AB，点F在MN上，
∴AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAC＝20°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝140°﹣20°＝120°，
∴∠CBF的度数是120°．
陕西省
17．【2023·陕西】如图．已知角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】先作∠ABC的平分线BD，再作BC的垂直平分线l，直线l交BD于P点，则P点满足条件．
解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
浙江省
18．【2023·温州】如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为2，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；
（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
解:
21．【2023·台州】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∵∠A＝∠C，
∴180°﹣（∠ADB+∠A）＝180°﹣（∠CBD+∠C），即∠ABD＝∠CDB.
∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．
21．【2023·金华】如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
（1）分别求点P3，P4表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
解：（1）①∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∴∠OP2C＝∠P2OA＝30°.
由作图可知，EF是OP2的中垂线，∴OP3＝P3P2.∴∠P3OP2＝∠P3P2O＝30°.
∴∠P3OA＝∠P3OP2+∠P2OA＝60°.∴点 P3表示 60°.
②作图可知，P2D＝P2O，∴∠P2OD＝∠P2DO.∵CB∥OA，∴∠P2DO＝∠DOA.
∴∠P2OD=∠DOA=12∠P2OA=15°.∴点P4表示 15°.
（2）如图，作∠P3OP4 的角平分线交BC于P5，点P5即为所求作的点.（答案不唯一）
【解析】∵点P3表示 60°，点P4表示 15°，∴∠P3OP4＝60°﹣15°＝45°.
∴12∠P3OP4+∠P4OA＝22.5°+15°＝37.5°，∴P5 表示 37.5°．
【点评】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，掌握用到的相关知识点．
甘肃省
20．【2023·甘肃省卷20题】1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取AB=BC=CD；
②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；
③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分．
解：如图，点 A，G，D，H 把⊙O 的圆周四等分.
21. 【2023·兰州21题】综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：_______ _____；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置（保留作图痕迹，不写作法）．

解：（1）△OCE≌△ODE或OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE或边边边（SSS）等.（理由合理即可）
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS）.
∴∠AOC＝∠BOC，∴射线OC是∠AOB的平分线.
（3）如图，点E即为所求的点．
湖南省
20．【2023·郴州】如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；
（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．
（1）解：如图，直线MN即为所求．
（2）证明：设AC与EF交于点O．由作图可知，EF垂直平分线段AC．
∴OA＝OC．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF．
∴∠OAE＝∠OCF．
∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形．
∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是平行四边形．
江苏省
24. 【2023·宿迁】如图，在中，，，．

（1）求出对角线的长；
（2）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）连接，过作于，如图所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；
（2）连接，根据轴对称性质，过点尺规作图作线段的垂直平分线即可得到答案．
解：（1）连接，过作于，如图所示：

在中，，，
，
，，
在中，，，，则；
（2）如图所示：

【点评】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键．
6.【2023·徐州】两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
解：（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，
∴它们的面积之比为；
故答案为；
（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可

由作图可知满足比例关系为的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：

24.【2023·无锡】如图，己知，点M是上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．
【分析】（1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件；
（2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用的劣弧与所围成图形的面积进行计算．
解：（1）如图，为所作；
；
（2）∵和为的切线，
∴，，，
∴，∴，
中，，∴，
∴的劣弧与所围成图形的面积
．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．
内蒙古
20.【2023·赤峰】 已知：如图，点M在的边上．
求作：射线，使．且点N在的平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点C，D．
②分别以点C，D为圆心．大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
③画射线．
④以点M为圆心，长为半径画弧，交射线于点N．
⑤画射线．
射线即为所求．

（1）用尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．
证明：∵平分．
∴ ① ，
∵，
∴ ② ，( ③ )．(括号内填写推理依据)
∴．
∴．( ④ )．(填写推理依据)
（1）解：根据意义作图如下：射线即为所求作的射线．

（2）证明：∵平分．
∴，
∵，
∴，(等边对等角)．(括号内填写推理依据)
∴．
∴．(内错角相等，两直线平行)．(填写推理依据)
故答案为：①，②，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行．
四川省
20．【2023·达州】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC=21．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积．
​
【分析】（1）根据角平分线的作法，即可画出图形；
（2）由勾股定理求出AC，由角平分线的性质得到PC＝PD，根据三角形的面积公式求出PD，即可求出结论．
解：（1）如图所示：AP即为所求；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC=21，
∴AC=AB2-BC2=2，
过点P作PD⊥AB于D，
∵AP是∠BAC的角平分线，∴PD＝PC，
∵△ABC的面积为＝△ACP的面积+△ABP的面积，
∴12AC•PC+12AB•PD=12AC•BC，∴2PD+5PD＝221，
解得PD=2217，∴△ABP的面积=12AB•PD=12×5×2217=5217．
【点评】此题主要考查了基本作图，角平分线定理，勾股定理，作出辅助线根据角平分线的性质得到PC＝PD是解本题的关键．
山东省
18．【2023·济宁】如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
【分析】（1）分别以B、D为圆心，大于12BD为半径画弧，分别交于点M、N，连接MN，则问题可求解；
（2）①由题意易得∠EDO＝∠FBO，易得△EOD≌△FOB（ASA），然后可得四边形BEDF是平行四边形，进而问题可求证；
②设BE＝ED＝x，则AE＝10﹣x，然后根据勾股定理建立方程求解即可．
解：（1）如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线，
（2）①四边形BEDF是菱形，理由如下：如图，
由作图可知OB＝OD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴ED＝FB，∴四边形BEDF是平行四边形；
②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10﹣x，
∵AB＝5，
∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，
解得x＝6.25，
∴四边形BEDF的周长为：6.25×4＝25．
【点评】本题考查了基本作图，勾股定理，矩形的性质、菱形的性质与判定及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质与判定以及垂直平分线的性质是解答本题的关键．
20．【2023·滨州】（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）
【分析】（1）先做直角，再截取做三角形；
（2）根据平行四边形的性质证明．
解：（1）如图：Rt△ABC即为所求；
（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
求证：CD=12AB，
证明：延长CE到D，使得DE＝CE，
∵CD是AB边上的中线，∴BE＝AE，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴AB＝CD，∴CE=12CD=12AB．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
广东省
19．【2023·广东19题】如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．
【分析】（1）由基本作图即可解决问题；
（2）由锐角的余弦求出AE的长，即可得到BE的长．
解：（1）如图E即为所求作的点；
（2）∵cs∠DAB=AEAD，
∴AE＝AD•cs30°＝4×32=23.
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣23．
【点评】本题考查基本作图，平行四边形的性质，解直角三角形，关键是掌握基本作图，由锐角的余弦求出AE的长．
黑龙江
23．【2023·绥化】已知：点P是⊙O外一点．
（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝30°，求∠EDF的度数．
【分析】（1）连接OP，作OP的垂直平分线得到OP的中点M，再以M点为圆心，MA为半径作圆交⊙O于点E、F，则根据圆周角定理得到∠OEP＝∠OFP＝90°，从而可判断PE，PF为⊙O的两条切线；
（2）连接OE、OF，如图，先根据切线的性质得到∠OEP＝∠OFP＝90°，则根据四边形的内角和可计算出∠EOF＝150°，当点D在优弧EF上时，利用圆周角定理得到∠EDF＝75°，当点D′在弧EF上时，利用圆内接四边形的性质得到∠ED′F＝105°．
解：（1）如图，PE、PF为所作；
（2）连接OE、OF，如图，
∵PE，PF为⊙O的两条切线，
∴OE⊥PE，OF⊥PF，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴∠EOF＝180°﹣∠EPF＝180°﹣30°＝150°，
当点D在优弧EF上时，∠EDF=12∠EOF＝75°，
当点D′在弧EF上时，∠ED′F＝180°﹣∠EDF＝180°﹣75°＝105°，
综上所述，∠EDF的度数为75°或105°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和切线的判定与性质．
23．【2023·牡丹江】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，D为AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE＝90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
解：如图：Rt△CDE即为所求；
线段AE的长为23.
[解析]∵∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴AC＝23，
∵△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝23．
河南省
18．【2023·河南18题】如图，△ABC 中，点D在边AC上，且AD＝AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
​
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE.
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（ASA）.∴DE＝BE．
湖北省
19．【2023·仙桃】已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．
（1）在图1中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN；
（2）在图2中作出以BE为边的一个菱形BEPQ．
【分析】（1）根据菱形的性质和正六边形的性质作图；
（2）根据菱形的性质和正六边形的性质作图．
解：如图：
（1）菱形BMEN即为所求；
（2）菱形BEPQ即为所求．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握菱形的性质和正六边形的性质是解题的关键．
18. 【2023·鄂州】如图，点E是矩形的边上的一点，且．

（1）尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
解：（1）如图所示：
（2）四边形是菱形.
理由：∵矩形中，，∴.
∵平分，∴.∴.
∴.
∵，∴.
∵，∴四边形是平行四边形.
又∵，∴平行四边形是菱形．
【点评】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．画法
图形
（1）以A为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N．M、N就是线段AB的三等分点．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
求作：Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2，
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O即为所求作的圆．​
作法（如图）
结论
①在CB上取点P1，使CP1＝4．
∠P1OA＝45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2．
∠P2OA＝30°，点P2表示30°．
③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3．
…
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4．
…