2023年各省市中考数学试卷分类汇编知识点48 几何最值（Word版附解析）

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A．23B．3C．32D．42
【答案】C【解析】∵点M，N分别是PB，PC的中点，∴AM=12BP，DN=12PC，MN∥BC，∵ME∥DN，
∴四边形DEMN是平行四边形，∴ME＝ND，∴AM+ME＝AM+DN=12（BP+PC），∴AM+ME的最小值就是12（BP+PC）的最小值．找到点C关于直线AD对称点Q，连接PQ、BQ．BP+PC＝BP+PQ，当点BPQ三点共线时，BP+PQ的最小值就是BQ，在Rt△BCQ中，BC＝AD＝42，QC＝2CD＝210，BQ=BC2+QC2=(42)2+(210)2=62，∴AM+ME的最小值=12BM＝32，故选：C．
安徽省
10．【2023·安徽10题】如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为33
B．PE+PF的最小值为23
C．△CDE周长的最小值为6
D．四边形ABCD面积的最小值为33
【答案】 A【解析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图.∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°.∴DE∥BM，CE∥AM，∴四边形DECM是平行四边形.∵P为CD中点，∴P为EM中点.∵E在线段AB上运动，∴P在直线l上运动.由AB＝4知等边三角形ABM的高为23，∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为3，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，此时PA+PB最小值A'B=AA'2+AB2=(23)2+42=27，故选项A错误，符合题意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF.∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度.∵F为AB的中点，∴MF⊥AB，∴MF为等边三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值为23，故选项B正确，不符合题意；
过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图.∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴KE=12AE，TE=12BE.∴KT＝KE+TE=12AB＝2.∴CD≥2.∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK=3AK=3m，CT=3BT＝23-3m，∴S△ADK=12m•3m=32m2，S△BCT=12（2﹣m）（23-3m）=32m2﹣23m+23，S梯形DKTC=12（3m+23-3m）•2＝23，∴S四边形ABCD=32m2+32m2﹣23m+23+23=3m2﹣23m+43=3（m﹣1）2+33，∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为33，故选项D正确，不符合题意.故选A．
湖北省
10. 【2023·鄂州】如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．
【答案】D【解析】∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上.在轴负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、， ∵，∴.∴.∵，∴.∵，∴.∴.∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值.∵，，∴.∴.∵，∴.∵轴轴，，∴.∵，∴.∴即，解得.同理可得，，∴即，解得.∴.∴当线段取最大值时，点的坐标是，
【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
山东省
12．【2023·聊城】如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB=2，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则mn的值为（ ）
A．2B．3C．10D．13
【分析】当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值，由勾股定理可求此时GF的长，当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，由勾股定理可求此时GF的长，即可求解．
【答案】D 【解析】在等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB=2，∴AC＝BC＝1，在△BCG中，CG﹣BC＜BG＜CG+BC，即2＜BG＜4，如图，当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值，
∴DG＝DC+CG＝5，GF＝1，∴DF=DG2+GF2=25+1=26=m，当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，
∴DG＝CG﹣DC＝1，FG＝1，∴DF=FG2+DG2=1+1=2=n，∴mn=13，故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，勾股定理等知识，确定BG最长和最短时的位置是解题的关键．
四川省
10．【2023·德阳】如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）
A．1B．32C．32D．3
【分析】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥OD，利用平行四边形的面积求解DM的长，再利用三角形的中位线定理可求解PG的长，进而可求解．
【答案】A【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，∴OD＝OC，∵DF∥AC，OD∥CF，∴四边形OCFD为菱形，∴点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥OD，∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6，∴2×12AC•DM＝12，即2×12×6•DM＝12，解得DM＝2，∵G为CD的中点，∴GP为△DMC的中位线，∴GP=12DM＝1，故PG的最小值为1．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，找准PG有最小值时的P点位置是解题的关键．
12．【2023·自贡】如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A．3+66B．32C．63D．56
【分析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KM=12TB＝2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．
【答案】A【解析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，∴△OAT是等边三角形，∵A（4，0），∴TO＝TA＝TB＝4，∵OK＝KT，OM＝MB，∴KM=12TB＝2，∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，∴AK⊥OT，∴AK=OA2-OK2=42-22=23，∵AM是切线，KM是半径，∴AM⊥KM，∴AM=AK2-MK2=(23)2-22=22，过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．∵∠PML＝∠AMK＝90°，∴∠PMK＝∠LMA，∵∠P＝∠MLA＝90°，∴△MPK∽△MLA，∴MPML=PKAL=MKAM=222=12，设PK＝x，PM＝y，则有ML=2y，AL=2x，∴2y=3+x①，y＝3-2x，解得，x=32-33，y=3+63，∴ML=2y=32+233，∴sin∠OAM=MLAM=32+23322=3+66．
【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
10．【2023•乐山】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为1的⊙O上两动点，且CD=2，P为弦CD的中点．当C，D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ ）
A．8B．6C．4D．3
【分析】判断三角形PCD和三角形OAB都是等腰直角三角形，由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，求出AB、PQ，根据面积公式计算即可．
【答案】D【解析】作OQ⊥AB，连接OP，OD，OC，∵CD=2，OC＝OD＝1，∴OC2+OD2＝CD2.
∴△OCD为等腰直角三角形.由y＝﹣x﹣2得，点A（﹣2，0）、B（0，﹣2），∴OA＝OB＝2.∴△OAB为等腰直角三角形.∴AB＝22，OQ=2.
由题得，当P，O，Q共线时，S△ABP最大，∵P为中点，∴OP=22.∴PQ＝OP+OQ=322.
∴S△ABP=12AB•PQ＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，点圆最值的计算是解题关键．
内蒙古
9．【2023·通辽】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A．2+π6B．2+π3C．22+π6D．22+π3
【分析】作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，最小值为AE的长与弧AD的和．
【答案】A【解析】作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，
在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB于点D，∴∠AOD＝∠BOD＝30°，由轴对称的性质，∠EOB＝∠BOD＝30°，OE＝OD，∴∠AOE＝90°，∴△AOE是等腰直角三角形，∵OA＝1，∴AE=2，AD的长=30π×1180=π6，∴阴影部分周长的最小值为2+π6．
【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，证得△AOE为等腰直角三角形是解题的关键．
江苏省
7. 【2023·宿迁】在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 8
【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得．
【答案】B【解析】如图，过点作于点，连接，，，当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，
【点评】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键．
10.【2023·无锡】如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（ ）
A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①③④
【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，．
【答案】A 【解析】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；如图，点不是中点，所以点不是重心；①正确
②当，如图时最大，，，，，
，，②错误；
③如图5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③错误；
④如图6，，∴，即，在中，，∴，∴，当时，最大为5，
∴④正确．故选：C．
【点评】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．
9.【2023·无锡】如图，在四边形中，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. 10
【分析】过点C作，过点B作，需使最小，显然要使得和越小越好，则点F在线段的之间，设，则，求得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.
【答案】B 【解析】过点C作，
∵，，∴，过点B作，∵，∴四边形是矩形，∴，需使最小，显然要使得和越小越好，∴显然点F在线段的之间，设，则，∴，∴当时取得最小值为．故选：B．
【点评】本题考查了二次函数应用，矩形的判定和性质，解直角三角形，利用二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
18．【2023·湘西州】如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP的最小值为 ．
【答案】6【解析】如图所示，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=30°，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4，∴OA＝OB＝4，CF⊥AB，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∴∠OAE=∠OAB=12∠BAC=30°，∵BE⊥AC，∴OE=12OA=2，∴BE＝BO+EO＝6，∵PD⊥AB，∠ABE＝30°，∴PD=12PB，∴CP+12BP＝CP+PD≥CF∴CP+12BP的最小值为CF的长度，∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，CF⊥AB，∴CF＝BE＝6，∴CP+12BP的最小值为6．故答案为：6．
16．【2023·淮安】在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，BH为∠ABC内部的任一条射线（∠CBH不等于60°），点C关于BH的对称点为C′，直线AC′与BH交于点F，连接CC′、CF，则△CC′F面积的最大值是 ．
【答案】43【解析】连接BC'，由轴对称性可知，BC＝BC'，∵AB＝BC＝BC'，∴A、C、C'在以B点为圆心，AB为半径的圆上，∵∠ABC＝120°，∴∠AC'C＝120°，∴∠FC'C＝180°﹣120°＝60°，∵CF＝C'F，
∴△CC'F是等边三角形，∴要使△CC′F面积的最大，只需CC'最大即可，∴当CC'是圆的直径时，△CC′F面积的最大，∴CC'＝4，∴△CC′F面积的最大值为12×4×4×sin60°＝43，故答案为：43．
18．【2023·南通】如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是 ．
【答案】213 【解析】设AC，BD的交点为O，AB，BC，CD，DA的中点分别是P，Q，R，S，连接PQ，QR，RS，SP，OQ，OS，QS，如图：
∵AC，BD互相垂直，∴△AOD和△BOC为直角三角形，且AD，BC分别为斜边，∴AD＝2OS，BC＝2OQ，∴AD+BC＝2（OS+OQ），∴当OS+OQ为最小时，AD+BC为最小，根据“两点之间线段最短”得：OQ+OS≥QS，∴当点O在线段QS上时，OQ+OS为最小，最小值为线段QS的长，∵点P，Q分别为AB，BC的中点，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ=12AC＝2，PQ∥AC，同理：QR=12BD＝3，QR∥BD，RS=12AC＝2，RS∥AC，SP=12BD＝3，SP∥BD，∴PQ∥AC∥RS，QR∥BD∥SP，∴四边形PQRS为平行四边形，∵AC⊥BD，PQ∥AC，SP∥BD，
∴PQ⊥SP，∴四边形PQRS为矩形，在Rt△PQS中，PQ＝2，SP＝3，由勾股定理得：QS=PQ2+SP2=13，∴OQ+OS的最小值为13，∴AD+BC的最小值为213．故答案为：213．
18．【2023·常州】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是AC延长线上的一点，CD＝2．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作▱CMND．连接AN并取AN的中点P，连接PM，则PM的取值范围是 ．
【答案】22≤MP＜5 【解析】∵AB＝AC＝4，∴AD＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，四边形CNMD是平行四边形，∴DN∥BC，DN＝BC，CD∥MN，CD＝MN，∴∠ADN＝∠ACB＝45°＝∠ABC＝∠CMN，当M与B重合时，如图M1，N1，P1，∠ABN1＝90°，
∴AN1=42+22=25，∵P1是中点，∴MP1=12AN1=5，当MP⊥BC时，如图P2，M2，N2，∵P1，P，P2是中点，∴P的运动轨迹为平行于BC的线段，交AC于H，∴CH＝3﹣2＝1，∵∠ACB＝45°，∴PH与BC间的距离为P2M2=22CH=22，∵M不与B、C重合，∴22≤MP＜5．
湖南省
18．【2023·邵阳】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 ．
​
【答案】11-2【解析】根据折叠的性质得出B'在A为圆心，2为半径的弧上运动．如图所示．当A，B'，C三点共线时，CB最短，此时CB'＝AC﹣AB'=11-2．
黑龙江
20．【2023·绥化】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 ．
【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．
【答案】3+33 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE=12∠ABC＝30°，CD=12AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH=12AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°=33，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝33，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝33，∴△CDF的周长的最小值为3+33．故答案为：3+33．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应用，关键在于证明三角形全等确定E点运动轨迹．
山东省
14．【2023·菏泽】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 ．
【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DFA＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．
【答案】29-2 【解析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠ADF＝∠BAE，∴∠DFA＝∠ABE＝90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，∵AD＝4，∴AO=OF'=12AD=2，∴BO=52+22=29，∴线段BF的最小值为29-2，故答案为：29-2．
【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，根据题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．
16.【2023·日照】 如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．
【分析】根据等腰三角形的三线合一可知，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判断②；根据相似可以得到，判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④．
【答案】②③④【解析】∵，，∴，在点P移动过程中，不一定，
相矛盾，故①不正确；
延长交于点P,则为矩形，∴.∵，，
∴∴，∴，∴，
即，解得：，∴.故②正确；
∵，∴，∴，∴，∵，，
∴，∴，∴，故③正确，，即当的最小值，作B、D关于的对称点,把图中的向上平移到图2位置，使得，连接，即为的最小值，则，,这时，即的最小值是20，故④正确；故答案为：②③④
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
辽宁省
18．【2023·抚顺、葫芦岛】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F．当BF最大时，点B′到BC的距离是 ．​
【分析】​当DF⊥AB'时，BF有最大值，即点E与点F重合，由勾股定理可求CE的长，可求BE＝B'E＝4，通过证明△EB'H∽△EDC，即可求解．
【答案】165【解析】如图，过点B'作BH⊥BC于H，∵点B关于直线AE的对称点B′，∴AB＝AB'，BE＝B'E，∠AEB＝∠AEB'，∠ABE＝∠AB'E，当DF⊥AB'时，BF有最大值，∴∠AB'F＝∠AB'E＝90°，∴点E与点F重合，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEB'，∴AD＝DE＝10，∴CE=DE2-CD2=100-64=6，∴BE＝4＝B'E，∵B'H⊥BC，DC⊥BC，∴B'H∥CD，∴△EB'H∽△EDC，∴EB'DE=B'HCD，∴410=EB'8，∴EB'=165，∴点B′到BC的距离是165，
【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，确定点F的位置是解题的关键．
四川省
16．【2023·德阳】如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝23，AA1＝2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．
【分析】利用平面展开图可总结为3种情况，画出图形利用勾股定理求出B1M的长即可．
【答案】19【解析】如图1，将三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内，连接MB1，∵M是AC的中点，△ABC和△A1B1C1是等边三角形，∴CM=12AC=12×23=3，∴BM＝CM+BC＝33，在Rt△MBB1中，由勾股定理得：B1M=BM2+B1B2=33，如图2，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，则四边形AEFA1是矩形，ME⊥AB，在Rt△AME中，∠MAE＝60°，∴ME＝AM•sin60°=3×32=32，AE＝AM•cs60°=32，∴MF＝ME+EF=32+2=72，B1F＝A1B1﹣A1F=332，在Rt△MFB1中，由勾股定理得：B1M=MF2+B1F2=19，如图3，连接B1M，交A1C1于点N，则B1M⊥AC，B1N⊥A1C1，在Rt△A1NB1中，∠NA1B1＝60°，∴NB1＝A1B1•sin60°＝3，∴B1M＝NB1+MN＝5，∵19＜5＜33，∴小虫爬行的最短路程为19．
【点评】本题主要考查了立体图形的展开图，两点之间距离最短，关键是正确画出立体图形的平面展开图并进行分类讨论．
16．【2023·雅安】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 ．
【分析】连接CP，由勾股定理求出AB的长，再证四边形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由等腰直角三角形的性质求出CP的长，即可得出结论．
【答案】32【解析】如图，连接CP，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB=AC2+BC2=62+62=62，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，∴∠PDC＝∠PEC＝90°，∴四边形CDPE是矩形，∴DE＝CP，由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小，此时，AP＝BP，∴CP=12AB＝32，∴DE的最小值为32，
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
15．【2023·广安】如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）
【分析】将杯子侧面展开，建立B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知B′A的长度即为所求．
【答案】10【解析】如图：
将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A=B'D2+AD2=82+62=10（cm）．故答案为：10．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
15．【2023·达州】在△ABC中，AB＝43，∠C＝60°，在边BC上有一点P，且BP=12AC，连接AP，则AP的最小值为
【分析】作△ABC 的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得AM＝BM＝CM＝4，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得∠AMC＝∠PNB，从而易证△AMC∽△PNB，可得 CMPN=ACPB=21 即 PN=12CM=2，勾股定理即可求得AN=213，在△APN中由三角形三边关系AP≥AN﹣PN即可求解．
【答案】213-2【解析】如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；
∵∠C＝60°，M为△ABC的外接圆的圆心，∴∠AMB＝120°，AM＝BM，∴∠MAB＝∠MBA＝30°，∴MD=12AM，∵MD⊥AB，∴AD=12AB=23，在Rt△ADM中，∵AM2＝MD2+AD2，∴AM2=(12AM)2+(23)2，
∴AM＝4，即AM＝BM＝CM＝4，由作图可知BN⊥AB，N在BP的垂直平分线上，∴∠PBN＝∠BPN＝90°﹣∠ABC，∴∠PNB＝180°﹣（∠PBN+∠BPN）＝2∠ABC，又∵M为△ABC的外接圆的圆心，∴∠AMC＝2∠ABC，
∴∠AMC＝∠PNB，∵CMPN=AMBN，∴△AMC∽△PNB，∴CMPN=ACPB，∵BP=12AC，∴CMPN=ACPB=21，即PN=12CM=2，∴PN＝BN＝2，在Rt△ABN 中，AN=AB2+BN2=(43)2+22=213，在△APN中，AP≥AN-PN=213-2，即AP最小值为13-2，故答案为：213-2．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合△ABC的外接圆构造相似三角形．
16．【2023·泸州】如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是 ．
【分析】找出点E关于AC的对称点E'，连接FE'与AC的交点P'即为PE+PF取得最小值时，点P的位置，再设法求出AP'P'C的值即可．
【答案】27【解析】作点E关于AC的对称点E'，连接FE'交AC于点P'，连接PE'，
∴PE＝PE'，∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，∴当PE+PF取得最小值时，求APPC的值，只要求出AP'P'C的值即可．∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上，且AE'＝AE，过点F作FG⊥AB交AC于点G，则∠GFA＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，∴GF＝AF，
∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，∴AE'＝AE＝EF＝FB，∴GC=13AC，AE'GF=AEAF=12，∴AG=23AC，AP'P'G=AE'GF=12，∴AP'=13AG=13×23AC=29AC，∴P'C＝AC﹣AP'＝AC-29AC=79AC，∴AP'P'C=29AC79AC=27，故答案为：27．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，熟悉运用将军饮马模型，以及转化思想是解题的关键．
17．【2023·宜宾】如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB＝4，MP＝1，则MQ的最小值为 ．
【分析】连接BM，将△BCM绕B逆时针旋转90°的△BEF，连接MF，QF，证明△BPM≌△BBQF（SAS），得MP＝QF＝1，故Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，求出BM＝＝2，可得MF＝BM＝2，由MQ≥MF﹣QF，知MQ≥2﹣1，从而可得MQ的最小值为2﹣1．
【答案】2﹣1【解析】连接BM，将△BCM绕B逆时针旋转90°的△BEF，连接MF，QF，如图：
∵∠CBE＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠CBE＝180°，∴A，B，E共线，∵∠PBM＝∠PBQ﹣∠MBQ＝90°﹣∠MBQ＝∠FBQ，由旋转性质得PB＝QB，MB＝FB，∴△BPM≌△BBQF（SAS），∴MP＝QF＝1，∴Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径的弧，∵BC＝AB＝4，CM＝CD＝2，∴BM＝＝2，∵∠MBF＝90°，BM＝BF，∴MF＝BM＝2，∵MQ≥MF﹣QF，∴MQ≥2﹣1，∴MQ的最小值为2﹣1．
【点评】本题考查正方形中的旋转问题，解题的关键是掌握性质的性质，正确作出辅助线构造全等三角形解决问题．
24．【2023·凉山州】如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 ．
【分析】取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．
【答案】1+3【解析】取AB中点D，连OD，DC，
∴OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2，∴CD=BC2-BD2=3，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB＝1，∴OD+CD＝1+3，即OC的最大值为1+3．故答案为：1+3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．
三、解答题
重庆
26．【2023·重庆B卷】如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．
（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；
（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；
（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．
【分析】（1）根据旋转的性质得出CE＝CF，∠ECF＝60°，进而证明△BCE≌AACF（SAS），即可得证；试（2）过点F作FKIIAD，交DH点的延长线于点K，连接EK，FD，证明四边形四边形EDFK是平行四边形，即可得证；（3）如图所示，延长AP，DQ交于点R，由（2）可知△DCG是等边三角形，根据折叠的性质可得∠PAG＝∠EAG＝30°，∠QDG＝∠EDG＝30°，进而得出△ADR是等边三角形，由（2）可得RtACED≌RtACFG，得出四边形GDQF是平行四边形，则QF＝DC＝﹣4C＝2．进而得出CPGQ＝360°﹣2C 4GD＝120°，则PQ＝√3pG＝√3GQ，当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，即可求解．（1）由“SAS”可证△ACF≌△BCE，可得结论；
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，∴CE＝CF，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝∠ECF，∴∠BCE＝∠ACF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CBE＝∠CAF；
证明：如图所示，过点F作FK∥AD，交DH点的延长线于点K，
连接EK，FD，
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，
∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴EB＝EC，
又∵△BCE≌△ACF，∴AF＝BE，CF＝CE，∴AF＝CF，
∴F在AC的垂直平分线上，
∵AB＝BC，∴B在AC的垂直平分线上，∴BF垂直平分AC，
∴AC⊥BF，AG＝CG=12AC，∴∠AGF＝90°，
又∵DG=12AC＝CG，∠ACD＝60°，∴△DCG是等边三角形，
∴∠CGD＝∠CDG＝60°，∴∠AGH＝∠DGC＝60°，
∴∠KGF＝∠AGF﹣∠AGH＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠ADK＝∠ADC﹣∠GDC＝90°﹣60＝30°，KF∥AD，
∴∠HKF＝∠ADK＝30°，∴∠FKG＝∠KGF＝30°，∴FG＝FK，
在Rt△CED与Rt△CGF中，CF=CECD=CG，∴Rt△CED≌Rt△CFG，
∴GF＝ED，∴ED＝FK，∴四边形EDFK是平行四边形，∴EH＝HF；
（3）解：依题意，如图所示，延长AP，DQ交于点R，
由（2）可知△DCG是等边三角形，∴∠EDG＝30°，
∵将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，
将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，
∴∠PAG＝∠EAG＝30°，∠QDG＝∠EDG＝30°，
∴∠PAE＝∠QDE＝60°，∴△ADR是等边三角形，
∴∠QDC＝∠ADC﹣∠ADQ＝90°﹣60°＝30°，
由（2）可得Rt△CED≌Rt△CFG，∴DE＝GF，∴DE＝DQ，∴GF＝DQ，
∵∠GBC＝∠QDC＝30°，∴GF∥DQ，∴四边形GDQF是平行四边形，
∴QF＝DG=12AC＝2，由（2）可知G是AC的中点，则GA＝GD，
∴∠GAD＝∠GDA＝30°，∴∠AGD＝120°，
∵折叠，∴∠AGP+∠DGQ＝∠AGE+∠DGE＝∠AGD＝120°，
∴∠PGQ＝360°﹣2∠AGD＝120°，
又PG＝GE＝GQ，∴PQ=3PG=3GQ，
∴当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，此时如图所示，
∴GQ=12GC=12DC＝1，∴PQ=3，∴PQ+QF=3+2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
山东省
21.【2023·日照】 在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
（3）已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A、B、D、E四点共圆；
（2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线；
（3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，解直角三角形求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可．
（1）证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，即，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，∴，
∵是四边形的外接圆，∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，即，∴，
又∵是的半径，∴是的切线；

（3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，
∵，∴，
∵点M是边的中点，∴，，
∴，∴，
在中，，∴，
∵是四边形的外接圆，∴点P一定在的垂直平分线上，
∴点P在直线上，∴当时，有最小值，
∵，
∴在中，，
∴圆心P与点M距离的最小值为．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．