【知识清单】人教A版（2019）高中数学必修二第八章立体几何初步（含训练题+答案解析）

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第六章 立体几何初步知识点一 基本立体图形1 1.空间几何体：在我们周围存在着各种各样的物体， 它们都占据着空间的一部分.如果只考虑这些物体的形状和大小， 而不考虑其他因素， 那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.2.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.3.旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面， 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体， 这条定直线叫做旋转体的轴.4.棱柱和圆柱统称为柱体，棱锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称为台体.5.简单组合体（“接”和“截”简单几何体就可得到组合体）①定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.②简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.重点题型一1.下列几何体中，棱的条数是面的个数的2倍的是（ A  ）A．平行六面体B．三棱锥C．五棱柱D．六棱台【详解】平行六面体有6个面，12条棱，符合题意，所以A正确；三棱锥有4个面，6条棱，不符合题意，所以B不正确；五棱柱有7个面，15条棱，不符合题意，所以C不正确；六棱台有8个面，18条棱，不符合题意，所以D不正确.2. 下列说法中正确的是（ B ）．A．棱柱的一条侧棱长叫做棱柱的高B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行C．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【详解】由棱柱的特征：①有两个面相互平行且全等；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.可以判断：A不正确，只有直棱柱满足A的条件；B正确； C不正确，例如正六棱柱的相对侧面； D不正确，例如平行六面体.故选:B.3．一个透明密闭的正方体容器中恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体容器，则水面在容器中形成的所有可能的形状是（ C ）①三角形 ②菱形 ③五边形 ④正方形 ⑤正六边形A．②④B．③④⑤C．②④⑤D．①②③④⑤【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，所以②是正确的；过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，所以④是正确的；过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以⑤是正确的；过正方体的中心的平面截正方体得到的截面，且该截面将正方体的体积平分，显然截面不能是三角形和五边形.4．《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ C ）A．8B．16C．24D．28【详解】根据正八边形的性质可得，底面边长都相等，底面每个内角都为，，，所以，，，又因为平面，且，则平面，又因为，所以共有4个阳马；同理，平面，共4个；平面，共4个；平面，共4个；平面，共4个；平面，共4个；故有24个阳马.5.下列命题正确的是（ CD ）A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台C．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体D．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面【详解】对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定为棱台，因为不能保证各侧棱的延长线交与一点，错误；对于B，用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不一定为棱台，因为不能保证截面与底面平行，错误；对于C，由棱锥的定义知由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体是棱锥，正确；对于D，球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面，正确；故选：CD.6.下列说法正确的有（ ABC ）A．正三棱锥的三个侧面重心所确定的平面与底面平行B．设m为圆锥的一条母线，则在该圆锥底面圆中，有且只有一条直径与m垂直C．对于任意一个正棱柱，都存在一个球，使得该正棱柱的所有顶点都在此球面上D．设AB，CD分别为圆柱上､下底面的弦，则直线AB，CD间距离等于该圆柱母线长【详解】对于A选项，正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形（三线合一），根据重心的性质可得三个侧面的重心将此正三棱锥三个侧面等腰三角形的中线分为的比例，如图1，即：，所以，又平面，平面，故平面，同理得平面，由于，所以平面平面；故选项A正确；对于B选项，如图2，为母线，为圆锥的高，连接，即是在底面的射影，过作，根据平面的性质得，过作的垂线有且只有一条，故B选项正确；对于C选项，由于正棱柱的中心到正棱柱的各个顶点的距离相等，故满足球心到球面上的任意点的距离相等且等于半径，故正棱柱的中心就是其外接球的球心，故C选项正确；对于D选项，如图3，或均不是圆柱的母线，故D选项错误.故选：ABC知识点二 斜二测画法21.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤2.斜二测画法的步骤：①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变.3.原图与直观图的关系：S直=S原；S原=S直重点题型二1.如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图，其中.则四边形OABC的面积是（  A   ）A．3B．C．6D．4【详解】由斜二测画法知，四边形OABC是直角梯形，上、下底分别为，高，所以四边形OABC的面积2. 利用斜二测画法得到：①三角形的水平放置的直观图是三角形；②平行四边形的水平放置的直观图是平行四边形；③矩形的水平放置的直观图是矩形；④菱形的水平放置的直观图是菱形．以上结论正确的是（ B ）．A．①B．①②C．③④D．①②③④【详解】由斜二测画法的规则可知：因为平行关系不变，所以①正确；因为平行关系不变，所以②是正确；因为直角变为或，所以矩形的直观图是平行四边形，所以③错误；因为平行于轴的线段长度减半，平行于轴的线段长度不变，所以④是错误.3. 一个三角形用斜二测画法所作的直观图是一个边长为2的正三角形，则原三角形的面积为（ C ）A．B．C．D．【详解】直观图中三角形的高为，所以由斜二测画法的规则可得原三角形中三角形的高为，所以原三角形的面积为.4.若边长为的正是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是 （ D ）A．B．C．D．【详解】因为直观图是由斜二测画法作出的，图中，因为是边长为的正三角形，，在中，由正弦定理可得，解得，根据斜二测画法的特征，可得原水平放置的三角形的高为，底边长等于，所以原图形的面积为.5.如图所示，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ B ）A．B．C．D．【详解】如图所示，由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变，正方形的对角线在轴上，可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为，所以原来的图形是平行四边形，其在横轴上的边长为1，高为，所以它的面积是． 6.如图，水平放置的三角形的直观图，是边上的一点且，轴，轴，那么､､三条线段对应原图形中的线段､､中（ D ）A．最长的是，最短的是B．最长的是，最短的是C．最长的是，最短的是D．最长的是，最短的是【详解】因为轴，轴，所以在原图中，，所以，又因为，所以.知识点三 表面积与体积3空间几何体的表面积与体积注：侧面积公式公式中的l均为空间几何体的母线.2.正方体的棱长为a，球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.3.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.4.棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球的半径为.重点题型三1．如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的体积为（ B  ）A．B．C．D．【详解】由图可知，几何体是由正方体截去八分之一球体所得，所以体积为.如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为20 cm，取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为，则该几何体上部分圆台的体积约为（ C  ）A．B．C．D．【详解】设圆台、圆柱的高分别为，圆台的上口半径和下口半径分别为，则由题意可得，，，由题意，1320，得，所以，故．3.已知圆锥的轴截面是边长为的正三角形，从该圆锥内挖去圆锥的内切球后剩余部分的体积为（  C   ）A．B．C．D．【详解】取圆锥的轴截面等边，设该圆锥的内切球球心为，由题意可知，球心在线段上，且为等边的中心，为等边外接圆的半径，所以，可得，又因为，且切圆于点，所以，故，即内切球半径为，由题意可知，圆锥的底面半径为，高为，故从该圆锥内挖去圆锥的内切球后剩余部分的体积为.4．（2020·山西吕梁市·高二期中）已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（ A ）A．B．C．D．【详解】由所给正方体的展开图得到直观图，如图：则此三棱锥的表面积为：.5．（2020·湖南高三月考）如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器.秦始皇统一中国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡.经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积（不含上底面）为33平方寸，则该铜方升内口的容积为（ D ）A．5.4立方寸B．8立方寸C．16立方寸D．16.2立方寸【详解】设内口宽为寸，则长为寸，由整理得，解得（舍去）故所求的容积为立方寸.6．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高（D）A．B．2C．D．【详解】设圆锥底面半径是，母线长，，即①根据圆心角公式得：，即②由①②解得：，，高.7．若圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则圆锥的体积与球的体积之比是（ D ）．A．B．C．D．【详解】设球的半径为，则该球的体积为；又圆锥的底面半径和高都等于球的半径，所以该圆锥的体积为，因此圆锥的体积与球的体积之比是.9.正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为，则（ AD ）A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为C．正方体的棱长为1 D．线段MN的最大值为【详解】设正方体的棱长为a，则其外接球的半径为R=32a，内切球的半径为R'=a2，正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，由于两球球心相同，可得MN的最小值为3a2-a2=3-1，解得a=2，故C错误；所以外接球的半径为3，表面积为4π×3=12π，故A正确；内切球的半径为1，体积为43π，故B错误；MN的最大值为R+R'=3+1，故D正确；故选：AD.知识点四 点、直线、平面之间的位置关系41. 平面（1）含义：平面是无限延展的DCBAα（2）平面的画法及表示①平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长（如图）②平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。2．点、直线、平面之间的基本位置的符号表示3．三个基本事实：（1）基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。基本事实1作用：确定一个平面的依据。（2）基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号表示为：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α=>l⊂α基本事实2作用：判断直线是否在平面内（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=l，且P∈l基本事实3作用：判定两个平面是否相交的依据4．基本事实1和基本事实2的三个推论（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面符号表示为：A∉l=>存在唯一的α，使A∈α，l⊂α（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面符号表示为：l∩m=A=>存在唯一的α，使l⊂α，m⊂α（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面符号表示为：l∥m=>存在唯一的α，使l⊂α，m⊂α5．空间中直线与直线之间的位置关系空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线： 同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点6．空间中直线与平面的位置关系直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a⊄α来表示a⊂αa∩α=A a∥α7．空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面有三种位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——无数个公共点（在同一直线上）α//β α∩β=a重点题型四1.已知下列说法正确的是（ D ）A．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面B．平面与平面相交，它们只有有限个公共点C．经过三点，有且只有一个平面D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合【详解】对于，当点在直线上时，说法不正确；对于，当平面与平面相交，它们无数个公共点，这些公共点在一条公共直线上，说法不正确；对于，经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，说法不正确；对于，如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，说法正确.2．若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ B ）．A．内的所有直线与异面B．内不存在与平行的直线C．内存在唯一的直线与平行D．内的直线与都相交【详解】因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，设交点为.A：直线可以和在平面内过点的直线相交，故本选项结论不成立；B：假设内存在与平行的直线，设为，根据线面平行的判定定理可知直线与平面平行，这与直线与平面相交相矛盾，故假设不成立，故本选项结论成立；C：根据B的判断，显然本选项的结论不成立；D：由A判断，显然本选项结论不成立.3．在正方体中，是正方形的中心，点在线段上，且，是的中点，则异面直线，所成角的大小为（ D ）A．30°B．45°C．60°D．90°【详解】如图所示，在正方体中，在底面上的射影为，在正方形中，分别为的中点，可得，又由，且，所以平面，又由平面，那么，则异面直线所成角的大小为.故选：D.4．若l，m为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（ A ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【详解】由且能推出，充分性成立；若且，则或者，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件.5．如果、是异面直线，且平面，那么与的位置关系是（ D ）A．B．与相交C．D．不确定【详解】、是异面直线，且平面，如图所示：正方体中，是对应棱上的中点，对角面是平面，直线是，满足题意，则是时，，是时与相交，是直线时，，故与的位置关系不确定.6．在正方体中，点在线段上运动，则（ BD ）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为【详解】A错，如图，连接B1D1，A1C1，由正方体可得A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1，则BB1⊥A1C1，所以A1C1⊥平面BD1B1，故A1C1⊥BD1；同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，则BD1⊥平面A1C1D，若直线BD1⊥平面A1C1D，则平面A1B1CD∥平面A1C1D这与平面A1B1CD与平面A1C1D相交矛盾，所以A错；B正确，VM-A1C1D=VC1-A1MD，因为点M在线段B1C上运动，所以S△A1DM=12A1D⋅AB，面积为定值，且C1到平面A1MD1的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故体积为定值；C错，由A1D//B1C, 当点M与线段B1C的端点重合时，AM与A1D所成角为60°；设B1C的中点为M0,当点M由B1C的端点向中点M0运动时，为异面直线AM与A1D所成角在在△ACB1中,AC=AB1，所以 在中，不变，逐渐变小.所以逐渐增大，当点M与M0重合时，异面直线AM与A1D所成角为90° 所以异面直线AM与A1D所成角的取值范围是π3,π2,所以C不正确.D正确，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1， 则， 由前面可得，平面，所以 为平面的一个法向量∴直线C1M与平面A1C1D所成角的正弦值为θ ： 当a=12时，sinθ有最大值63 所以直线C1M与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为63，故D正确．故选：BD．知识点五 直线与平面的平行51. 直线与直线平行（1）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：a∥b，c∥b=>a∥c强调：基本事实4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。基本事实4作用：判断空间两条直线平行的依据。（2）空间四边形：顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形。（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号表示为：OA∥O’A’，OB∥O’B’且同向=>∠AOB=∠A’O’B’等角定理作用：判定与证明两个角相等。2．直线与平面平行（1）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a⊄α，b⊂β，a∥b=>a∥α（2）直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β=b=>a∥b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。3．平面与平面平行（1）两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。简记为：线面平行则面面平行。符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α=>β∥α证明方法：反证法（2）两个平面平行的判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a’⊂α，b’⊂α，a’∩b’=P’，a∥α，b∥α=>β∥α（3）平面与平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。简记为：面面平行则线线平行。符号表示：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b=>a∥b（4）两平面平行的相关性质①若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行（β∥α，a⊂α=>a∥β）②夹在两个平行平面间的两条平行线段相等③平行平面具有传递性及平行于同一平面的两个平面平行（β∥α，β∥γ=>α∥γ）④两条直线被三个平行平面所截截得的对应线段成比例4．判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。重点题型五1．在下列条件中，可判断平面与平行的是（ B ）A．，B．m，n是两条异面直线，且，，，C．m，n是内的两条直线，且，D．内存在不共线的三点到的距离相等【详解】对于A选项：若，，则平面与平行或相交，故A不正确；对于B选项： 在直线n.上取一点Q，过点Q作直线m的平行线m'，所以m'与n是两条相交直线，所以，，且，根据面面平行的判定定理可得，所以B正确.对于C选项：若m，n是内的两条直线，且，，则根据面面平行的判定定理可得，平面与平行或相交，所以C不正确.对于D选项：若内不共线的三点到的距离相等，则根据面面的位置关系可得：平面与平行或相交，故D不正确. 2．已知直线a与平面，能使的充分条件是（ D ）① ② ③ ④A．①②B．②③C．①④D．②④【详解】对①，若，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；对②，若，则，平面的平行具有传递性，故②正确；对③，若，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；对④，，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.综上：②④正确.3．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ C ）A．0条 B．1条 C．2条 D．0条或2条【详解】如图, 设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，则CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条.4.已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是（ D ）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则或【详解】对于A，若，，则或a与b异面；所以A错；对于B，若，，则或a与b相交或a与b异面；所以B错；对于C，若，，则或，所以C错；对于D，因为，所以在内存在直线c使得，因为，所以，因为，所以或，当时，因为，，所以，故D正确．5．如图，空间四边形中，，，分别是，，的中点，下列结论正确的是（ BC ）A． B．平面C．平面 D．，是一对相交直线【详解】A：点平面，点直线，点平面，由异面直线的定义可知，是异面直线，A错；B：，由直线与平面平行的判定定理可得平面，B对；C：，由直线与平面平行的判定定理可得平面，C对；D：点平面，点直线，点平面，由异面直线的定义可知，是异面直线，D错；故选：BC.6.在三棱柱中，平面分别是的中点，．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．【详解】（1）在中，因为分别是的中点，可得，又由平面，平面，所以平面． （2）由题意可得，所以AC1=52，所以AB12+B1C12=AC12，所以∠AB1C1=90°，可得， 易知点B1到平面ACC1的距离为125，设点C到平面AB1C1的距离为h，由，可得，解得．所以点C到平面AB1C1的距离为153434．知识点六 直线与平面的垂直61. 异面直线所成的角①两条异面直线所成的角θ∈（0，π2）；②当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；③两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；④计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。l2.直线与平面垂直Pα（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。符号表示：任意a⊂α，都有l⊥a=>l⊥α（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>β∥α3.直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。（2）范围：斜线与平面所成的角θ的范围是0≤θ≤90°（3）求法：作出斜线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。4.直线与平面垂直的性质定理：（1）直线与平面垂直的性质定理1：垂直于平面的直线与平面内任意一条直线垂直。简记为：线面垂直则线线垂直。符号表示：l⊥α，b⊂α=>l⊥b（2）直线与平面垂直的性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行。简记为：线面垂直则线线平行。作用：作平行线。符号表示：a⊥α，b⊥α=>a//b5.点面距、线面距、面面距（1）点面距：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离点面距AO范围：AO≥0（2）线面距：一条直线与一个平面平行直线条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离当直线l与平面α相交或l⊂α时，直线l到平面α的距离为O（3）面面距：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等我们把它叫做这两个平行平面间的距离当平面β与平面α相交时，平面β到平面α的距离为O6.平面与平面垂直（1）二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形二面角的记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.（2）平面与平面垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。符号表示：α⊥β（3）两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简记为：线面垂直则面面垂直。符号表示：AB⊥β，AB⊂α=>α⊥β（4）平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。简记为：面面垂直则线面垂直。作用：作平面的垂线。符号表示：α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l=>α⊥β重点题型六1.如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（ B ）A．平面B．，C．，D．，平面平面【详解】A. 因为平面，平面，所以，故正确；B. 因为，，则PC为BC，AP的公垂线，若，则平面，所以，不一定成立，故错误；C. 因为，且 ，所以平面，所以，故正确；D. ，平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，故正确.2．如图所示，在长方体，若，、分别是、 的中点，则下列结论中不成立的是（ C ）A．与垂直 B．平面C．与所成的角为 D．平面【详解】连接、、，则为的中点，对于A选项，平面，平面，，、分别为、的中点，则，，A选项正确；对于B选项，四边形为正方形，则，又，，平面，，平面，B选项正确；对于C选项，易知为等腰三角形，，则与所成的角为，∵，∴始终是锐角，而，∴不可能成立．C选项错误；对于D选项，，平面，平面，平面，D选项正确.3．已知平面，直线，满足，且互为异面直线，则“且”是“”的（ C ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【详解】充分性：互为异面直线，且，则内必存在两条相交直线，使得，若且，则且，，故充分性成立；必要性：互为异面直线，且，则内必存在两条相交直线，使得，若，则且，且，故必要性成立，“且”是“”的充要条件.4．如图，在三棱锥中，，且是斜边的等腰直角三角形，给出下列结论中，正确的是（ABC ）A．SB⊥ACB．SB⊥平面ABCC．平面平面D．点到平面的距离为32a【详解】由于，平面,，所以平面，所以，故选项正确；前面已经证明平面，平面，所以平面平面，所以选项正确；因为，平面，，所以平面，故选项正确；取的中点，连接，则，因为平面,,故平面，则的长度即为点到平面的距离，而，故选项错误.故选：ABC5.如图，四棱锥中，底面为平行四边形，平面，是棱PD的中点，且，．（1）求证：面； （2）求二面角的大小；【详解】（1）因为平面，平面，所以；又，，所以，则；又底面为平行四边形，所以，则，又，平面，平面，所以面；（2）由（1）可得：，，两两垂直；以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如下，因为，，所以，，，，，因为是棱PD的中点，所以，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，所以，不妨令，则，又平面，不妨取为平面的一个法向量，所以，因为二面角显然为锐角，记作，则，所以，即二面角的大小为.多面体定义图形及表示相关概念特殊情形棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥棱锥S－ABCD底面：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置， 平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线圆柱用表示它的轴的字母表示， 如图中的圆柱记作圆柱 O′O圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥圆锥也用表示它的轴的字母表示， 如图中的圆锥记作圆锥 SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 底面与截面之间的部分叫做圆台圆台也用表示它的轴的字母表示， 如图中的圆台记作圆台 O′O球半圆以它的直径所在直线为旋转轴， 旋转一周形成的曲面叫做球面， 球面所围成的旋转体叫做球体， 简称球.半圆的圆心叫做球的球心， 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径球常用表示球心的字母来表示， 左图可表示为球 O空间几何体表面积体积棱柱各个面面积之和V=S底×h棱锥各个面面积之和V=13S底×h棱台各个面面积之和V=13（S上+S上S下+S下)×h圆柱S=2πrl+2πr2V=πr2h圆锥S=πrl+πr2V=13πr2h圆台S=πr2+πR2+π(r+R)lV=13（πr12+πr1r2+πr22)h球S=4πR2V=43πR3空间几何体侧面积圆柱S侧= 2πrl圆锥S侧= πrl圆台S侧= π(r+R)l文字语言符号语言点A在直线l上A∈l点A在直线l外A∉l点A在平面α内A∈α点A在平面α外A∉α直线l在平面α内l⊂α直线l在平面α外l⊄α平面α，β相交于lα∩β＝l