【精选易错题精练】人教A版（2019）高中数学必修二第八章立体几何初步（含答案解析）

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立体几何初步易错题易错点一 几何体结构特征11.混淆柱、锥、台的特征棱柱的侧棱平行且相等，但底面可为任意多边形；棱台的上下底面必须相似且侧棱延长后交于一点；圆柱的母线与轴平行，圆台的母线延长交于一点.2.平面图形与立体图形的性质混淆通过实物模型观察不同摆放方式下“长、宽、高”的相对性，理解几何体定义的本质特征.●典例讲解1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　)A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等2.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　　)A．①② B．①③C．①④ D．①⑤3.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　）A．（1）是棱台B．（2）是圆台C．（3）是棱锥D．（4）不是棱柱易错点二 三视图与直观图 21.三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”.2.解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.3.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．4.确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．5.斜二测画法：保持与x轴平行的线段长度不变，将y轴方向线段画为原长的一半.●典例讲解1. 图（1）为一个几何体的表面展开图.（1）沿图中虚线将它折叠起来，是哪一种几何体？画出其空间图形.（2）需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体？若图（2）是棱长为6的正方体，试在图中画出这几个几何体的一种组合情况.2. 如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝12 cm，求其水平放置的直观图的面积．易错点三 表面积与体积31.求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．2.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.●典例讲解1.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为（ ）A．B．C．D．2.三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是62，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）A．B．C．D．易错点四 空间位置关系41.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在一个平面内”．2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].●典例讲解1.若为两条异面直线外的任意一点，则（ ）A．过点有且仅有一条直线与都平行B．过点有且仅有一条直线与都垂直C．过点有且仅有一条直线与都相交D．过点有且仅有一条直线与都异面2.下列命题中正确的个数是(　 )①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α　②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行　③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行　④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0 B.1 C.2 D.33.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是　　　　.(将你认为正确的序号都填上) 易错点五 平行与垂直关系51.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化．2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要做一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.●典例讲解1.在三棱锥中，底面ABC，，E，F分别为棱PB，PC的中点，过E，F的平面分别与棱AB，AC相交于点D，G，给出以下四个结论：①；②；③；④.则以上正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．42.在正四面体中，､､分别是､､的中点，下面四个结论中正确的是（ ）A．平面B．平面C．平面平面D．平面平面3.在三棱锥D-ABC中，，且，，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（ ）A． B．平面ABDC．三棱锥A-CMN的体积的最大值为 D．AD与BC一定不垂直易错点六 空间角 61.求异面直线所成的角，一般需要通过平移转移到一个三角形中，通常会用到三角函数中的余弦定理.2.证明直线与平面平行时，需强调直线在平面外.3.求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便．4.求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.●典例讲解1.如图，三棱锥中，，，M，N分别为，的中点，则异面直线与所成角余弦值为（ ）A．16B．36C．56D．562.如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （ ）A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为3. 如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．（1）证明：平面;（2）设，，三棱锥的体积 V=34，求A到平面PBC的距离．4.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点在面内的射影为，，点到平面的距离为，且直线与垂直．（Ⅰ）在棱上找一点，使直线与平面平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的大小．易错点核心避坑指南几何体结构紧扣定义本质，弱化刻板印象三视图遵循“长对正、高平齐、宽相等”，注意虚实线表示的位置关系表面积/体积标注情境关键词（无盖/挖孔/单位），组合体采用“增减面”分析法位置关系异面直线需同时排除“相交”和“平行”；定理应用严格检查前提条件向量应用空间角转化后需调整范围；法向量仅辅助证明，仍需逻辑推理支撑