高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册空间向量在立体几何中的应用第一课时教学设计

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册空间向量在立体几何中的应用第一课时教学设计，共5页。教案主要包含了内容分析，教学目的，重点难点，核心素养，教学准备，教学流程，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、内容分析
本节课是高中数学选择性必修第二册《第2章空间向量与立体几何》的第4小节第一课时，是继学习空间向量及运算、空间向量基本定理及坐标表示以后，空间向量在立体几何中的运用第一课时，也是用空间向量解决立体几何问题的准备课。学生在立体几何初步中已经学习了平面间的平行垂直关系以及解决空间中线面之间的夹角距离问题，但是由于学生缺少直观想象，不能很好地理解这些几何问题，而向量作为既有大小又有方向的量，研究中不仅可以把它当做运算对象，还可以把它当做几何研究对象，比如，用一个点和一个空间向量就可以唯一表示过此点与向量平行的空间直线，同样也可以用一个点和一个空间向量唯一表示过此点与向量垂直的平面。立体几何的研究对象是点、线、面，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要确定点、直线、平面在空间中的位置，而且保证这些位置是唯一确定的，本节课就是要找出点的位置向量，直线的方向向量与平面的法向量，并探究直线的方向向量和平面的法向量的求法，将“直观想象”与“数学运算”自然有机融合，使学生进一步提高直观想象和数学运算素养，在此过程中体会数形结合思想，提高逻辑推理和数学运算能力。
二、教学目的
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；
2．会用待定系数法求平面的法向量；
三、重点难点
重点：直线的方向向量和平面的法向量
难点：求平面的法向量
四、核心素养
●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模．
五、教学准备
课件.
六、教学流程
情景引入 -> 新知探索--> 典例剖析 -> 练习巩固 -> 归纳小结
七、教学过程
八、板书设计 大致板书如下：
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
时间分配
（一）情景引入
情景问题：
1.提问:如图所示的四面体A—BCD中，怎样借助空间向量来描述A,B,C在空间中的不同点？
2.一般地，怎么借助空间向量来刻画空间中点的位置？
3.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量
1学生积极思考，有的学生说AB，有的学生说AC，有的学生说DC，老师趁机引导：注意是刻画某一个点的位置，而不是一个线段，有的学生发现没有一定的标准或者参照物很难描述一个点的位置。
引导学生思考，在空间直角坐标系中怎么刻画一个点的位置的，为什么能刻画？因为有坐标系，或者有坐标原点的参照。
问题1中A、B、C的位置就可以以D为基点，用向量表示.
1.情景激发学习兴趣.
2.引导学生主动思考，利用旧知探究新知，提高学生探索发现的能力.
3分钟
(二）新知探索
1.提问：对于平面上的直线，我们不仅可以用直线的倾斜角或斜率刻画直线的方向，而且还可以用平面向量刻画其方向，那么空间中直线能否用空间向量来表示其方向？
2.提问：如图所示的直线，可以用哪个向量表示其方向？
3.提问：反过来呢？
4.提问：方向向量唯一吗？
5.提问：方向向量之间有什么关系？
（一）直线的方向向量：一般地，如果非零向量与与直线平行，就称为的方向向量.
6.一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？怎么才能用空间直线的方向向量确定一条直线呢？
问题引入：通过刚刚探究我们发现，直线上的一个点和直线的方向就可以确定一条直线的位置，能不能通过直线的方向来确定平面的方向呢？进而确定平面的位置呢？
实物演示:老师旋转一个圆盘陀螺，让学生观察：陀螺转动时，圆盘平面时而水平时而倾斜，在不断改变方向，陀螺的轴也随圆盘平面不断地改变方向，但陀螺平面与轴之间始终保持什么关系呢？
问题：能不能用直线的方向来表示平面的方向呢？用哪个直线的方向来刻画陀螺平面的方向呢？
平面的法向量
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作 ⊥，如果 ⊥，那么向量 叫做平面 的法向量.
给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.
1.引导学生交流讨论：
通过回顾旧知，最后学生给出了肯定的回答。
2.学生回答
3.也能作为的方向向量
4.学生们积极讨论，探究发现，直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.空间直线方向向量不唯一
5.与平行的非零向量都可以作为直线的方向向量，它们之间平行，进而形成空间直线的方向向量的概念。
6.无数个，一个点和一个方向向量能确定一条直线.
学生观察发现无论陀螺怎么旋转，轴始终和陀螺平面垂直
学生探究思考发现可以用轴的方向来刻画陀螺平面的方向，也就是用与平面垂直的向量
来刻画平面的方向.
通过实物演练和类比引导学生形成法向量的概念
类比空间直线的方向向量引导学生总结：
1.法向量一定是非零向量;
2.法向量不唯一，一个平面的所有法向量都互相平行;
3.如果向量是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内的向量，则有=0
提问式教学，通过层层设问题引导学生积极思考，逐步递进，让学生自主建构空间直线方向向量的概念形成，构建对空间直线方向向量的认知.
通过类比和递进引导学生思考向量可以表示直线的方向也可以表示平面的方向，进而确定平面，由此及彼，提高学生的类比推理和分析问题能力.
13
分钟
㈢ 典例剖析
例1．已知长方体的棱长，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.
求下列直线的一个方向向量：[来源:
方法：利用的坐标，
然后求出向量
（2）求证：是平面 的法向量.

提问1:如何证明线面垂直呢?
提问2:那么如何证明线线垂直呢?能否用向量的方法呢?
提问3：如何证明一个向量是法向量呢？
提问4：如何求的法向量呢？
变式训练：在例1条件下求面的法向量.设法向量
，
例2.如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,,,面,,=,
试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
对于例1中的（1），学生能很快做出正确回答。
引导总结：找直线的方向向量一般找直线上两个不同点所构成的向量即为直线的方向向量
对于例1中的（2）引导学生回顾旧知：证明线面垂直就是证明直线垂直于平面中两条相交直线，用空间向量的方法只要证明两条直线所对应的向量的数量积为0.证明垂直于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,有法向量定义即证了 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量.
证明是法向量就是就是证明垂直于平面中两条相交直线的方向向量.
对于变式训练有了例1铺垫学生很容易想到求法向量就是要选取平面内两不共线向量，法向量与两个方向向量的数量积为0来求法向量，但是学生在解三元一次方程组时遇到了问题，类似于没有唯一解一样，由两个三元一次方程组成的方程组的解也是不唯一的，引导学生其中一个未知数可以令，一般令，注意为了计算的方便也可以令，或，甚至其它值，但是不能令其为0，因为零向量不能作为法向量。
引导总结：求法向量的步骤：
设出平面的法向量
找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标，
根据法向量的定义建立关于的方程组
解方程组，取其中一个解（注意解不唯一）即为法向量.
例2学生们会发现有的法向量能解出2个0，引导学生第3个未知数不能设为0，因为零向量不能作为法向量，也可以通过观察求法向量.
先让学证明法向量而不是求法向量，给学生一个思维过渡和对法向量的初步感受，为下面求法向量做好铺垫。
变式训练在例1（2）基础上进一步让学生探究法向量的求解过程，让学生在解方程过程中感受法向量的不唯一性，进一步增加学生对法向量的理解，掌握法向量的求法，为其应用做铺垫，增加学生的运算能力，逻辑思维能力和空间想象力.
例2题通过一体多变让学生掌握不同类型法向量的求法，突破本节课的难点.
14
分钟
㈣
练习巩固
训练1.空间直角坐标系中,平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量_____;
训练2.已知 SKIPIF 1 < 0 ,,则直线 SKIPIF 1 < 0 的模长为1方向向量是____
训练3.若直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量分别是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则直线 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是____;
训练4.若平面（ SKIPIF 1 < 0 不重合)的法向量分别是， SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是____.
依次给出练习1、练习2，学生在纸上写出各题答案.
利用授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生请纠正错误，指出所应用的知识点.
练习3练习4让学生初步感受试探尝试法向量在立体几何应用中的重要作用，为下节课做准备.
8分钟
㈤ 归纳小结
1.直线的方向向量定义
2.平面的法向量定义
3.法向量的求法
（1）设出平面的法向量
（2）找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标，
（3）根据法向量的定义建立关于的方
程组
解方程组，取其中一个解,即为法向量.
使用思维导图总结.
系统梳理整节课所学内容.
2分钟
（点的位置向量）
(直线的方向向量）
（面的法向量）
（法向量的求解步骤）

（典例精解）