高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册空间向量在立体几何中的应用第三课时教学设计及反思

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册空间向量在立体几何中的应用第三课时教学设计及反思，共5页。教案主要包含了内容分析，教学目的，重点难点，核心素养，教学准备，教学流程，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。

一、内容分析
在“立体几何初步”中已经学习了对线线、线面、二面角的概念和几何求法，但几何方法需要做辅助线找角，很多时候并不好找。而在上一节研究向量法判断平行垂直为求角提供了一个新思路。线与线、线与面、面与面之间的垂直关系就是夹角为的特殊情况，它们的平行关系就是夹角为0或的特殊情况。前面已把上述垂直和平行关系转化为了直线的方向向量和平面的法向量之间的关系。类似地，也可以将线与线、线与面、面与面的夹角问题转化为直线的方向向量和平面的法向量之间的夹角问题，而两个向量的夹角问题主要用向量的数量积来解决。
二、教学目的
能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量和法向量的魅力.
三、重点难点
重点：用向量法求空间角——线线角、线面角.
难点：将立体几何问题转化为向量问题.
四、核心素养
○直观想象、○数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模．
五、教学准备
课件.
六、教学流程
问题引入 -> 新知探索一--> 典型剖析 ->新知探索二--> 典型剖析 -> 练习巩固 -> 归纳小结
七、教学过程
八、板书设计
大致板书如下：
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
时间分配
㈠ 复习引入
复习回顾：
问题1：立体几何中如何定义异面所成角和线面角？角范围？如何用几何方法求角？
问题3：如何用向量法证明线线、线面垂直和平行？
问题2：如何求直线的方向向量和平面的法向量？
问题4：已知向量坐标如何求角？
问题5：如何用向量求线线角和线面角？
1. 开始语：立体几何中有哪些夹角问题？怎么定义这些角？怎么用几何方法求角？
2. 引导学生把线线角和线面角问题转化为向量夹角问题，即利用向量数量积解决有关夹角问题.
通过复习平行垂直这一特殊的所成角判断，类比得出用向量法求角的方法.
3分钟
㈡
新知探索一
先研究直线与直线的夹角，同一平面内两条直线的夹角可由平面向量的夹角公式求出，这里重点来解决不共面的两条直线（即异面直线）的夹角问题.
设两异面直线与所成角为，它们的方向向量分别为，设的夹角为.根据异面直线所成角的定义，思考与的关系：
引导学生探究异面直线所成角和它们的方向向量所成角关系，注意异面直线所成角范围，推出结论.
通过画图帮助学生理解异面直线所成角和它们的方向向量所成角关系，并自行归纳出结论
5
分钟
㈢ 典例剖析一
例1．已知正方体的棱长为1，点分别是棱和的中点，求所成角.
给出例1，请学生分别用几何方法和向量方法解决问题，引导学生总结用向量方法求异面直线所成角的步骤和注意事项，让学生体会两种方法的特点.
以正方形为模型，让学生继续经历“建系、求点的坐标，求向量的坐标，进行向量运算，得到几何结论”的过程，体会向量法求异面直线所成角的过程，使学生清楚运用坐标法解决立体几何问题的步骤.
5
分钟
㈣
新知探索二
下面来研究直线与平面所成角
问题1：当线面平行或线在面内时所成角为？
问题2：当线面垂直时所成角为？
问题3：当线面相交但不垂直时所成角为？
分析：几何方法需要找线在面内的投影，实际上投影有时候并不好找，可以借助向量来解决.设直线所成角为，直线的一个方法向量为，平面的法向量为，与的夹角为，则两者关
系为
引导学生探究线面所成角和线的方向向量和面的法向量所成角之间的关系，注意线面的范围，推出结论
由线面角定义，通过图形直观感受线面角与向量所成角之间的关系
5分钟
㈤
典例剖析二
例2．已知正方体的棱长为，求直线与平面所成角的正弦值.
变式：条件不变，求直线与平面所成角的余弦值.
给出例2，引导学生总结用向量法求线面角的步骤，通过变式加强对线面直接求出来的就是角的正弦值这个结论的印象.
通过本例题让学生初步体会到利用向量方法求线面角问题，都不一定要做出角，这也说明了运用向量求角的优越性.
10
分钟
㈥ 练习巩固
练习1.
(1)已知异面直线a，b的方向向量分别为，，则a，b所成角的余弦值为________.
(2)已知是直线的方向向量和平面的法向量，若，则与所成的角为________.
练习2.
(1)正三棱柱中，与所成角的大小.
(2)如图，已知棱长为1的正方体中，分别是棱和，试求与平面所成角的正弦值.
依次给出练习1、练习2，学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案.

利用授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生来纠正错误，完善解题步骤.
练习1 进一步强化异面直线所成角和线面角与向量所成角之间的关系.
练习2强化学生用向量方法求异面直线所成角和线面角的过程
10分钟
（七）
归纳小结
本节课学习了一些？
使用思维导图总结.
系统梳理整节课所学内容.
2分钟
（异面直线所成角公式）
（线面角公式）

（向量法求角的步骤）