高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用第2课时导学案及答案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用第2课时导学案及答案，共6页。

教 材 要 点
要点一 两平行线间的距离
两平行线 m，n，点A是直线m上的任意一点，点P是直线n上的任意一点，直线m的方向向量为v，则两平行线 m，n间的距离为d＝.
批注❶ 是在方向向量上的投影长．
要点二 两平行平面间的距离
A，B分别是平行平面α，β上的任意一点，n是平面α，β的一个法向量，则平面α，β间的距离❷为d＝.
批注❷ 平面α，β间的距离等于平面 上任一点A到平面的距离，也等于两平面间任一条线段AB在平面α的法向量上的投影长．

基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．( )
(2)两个平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离都相等．( )
2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )
A． B．C． D．3
3．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则过点P(4，3，2)且与直线l平行的直线间距离为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
两平行线间的距离
例1 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，AM⊥PD于点M，O为底面ABCD的中心，求PB与OM之间的距离．
方法归纳
求两平行线间距离的步骤
巩固训练1 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BC和CD的中点，求两条平行线EF和B1D1间的距离．
两平行平面间的距离
例2 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，求平面A1BC1与平面ACD1间的距离．
方法归纳
求平行平面之间的距离的步骤
巩固训练2 如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．
第2课时 两平行线间的距离与两平行平面间的距离
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√ (2)√
2．解析：∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离＝＝＝.
答案：B
3．解析：＝(－2，0，－1)，||＝＝，
则点P到直线l的距离d＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：连接BD，因为PA＝AD，AM⊥PD于M，
则M为PD的中点，
又O为底面ABCD的中心，
所以PB∥OM，
如图建立空间直角坐标系A ­xyz，
则B(1，0，0)，P(0，0，2)，O(，1，0)，M(0，1，1)，
∴＝(－1，0，2)，＝(－，1，0)，
∴PB与OM之间的距离为d＝＝＝.
巩固训练1 解析：连接EF，BD，B1D1，
∵E，F分别为BC，CD中点，
∴EF∥BD，又BD∥B1D1，
∴EF∥B1D1.
如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，F(0，，0)，
＝(1，1，0)，＝(0，，－1)，
∴平行线EF与B1D1间的距离
d＝＝＝.
例2 解析：因为长方体ABCD ­A1B1C1D1，故A1D1∥BC且A1D1＝BC，故四边形A1D1CB为平行四边形，故A1B∥CD1，又A1B⊄平面ACD1，CD1⊂平面ACD1
∴A1B∥平面ACD1.同理，BC1∥平面ACD1，又A1B＝B，∴平面A1BC1∥平面ACD1.
如图建立空间直角坐标系，
则A(3，0，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，2)，A1(3，0，2)，
∴＝＝＝(0，0，2)，
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
由得，
令x＝4，则y＝3，z＝6，∴n＝(4，3，6)，
所以两平行平面ACD1与平面A1BC1间的距离为d＝＝＝.
巩固训练2
解析：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
＝(0，1，－1)，＝＝(－1，0，0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则⇒
令z＝1，得y＝1，x＝－1，
∴n＝(－1，1，1)，
∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
易证平面A1BD∥平面B1CD1，
∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.