新教材2023版高中数学第2章空间向量与立体几何2.4空间向量在立体几何中的应用2.4.3向量与夹角学案湘教版选择性必修第二册

2．4.3　向量与夹角新知初探·课前预习——突出基础性教 材 要 点要点一　异面直线所成的角设两条异面直线l1与l2所成的角为θ(θ∈(0，π2])，它们的方向向量分别为v1，v2，则cos θ＝|cos 〈v1，v2〉|＝v1·v2v1v2❶.批注❶　异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以计算公式中要加绝对值．要点二　直线与平面所成的角直线l与平面α所成的角为θ，v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则sin θ＝|cos 〈v，n〉|＝v·nvn❷.批注❷　直线与平面所成角的范围为[0，π2]，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以计算公式中要加绝对值．要点三　平面与平面所成的角设两个平面α1和α2所成的角为θ，平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝n1·n2n1n2❸.批注❸　利用公式求二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断　基 础 自 测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　)(2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角．(　　)(3)二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角．(　　)2．设直线l1的方向向量为s1＝(1，1，1)，直线l2的方向向量为s2＝(－2，2，－2)，则l1，l2夹角的余弦值为(　　)A．－13　　　B．13 C．33　　　D．323．已知两平面的法向量分别为n1＝(0，1，0)，n2＝(0，－1，1)，则两平面所成的锐二面角的大小为(　　)A．30° B．45°C．60° D．75°4．若直线l的方向向量为v＝(1，0，3)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，2)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．题型探究·课堂解透——强化创新性　　向量法求两异面直线所成角例1　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角．方法归纳利用坐标法求两异面直线所成角的步骤巩固训练1　在三棱锥O­ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且2OA＝OB＝OC＝2，求直线AE与BC所成角的大小．　向量法求直线与平面所成角例2　在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，N为BB1的中点，求直线A1N与平面A1BC所成角的正弦值．方法归纳利用法向量计算直线与平面的夹角θ的步骤巩固训练2　如图所示，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝3，BC＝1，AD＝AA1＝3.求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．　向量法求两个平面所成的夹角例3　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA＝90°，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2.(1)求证：平面QAB∥平面PDC；(2)求平面PBC与平面PBQ夹角的余弦值．方法归纳利用法向量求两个平面夹角的步骤巩固训练3　在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AD⊥AB，E，F分别是棱AB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)若PA＝AB＝BC，AD＝2BC，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值．2．4.3　向量与夹角新知初探·课前预习[基础自测]1．(1)×　(2)×　(3)×2．解析：∵cos 〈s1，s2〉＝-2×1+2×1+-2×13×23＝－13，∴l1，l2夹角的余弦值为13.答案：B3．解析：cos 〈n1，n2〉＝n1·n2n1·n2＝-12＝－22，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°.答案：B4．解析：设v＝(1，0，3)与n＝(－2，0，2)的夹角为θ，直线l与平面α所成角为φ，所以sin φ＝|cos θ|＝v·nv·n＝-2+612+32×-22+22＝55.答案：55题型探究·课堂解透例1　解析：分别以直线BC，BA，B1B为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝1，则B(0，0，0)，E(0，12，0)，F(0，0，12)，C1(1，0，1)，所以EF＝0，-12，12，BC1＝(1，0，1)，于是cos〈BC1，EF〉＝BC1·EFBC1EF＝1222×2＝12，所以直线EF和BC1所成角的大小为60°.巩固训练1　解析：由已知以O为原点，以OA，OB，OC的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由2OA＝OB＝OC＝2，知A(1，0，0)，E(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，所以AE＝(－1，0，1)，BC＝(0，－2，2)，所以|cos 〈AE，BC〉|＝AE·BCAE·BC＝1×2-12+12×-22+22＝12，所以〈AE，BC〉＝π3，即直线AE与BC所成角的大小为π3.例2　解析：取AB中点O，A1B1中点O1，连接OC，OO1.∵△ABC是边长为2的正三角形，∴OC⊥AB.以OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O ­xyz则C(0，3，0)，A1(－1，0，3)，B(1，0，0)，N(1，0，32)，CB＝1，-3，0，BA1＝(－2，0，3)，A1N＝(2，0，－32)，设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，由CB·n=0BA1·n=0，得x-3y=0-2x+3z=0，取n＝(3，3，2)，设直线A1N与平面A1BC所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，A1N〉|＝n·A1NnA1N＝34×52＝310，∴直线A1N与平面A1BC所成角的正弦值为310.巩固训练2　解析：以A为原点，以AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(3，1，0)，B1(3，0，3)，D(0，3，0)，C1(3，1，3)，D1(0，3，3)．设平面ACD1的法向量为m＝(x，y，z)，AC＝3，1，0，AD1＝(0，3，3)，则m·AC=0，m·AD1=0，即3x+y=0，3y+3z=0，令x＝1，则y＝－3，z＝3，∴平面ACD1的一个法向量为m＝(1，－3，3)．设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ，∵B1C1＝(0，1，0)，∴sin θ＝B1C1·mB1C1m＝217，∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为217.例3　解析：(1)证明：四边形ABCD是正方形，可得AB∥CD, 又AB⊄平面DCP ，CD⊂平面DCP，则有AB∥平面DCP，四边形ADPQ是梯形，可得QA∥PD，又QA⊄平面DCP ，PD⊂平面DCP，则有QA∥平面DCP，又QA∩AB＝A，故平面QAB∥平面PDC.(2)依题意知DA，DC，DP两两垂直，故以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则有C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，Q(2，0，1)可得PB＝(2，2，－2) ，PC＝(0，2，－2)，PQ＝(2，0，－1)，设平面PBC的一个法向量n＝(x，y，z)，则有：n·PB=2x+2y-2z=0n·PC=2y-2z=0，取y＝1，可得n＝(0，1，1)，设平面PBQ的一个法向量m＝(x，y，z)，则有m·PB=2x+2y-2z=0m·PQ=2x-z=0，取x＝1，可得m＝(1，1，2)，设平面PBC与平面PBQ的夹角为θ，则cos θ＝m·nm·n＝32·6＝32，故平面PBC与平面PBQ夹角的余弦值为32.巩固训练3　解析：(1)证明：取CD的中点G，连接EG，FG.因为F，G分别是棱PC，CD的中点，所以FG∥PD，又FG⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以FG∥平面PAD.因为BC∥AD，且E，G分别是棱AB，CD的中点，所以EG∥AD，又EG⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以EG∥平面PAD.因为EG，FG⊂平面EFG，且EG∩▒FG＝G，所以平面EFG∥平面PAD.因为EF⊂平面EFG，所以EF∥平面PAD.(2)以A为原点，分别以AB，AD，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，E(1，0，0)，P(0，0，2)．因为F是棱PC的中点，所以F(1，1，1)，所以AE＝(1，0，0)，AF＝(1，1，1)，CD＝(－2，2，0)，CF＝(－1，－1，1)．设平面AEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则n·AE=x1=0，n·AF=x1+y1+z1=0，令y1＝1，得n＝(0，1，－1)．设平面CDF的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则m·CD=-2x2+2y2=0，m·CF=-x2-y2+z2=0，令x2＝1，得m＝(1，1，2)．设平面AEF与平面CDF的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝m·nmn＝16×2＝36.所以平面AEF与平面CDF夹角的余弦值为36.