第十一章 不等式与不等式组 单元整体教案-2024-2025学年人教版七年级数学下册

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第十一章　不等式与不等式组11．1　不等式11．1.1　不等式及其解集1．了解不等式的概念和不等式的解；2．理解不等式的解集，会在数轴上表示不等式的解集．重点不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集．难点理解不等式的解集的概念．一、导入新课教师出示问题：一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6：00时汽车距前方的A地210 km，汽车要在8：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？二、探究新知探究一：不等式、一元一次不等式的概念分析：设车速是x km/h，汽车要在8：00之前驶过A地，从时间上看，就是以x km/h的速度行驶210 km的时间不到2 h，这个不等关系可以表示为 eq \f(210,x) 210.像①②这样用符号“”表示不等关系的式子，叫作不等式．像a＋2≠a－2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．有些不等式中不含字母，例如3－2；有些不等式中含有字母，例如①②这样的不等式，我们常用不等式来表示不等关系．教师提问：用“≥”和“≤”表示不等关系的式子也是不等式.下列式子中哪些是不等式？(1)a＋b＝b＋a；(2)－3>－5；(3)x≠1；(4)x＋3>6；(5)2m210，我们需要了解满足条件的车速x的值．例如，当x＝90时，2x＝180，不等式2x>210不成立；当x＝110时，2x＝220，不等式2x>210成立，这就是说，当x取某些值(如110)时，不等式2x>210成立；当x取某些值(如90)时，不等式不成立．归纳：与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，例如，110是不等式2x>210的解，而90不是不等式2x>210的解．探究：再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x＞210的解．观察不等式2x＞210的解，它们都满足什么条件？可以发现，当x>105时，不等式2x>210总成立；而当x210不成立．这就是说，任何一个大于105的数都是不等式2x>210的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x>210的解．因此，x>105表示了能使不等式2x>210成立的x的取值范围．由上可知，在前面的问题中，汽车要在8：00之前驶过A地，车速应大于105 km/h.一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．例如x>105是不等式2x>210的解集，它可以在数轴上直观表示．求不等式的解集的过程叫作解不等式．三、课堂练习1．在数轴上表示下列不等式的解集：(1)x>－1；(2)x≥－1；(3)x”或“6的解？－4，3，0，1，2.5，－2.5，3.2，－4.8，12.四、课堂小结1．不等式的概念．2．不等式的解与不等式的解集．3．不等式的解集在数轴上表示．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课通过实际情境引入不等关系，让学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，让学生了解了不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它也是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型．11．1.2　不等式的性质第1课时　不等式的性质1．让学生通过类比、猜测、验证发现不等式的性质，并掌握不等式的性质；2．初步体会不等式与等式的异同．重点探究并掌握不等式的性质．难点不等号方向的确定．一、导入新课因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以可以类比等式的性质研究不等式的性质，与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实．(1)交换不等式两边，不等号的方向改变：如果a>b，那么bx，可得xb，b>c，那么a>c.例如，由y>x，x>－3，可得y>－3.二、探究新知探究：不等式的性质1、用“>”或“3；5＋2________3＋2，5＋0________3＋0，5＋(－2)________3＋(－2)；(2)－1b，那么a±c>b±c.2．(1)6>2；6×5________2×5，6×(－5)________2×(－5)；(2)－2b，c>0，那么ac>bc(或 eq \f(a,c) > eq \f(b,c) ).不等式性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．即如果a>b，c33在数轴上的表示如图所示．不等式3x50，－4x>3.它们有哪些共同特征？归纳：类似于一元一次方程，含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式．探究二：一元一次不等式的解法师：通过前面的学习，同学们知道不等式x－7＞26的解集是多少吗？生：x>33.师：是怎么解的呢？生：这个解集是通过“不等式两边都加7，不等号的方向不变”得到的．这相当于由x－7>26得x>26＋7，这就是说，解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．师：一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集．【例】解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)3(x－1)＜x－2；　(2) eq \f(x－5,4) ＋2≥ eq \f(5x＋1,6) .思考：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处？一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法在一般步骤上有相同之处，可分为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1(不等式的两边都除以未知数的系数).不同的是第(5)步，系数是正数，保留原不等号；系数是负数，要把不等号方向改变．解一元一次方程，要把原方程变成最简单的一元一次方程x＝c的形式．解一元一次不等式，也要通过同样变形，把原不等式变成最简单的一元一次不等式x>c或x90.去括号，得10x－100＋5x>90.移项、合并同类项，得15x>190.系数化为1，得x>12 eq \f(2,3) .因为x应为正整数，可得x至少为13.答：初赛至少要答对13道题才能成功．【例2】某市去年万元地区生产总值能耗为0.320 t标准煤．如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？分析：“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%”是问题中蕴含的不等关系，转化为不等式．即 eq \f(去年万元地区生产总值能耗－今年万元地区生产总值能耗,去年万元地区生产总值能耗) ×100%≥5%.解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为x t标准煤，根据题意，列得不等式 eq \f(0.320－x,0.320) ×100%≥5%.去分母．得0.320－x≥0.320×5%.移项，合并同类项，得－x≥－0.304.系数化为1，得x≤0.304.答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304 t标准煤．三、课堂练习1．自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元．小颖家每月水费都不少于15元，问小颖家每月用水量至少是多少立方米？2．去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？四、课堂小结用一元一次不等式解决实际问题与用一元一次方程解决实际问题一样，要将实际问题通过列一元一次不等式转化为数学问题，然后通过解决数学问题来解决实际问题．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课通过丰富的实际情境，让学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，并了解到在解决某些问题时，用不等式较方便．教学中，通过利用例题让学生掌握了从实际问题中抽象出数学模型的方法，从而让学生认识到一元一次不等式在实际生活中的应用价值．第3课时　利用一元一次不等式设计与选择方案1．会从实际问题中抽象出数学模型；2．会通过列一元一次不等式解决方案设计与选择问题．重点寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型．难点能正确地进行分情况讨论．一、导入新课甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费．顾客到哪家商场购物花费少？二、探究新知分析：在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠．因此，我们需要分三种情况讨论：(1)累计购物不超过50元；(2)累计购物超过50元而不超过100元；(3)累计购物超过100元．解：(1)当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样．(2)当累计购物超过50元而不超过100元时，在乙商场的购物享受优惠，在甲商场不享受购物优惠，因此到乙商场购物花费少．(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x(x＞100)元．①若到甲商场购物花费少，则50＋0.95(x－50)＞100＋0.9(x－100).解得x＞150.这就是说，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少．②若到乙商场购物花费少，则50＋0.95(x－50)＜100＋0.9(x－100).解得x＜150.这就是说，累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少．③若50＋0.95(x－50)＝100＋0.9(x－100).解得x＝150.这就是说，累计购物为150元时，到甲、乙两商场购物花费一样．答：当累计购物花费不超过50元或等于150元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过50元而不到150元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少．归纳：利用不等式来解决实际问题的步骤是什么？(1)审，审清题意，找出已知量和未知量，并找出它们之间的关系；(2)设，设出适当的未知数；(3)列，根据题中的不等关系列出不等式；(4)解，解不等式；(5)验，检验答案是否符合实际意义；(6)答，写出答案．三、课堂练习某商场画夹每个定价20元，水彩每盒定价5元，为了促销，商场制定了两种优惠方法：一是买一个画夹送一盒水彩；二是画夹和水彩均按九折付款．张老师要买画夹4个，水彩若干盒(不少于4盒).问：哪种方法更优惠？四、课堂小结本节课你有什么收获？与你的同伴交流．五、课后作业完成本节课对应练习．学生基本掌握了利用一元一次不等式解决方案设计问题的一般步骤，能够根据题目中的条件和要求列出不等式，并求出符合实际意义的解集．大部分学生能够理解如何通过对解集的分析来确定不同的方案，并从中选择最优方案．但极少数同学对分几种情况讨论掌握的不好，需要在今后加强针对练习．11．3　一元一次不等式组1．理解一元一次不等式组及其解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法步骤；2．经历利用数轴确定不等式组解集的过程，发展学生的数形结合思想．重点一元一次不等式组的解法及其步骤．难点确定不等式组的解集．一、导入新课小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．猜猜小宝的体重约是多少？在这个问题中，设小宝的体重为x千克．1．从跷跷板的状况你可以概括出怎样的不等关系？2．你认为怎样求x的范围，可以尽可能地接近小宝的体重？在讨论或议论中，列出不等式：2x＋x72.其中x同时满足以上两个不等式．在学生议论的基础上，老师揭示：一个量需要同时满足几个不等式的例子，在现实生活中还有很多．二、探究新知探究一：一元一次不等式组及其解集的概念出示问题：用每小时可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水．估计积存的污水超过1200 t而不足1500 t，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？设用x h将污水抽完，则x同时满足不等式30x>1200，①30x1200，,30x40.由不等式②，解得x