2.1.1平方根和算术平方根 课件-2025-2026学年数学湘教版（2024）七年级下册教学课件

以下是苏科版七年级数学上册 2.1.1 平方根和算术平方根教学课件幻灯片分页内容的大致介绍：第一课时：平方根和算术平方根的概念与计算幻灯片 1：封面标题：2.1.1 平方根和算术平方根副标题：苏科版七年级数学上册教师姓名、学校名称等信息幻灯片 2：学习目标结合实际问题理解平方根的定义，能识别一个非负数的平方根，明确平方根的性质（正数有两个平方根，0 的平方根是 0，负数无平方根）。掌握算术平方根的概念，能区分算术平方根与平方根的联系与区别，熟练表示一个非负数的平方根和算术平方根。能进行简单的平方根与算术平方根计算，解决含平方根的实际问题，提升数感与运算准确性。幻灯片 3：复习引入回顾旧知：乘方运算：若\(x^2 = a\)，则\(x\)称为底数，2 称为指数，\(a\)称为\(x\)的平方（如\(3^2 = 9\)，\((-3)^2 = 9\)）；实际问题：一个正方形花坛的面积为 16 平方米，求它的边长（设边长为\(x\)，则\(x^2 = 16\)，求\(x\)的值）。情境设问：对于方程\(x^2 = 16\)，\(x\)的值有几个？分别是多少？除了平方运算，我们需要一种新的运算来求 “平方等于某个数的数”，引出本节课主题 —— 平方根。幻灯片 4：探究新知 - 平方根的定义与性质定义解析：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根（也叫二次方根）。即：若\(x^2 = a\)，则\(x\)叫做\(a\)的平方根，记为\(x = ±\sqrt{a}\)（读作 “正负根号\(a\)”），其中\(a\)叫做被开方数，且\(a ≥ 0\)（因为任何数的平方都非负）。实例探究：求下列各数的平方根，分析平方根的性质：求 16 的平方根：因为\(4^2 = 16\)，\((-4)^2 = 16\)，所以 16 的平方根是\(±4\)，即\(±\sqrt{16} = ±4\)；求 0 的平方根：因为\(0^2 = 0\)，且没有其他数的平方等于 0，所以 0 的平方根是 0，即\(±\sqrt{0} = 0\)；求 - 9 的平方根：因为任何数的平方都非负（正数平方为正，0 平方为 0，负数平方为正），所以不存在平方等于 - 9 的数，即 - 9 没有平方根。性质总结：正数有两个平方根，它们互为相反数（如 16 的平方根是 4 和 - 4）；0 的平方根是0（只有一个）；负数没有平方根（被开方数\(a\)必须是非负数，即\(a ≥ 0\)）。幻灯片 5：探究新知 - 算术平方根的定义与表示定义解析：正数\(a\)的两个平方根中，正的那个平方根叫做\(a\)的算术平方根；0 的算术平方根是 0。即：若\(a ≥ 0\)，则\(a\)的算术平方根记为\(\sqrt{a}\)（读作 “根号\(a\)”），且\(\sqrt{a} ≥ 0\)。对比辨析：通过表格明确算术平方根与平方根的联系与区别：| 类别 | 定义 | 表示方法 | 取值范围 | 示例（以\(a=16\)为例） ||--------------|-------------------------------|-------------------------|-------------------------|---------------------------------------|| 平方根 | 平方等于\(a\)的数（\(a≥0\)） | \(±\sqrt{a}\) | 正数有两个（互为相反数），0 为 0 | 16 的平方根：\(±\sqrt{16}=±4\) || 算术平方根 | 正数\(a\)的正平方根，0 的算术平方根是 0 | \(\sqrt{a}\) | 非负（\(\sqrt{a}≥0\)） | 16 的算术平方根：\(\sqrt{16}=4\) |关键提醒：① 算术平方根是平方根的 “正根”，仅一个且非负；② 符号 “\(\sqrt{a}\)” 专指算术平方根，若要表示两个平方根需加 “\(±\)”；③ 被开方数\(a\)必须是非负数（\(a ≥ 0\)），算术平方根\(\sqrt{a}\)也非负（双重非负性）。幻灯片 6：例题讲解 - 平方根与算术平方根的计算例题 1：求下列各数的平方根和算术平方根：① 25：解：平方根：因为\(5^2=25\)，\((-5)^2=25\)，所以\(±\sqrt{25}=±5\)；算术平方根：\(\sqrt{25}=5\)。② \(\frac{4}{9}\)：解：平方根：因为\(\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\)，\(\left(-\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\)，所以\(±\sqrt{\frac{4}{9}}=±\frac{2}{3}\)；算术平方根：\(\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\)。③ 0.01：解：平方根：因为\(0.1^2=0.01\)，\((-0.1)^2=0.01\)，所以\(±\sqrt{0.01}=±0.1\)；算术平方根：\(\sqrt{0.01}=0.1\)。④ 0：解：平方根：\(±\sqrt{0}=0\)；算术平方根：\(\sqrt{0}=0\)。例题 2：计算下列各式的值（区分平方根与算术平方根符号）：① \(\sqrt{36} = 6\)（算术平方根，取正）；② \(-\sqrt{16} = -4\)（负的算术平方根，即平方根中的负根）；③ \(±\sqrt{49} = ±7\)（平方根，取正负两个值）；④ \(\sqrt{0} + \sqrt{25} = 0 + 5 = 5\)（算术平方根相加）。教师点拨：① 计算时先判断是求平方根（带\(±\)）还是算术平方根（仅\(\sqrt{a}\)）；② 对于分数、小数的平方根，可转化为整数平方根的形式（如\(\sqrt{0.01}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}=0.1\)）；③ 注意符号的意义（\(-\sqrt{a}\)表示\(a\)算术平方根的相反数，非负）。幻灯片 7：例题讲解 - 平方根的实际应用与易错辨析例题 3：实际应用题：一个面积为 225 平方厘米的正方形桌面，求它的边长（结果保留整数）。解：设边长为\(x\)厘米，由正方形面积公式得\(x^2 = 225\)；因为边长为正数，故求算术平方根：\(x = \sqrt{225} = 15\)；答：正方形桌面的边长为 15 厘米。易错辨析：判断下列说法是否正确，若不正确，请改正：① 4 的平方根是 2（错误，正数有两个平方根，正确：4 的平方根是\(±2\)）；② \(\sqrt{9} = ±3\)（错误，\(\sqrt{9}\)表示算术平方根，正确：\(\sqrt{9}=3\)）；③ -9 的平方根是\(-3\)（错误，负数没有平方根）；④ \(\sqrt{0}=0\)（正确，0 的算术平方根是 0）；⑤ 若\(x^2 = 16\)，则\(x = 4\)（错误，\(x\)是 16 的平方根，正确：\(x=±4\)）。强调：常见错误集中在 “混淆平方根与算术平方根的符号”“忽略负数无平方根”“忘记正数有两个平方根”，需牢记符号含义与平方根的性质，避免主观臆断。幻灯片 8：练习巩固 - 分层训练基础题（计算与表示）：① 求 81 的平方根：，算术平方根：；② 计算：\(\sqrt{100} = \)，\(±\sqrt{\frac{1}{4}} = \)，\(-\sqrt{0.04} = \)；③ 若\(\sqrt{x} = 5\)，则\(x = \)（算术平方根的逆用）。提升题（性质应用与实际问题）：① 已知一个正数的平方根是\(2a - 1\)和\(a + 4\)，求这个正数（提示：正数的两个平方根互为相反数，故\(2a - 1 + a + 4 = 0\)）；② 一个长方形的长是宽的 3 倍，面积为 27 平方米，求长方形的宽（结果保留算术平方根形式）。学生独立完成，教师巡视，重点关注 “符号表示准确性”“性质应用”“实际问题中取正根”，完成后选取典型答案点评，针对逆用问题强化算术平方根与平方的互逆关系。幻灯片 9：课堂总结知识回顾：平方根的定义（\(x^2=a\)，\(a≥0\)，\(x=±\sqrt{a}\)）与性质（正两、0 一、负无），算术平方根的定义（正数正根，0 为 0，\(\sqrt{a}≥0\)），两者的联系与区别（算术平方根是平方根的正根）。方法提炼：解题关键：① 定类型（判断求平方根还是算术平方根，明确符号）；② 验范围（被开方数\(a≥0\)，算术平方根\(\sqrt{a}≥0\)）；③ 算结果（结合平方运算逆推，确保准确性）。衔接预告：下节课将学习 “立方根”，需对比平方根的性质（如立方根的符号、个数），提前思考 “立方根与平方根的差异”，为后续知识奠定基础。幻灯片 10：作业布置基础题：完成教材对应习题，求各数的平方根与算术平方根，计算含平方根的式子（共 6-8 题）。提升题：① 若\(\sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + y = 3\)，求\(x + y\)的值（提示：利用算术平方根的双重非负性，\(x - 2≥0\)且\(2 - x≥0\)）；② 已知\(a\)是\(\sqrt{10}\)的整数部分，\(b\)是\(\sqrt{10}\)的小数部分，求\(a - b\)的值。实践题：测量家中一个正方形物品（如地砖、书本封面）的边长，计算它的面积；再根据面积，用平方根运算反推边长，验证测量结果的准确性。【2024新教材】湘教版数学 七年级下册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 这是一个长为 2、宽为 1 的长方形纸片，你能把它剪拼成一个正方形吗？做一做21展开铺平剪开拼图这个正方形的面积是多少？它的边长呢？沿虚线对折沿虚线对折这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数。21111抽 象若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根. 如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说，因为 22 = 4，所以 2 是 4 的一个平方根.因为(－2)2 = 4，所以 －2 也是 4 的一个平方根.探 究4 的平方根除了 2 和 －2 以外，还有其他的数吗？ 因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以比 2 大的数都不是 4 的平方根. 类似地，边长小于 2 的正方形，它的面积一定小于4，从而比 2 小的正数都不是 4 的平方根. 又由于 (－b)2 = b2，因此，大于 －2 或小于－2 的负数都不是 4 的平方根. 0 显然不是 4 的平方根. 所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2.互为相反数 一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与－r.读作“根号 a”；求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.x2 = a（x ≥ 0，a ≥ 0）根号被开方数（a 是非负数）读作“正、负根号 a”根据这种关系，可以求一个数的平方根. 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数.一个正数只有一个算术平方根.4 的平方根是________，4 的算术平方根是________，2 的算术平方根是________.2 的平方根是________，思 考0 的平方根是多少？负数有平方根吗？0 有一个平方根，就是 0；负数没有平方根.平方根与算术平方根的区别与联系：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根.一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个正数 x 就叫作 a 的平方根.两个，且互为相反数一个一正一负正数平方根包含了算术平方根被开放数为非负数，0 的平方根与算术平方根都是 0.分别求下列各数的平方根：分别求下列各数的平方根：分别求下列各数的算术平方根：解：（1）因为 102 = 100，说说你发现了什么规律？ 正数越大，它的算术平方根也越大.下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？议一议（1）|－81|； （2）(－5)2.解：（1）|－81| = 81，由于 (±9)2 = 81，因此 81 的平方根是 9 与－9，即 .下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？议一议（1）|－81|； （2）(－5)2.（2）(－5)2 = 25，由于 (±5)2 = 25，因此 25 的平方根是 5 与－5，即 .1. 分别求下列各数的平方根：练 习（1）64； （2） ；（3）6.25.解：（1） ；（2） ； （3） .2. 分别求下列各数的算术平方根：（1）81； （2） ；（3）0.16.解：（1） ；（2） ； （3） .3. 判断下列说法是否正确，并说明理由.（1） 的值是±4；（2）(－4)2 的平方根是－4.解：（1）不正确， ；（2）不正确， (－4)2 的平方根是±4.1. [2024·南阳宛城区月考] “3的算术平方根”可用数学式子表示为( )A  A  D 4. [2024·长沙校级月考] 下面语句中正确的是( )D 5. [2024·广东] 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是( )BA. 2B. 5C. 10D. 20             AA. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 D 若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根.1. 平方根的定义2. 平方根的性质（1）正数有且只有两个平方根，它们互为相反数；（2）0 有一个平方根，就是 0；（3）负数没有平方根.算术平方根： （a ≥ 0）平方根： （a ≥ 0）3. 平方根的表示方法必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！