第1章 整式的乘法【章末复习】 课件-2025-2026学年数学湘教版（2024）七年级下册教学课件

第 1 页：复习导航・章节核心梳理复习目标：熟练掌握幂的三大运算性质（同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方），能准确计算幂的运算；理解并运用单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式的乘法法则；能解决整式乘法与实际问题结合的综合题，规避常见计算错误。知识框架图： 第 2 页：核心知识点 1・幂的三大运算性质（精讲 + 辨析）1. 同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)（\(a \neq 0\)，\(m,n\) 为正整数）示例：\(2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256\)；\(x^4 \cdot x^2 = x^{4+2} = x^6\)易错点：底数不同时不能直接用法则（如 \(2^3 \cdot 3^2\) 不能合并，需分别计算）；指数为 1 时易忽略（如 \(x \cdot x^3 = x^{1+3} = x^4\)，而非 \(x^3\)）。2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 \((a^m)^n = a^{mn}\)（\(a \neq 0\)，\(m,n\) 为正整数）示例：\((3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561\)；\((x^3)^5 = x^{3 \times 5} = x^{15}\)易错点：混淆 “指数相加” 与 “指数相乘”（如 \((x^2)^3 = x^6\)，而非 \(x^5\)）。3. 积的乘方法则：积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 \((ab)^n = a^n \cdot b^n\)（\(a \neq 0,b \neq 0\)，\(n\) 为正整数）示例：\((2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3\)；\((-3y^2)^2 = (-3)^2 \cdot (y^2)^2 = 9y^4\)易错点：漏乘单独因式的乘方（如 \((xy^2)^3 = x^3y^6\)，而非 \(xy^6\)）；负数的偶次幂为正，奇次幂为负（如 \((-2a)^3 = -8a^3\)）。小练习（快速计算）：\(a^5 \cdot a^3 = \_\_\_\_\)（答案：\(a^8\)）\((x^2)^4 = \_\_\_\_\)（答案：\(x^8\)）\((-2ab^3)^2 = \_\_\_\_\)（答案：\(4a^2b^6\)）第 3 页：核心知识点 2・整式乘法法则（分步解析 + 例题）1. 单项式 × 单项式法则步骤：系数相乘（注意符号：正 × 正 = 正，负 × 负 = 正，正 × 负 = 负）；同底数幂分别相乘（用同底数幂乘法法则）；只在一个单项式中含有的字母，连同其指数一起作为积的因式。例题：计算 \((-3x^2y) \cdot (4xy^3)\)解：原式 = \((-3 \times 4) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^3) = -12x^3y^4\)2. 单项式 × 多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（分配律：\(m(a+b+c) = ma + mb + mc\)）例题：计算 \(2a^2(3a - 4b + 1)\)解：原式 = \(2a^2 \cdot 3a + 2a^2 \cdot (-4b) + 2a^2 \cdot 1 = 6a^3 - 8a^2b + 2a^2\)易错点：漏乘多项式中的常数项（如忽略 “+1” 项，导致结果少 “\(2a^2\)”）。3. 多项式 × 多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（“逐项相乘，不重不漏”），可简记为 “先用第一个多项式的每一项‘扫过’第二个多项式的每一项”。例题：计算 \((x + 2)(2x - 3)\)解：原式 = \(x \cdot 2x + x \cdot (-3) + 2 \cdot 2x + 2 \cdot (-3) = 2x^2 - 3x + 4x - 6 = 2x^2 + x - 6\)（最后合并同类项）特殊公式铺垫（后续学习但章末需关联）：平方差公式 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)、完全平方公式 \((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\)，本质是多项式 × 多项式的简化形式，可用于快速计算（如 \((x+3)(x-3)=x^2-9\)）。小练习（计算并合并同类项）：\((5m^2n) \cdot (-2mn^3) = \_\_\_\_\)（答案：\(-10m^3n^4\)）\(-3x(2x^2 - x + 5) = \_\_\_\_\)（答案：\(-6x^3 + 3x^2 - 15x\)）\((2y - 1)(y + 4) = \_\_\_\_\)（答案：\(2y^2 + 8y - y - 4 = 2y^2 + 7y - 4\)）第 4 页：章节易错点大汇总（避坑指南）易错类型错误示例正确解法避错技巧幂的运算性质混淆\((a^3)^2 = a^5\)（误将指数相加）\((a^3)^2 = a^{3×2} = a^6\)记口诀：“同底乘加，幂乘方乘”积的乘方漏乘因式\((xy^2)^3 = xy^6\)（漏乘 x 的 3 次方）\((xy^2)^3 = x^3 \cdot (y^2)^3 = x^3y^6\)把每个因式看作 “独立个体”，逐个乘方单项式 × 多项式漏项\(2x(x - 3) = 2x^2 - 3\)（漏乘 - 3）\(2x(x - 3) = 2x^2 - 6x\)用 “箭头标注” 每一项的乘法，确保不遗漏多项式 × 多项式符号错误\((x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x - 6\)（-2×-3 误为 - 6）\((x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6\)记住 “负负得正，正负得负”，单独计算每项符号合并同类项时指数错误\(3x^2 + 2x^3 = 5x^5\)（不同指数合并）\(3x^2 + 2x^3\)（无法合并，保留原式）同类项需 “底数相同且指数相同”，不同类项不合并第 5 页：综合例题精讲（知识融合应用）例题 1：幂的混合运算计算：\((-2a^2b)^3 \cdot (3a b^2)^2\)解：第一步：先算积的乘方\((-2a^2b)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = -8a^6b^3\)\((3a b^2)^2 = 3^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 9a^2b^4\)第二步：再算单项式 × 单项式原式 = \((-8a^6b^3) \cdot (9a^2b^4) = (-8×9) \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^4) = -72a^8b^7\)例题 2：整式乘法与实际问题一个长方形的长为 \((2x + 3)cm\)，宽比长短 \((x - 1)cm\)，求这个长方形的面积（用含 x 的整式表示）。解：第一步：求长方形的宽宽 = 长 - \((x - 1)\) = \((2x + 3) - (x - 1) = 2x + 3 - x + 1 = x + 4\)（cm）第二步：求面积（面积 = 长 × 宽，多项式 × 多项式）面积 = \((2x + 3)(x + 4) = 2x \cdot x + 2x \cdot 4 + 3 \cdot x + 3 \cdot 4 = 2x^2 + 8x + 3x + 12 = 2x^2 + 11x + 12\)（\(cm^2\)）答：长方形的面积为 \((2x^2 + 11x + 12)cm^2\)。第 6 页：章末检测・综合练习（基础 + 提升）一、基础题（巩固核心知识）计算 \(a^4 \cdot a^2 = \_\_\_\_\)，\((-a^2)^3 = \_\_\_\_\)，\((2ab)^2 = \_\_\_\_\)（答案：\(a^6\)，\(-a^6\)，\(4a^2b^2\)）计算 \((-3x^2y) \cdot (4x^3) = \_\_\_\_\)（答案：\(-12x^5y\)）计算 \(2a(3a^2 - 2a + 1) = \_\_\_\_\)（答案：\(6a^3 - 4a^2 + 2a\)）计算 \((x - 5)(x + 2) = \_\_\_\_\)（答案：\(x^2 - 3x - 10\)）二、提升题（知识融合）计算 \((2x^2)^3 - 3x^4 \cdot x^2 + 5x^6\)（先算幂的运算，再合并同类项）解：原式 = \(8x^6 - 3x^6 + 5x^6 = 10x^6\)已知 \(a^m = 2\)，\(a^n = 3\)，求 \(a^{2m + 3n}\) 的值（逆用幂的性质）解：\(a^{2m + 3n} = a^{2m} \cdot a^{3n} = (a^m)^2 \cdot (a^n)^3 = 2^2 \cdot 3^3 = 4×27 = 108\)第 7 页：复习总结・思维导图回顾核心脉络：幂的运算（基础）→ 整式乘法（应用），所有法则均围绕 “底数不变、指数运算”“逐项相乘、符号优先” 展开；关键提醒：计算前先判断运算类型（幂的运算 / 整式乘法），计算后检查 “符号、指数、漏项” 三大易错点；后续衔接：本章知识是学习 “因式分解”“分式运算” 的基础，需熟练掌握，避免后续学习断层。【2024新教材】湘教版数学 七年级下册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 数与代数数与式方程与不等式函数有理数实数代数式幂的运算单项式的乘法多项式的乘法乘法公式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方平方差公式完全平方公式1. am·an,(am)n,(ab)n(m,n是正整数)应分别怎么计算?2.单项式与单项式相乘，怎么乘?单项式与多项式相乘呢?多项式与多项式相乘呢?3.叙述平方差公式，并解释几何背景。4.叙述完全平方公式，并解释几何背景。am·an = am+n(m、n为正整数)am+n = am·an(m、n为正整数)(am)n = amn(m、n为正整数)amn = (am)n(m、n为正整数)(ab)n = anbn(m、n为正整数)anbn = (ab)n(m、n为正整数)知识回顾同底数幂相乘，底数不变，指数相加。幂的乘方，底数不变，指数相乘。积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。1. 幂的运算性质2.整式的乘法：(1)单项式乘单项式： 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.整式的乘法：(2)单项式乘多项式：m(a + b + c) = ma + mb + mc 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.2.整式的乘法：(3)多项式乘多项式：(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方的差。(a+b)(a-b) = a²- b²两数和(差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)这两数积的2倍。(a±b)2 =a²±2ab+b²a² = (a+b)(a-b) + b²b² = a² - (a+b)(a-b)a² + b² = (a+b)2 -2ab或a² + b² = (a-b)2 +2ab (a+b)2 =(a-b)2 +4ab 3. 乘法公式：1.同底数幂的乘法和幂的乘方容易混淆，进行运算时要注意区分。2.多项式与多项式相乘，要用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，注意不要漏乘。3.平方差公式和完全平方公式都是多项式乘法的重要公式，其中的字母x，y可以用任何数或者任意多项式代入。典例精析1.下列运算正确的是 ( ) A. x3+x3 = x6 B. 2x·3x2 = 6x3 C. (2x)3 = 6x3 D. (2x2+x)÷x = 2x解析：A.应为 x3 + x3 = 2x3,故本选项错误；B. 2x · 3x2 = 6x3, 正确；C.应为(2x)3 = 23x3 = 8x3,故本选项错误；D.应为 (2x2 + x)÷x = 2x + 1，故本选项错误.B2.已知 a=8131,b=2741,c=961,则 a,b,c 的大小关系是 ( ) A. a>b>c B. a>c>b C. aa解析：因为a = 8131 = (34)31 = 3124; b = 2741 = (33)41 = 3123;c = 961 = (32)61 = 3122. 则 a > b > c. 故选 A.A3. 一个长方体的长、宽、高分别 3a-4, 2a, a, 它的体积等于（ ） A. 3a3-4a2 B. a2 C. 6a3-8a2 D. 6a3-8a解析：由题意知，V长方形 = (3a-4)·2a·a=6a3-8a2.故选 C.C4. 已知：2x = 4y+1, 27y = 3x-1, 则 x-y =______.35. 计算：（1）82×42010×(-0.25)2014;解：82×42010×(-0.25)2014 = 43×42010×(-0.25)2014 = 42013×(-0.25)2013×(-0.25) = -0.25× (-4×0.25)2013 = 0.255. 计算：（2）20142 - 2013×2015.解：20142 - 2013×2015 = 20142 - (2014 -1)(2014 + 1) = 20142-(20142 - 12) = 20142 - 20142 + 1 = 16. 先化简，再求值：(a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a-b),其中 a = , b = -1.解： (a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a-b) = a2-2ab-b2-(a2-b2) = a2-2ab-b2-a2+b2 = -2ab当 a = , b = -1 时，原式 = -2× ×(-1) = 1.7. 若 (x+y)2 = 36 , (x-y)2 = 16 ,求 xy、x2 + y2 的值.解：因为 (x+y)2 = 36 , (x-y)2 = 16， 所以 x2 + 2xy + y2 = 36 ①，x2 - 2xy + y2 = 16 ②,①-② 得 4xy = 20, 所以 xy = 5,①+② 得 2(x2+y2) = 52,所以 x2+y2 = 26.巩固提高1.已知：a+b=m，ab=-4，化简：(a-2)(b-2) 的结果是( ) A. 6 B. 2m-8 C. 2m D. -2m解析：因为a+b = m，ab = -4，所以 (a-2)(b-2) = ab + 4-2(a+b) = -4+4-2m = -2m. 故选D.D2. 某商场四月份售出某品牌衬衣 b 件，每件 c 元，营业额a 元. 五月份采取促销活动，售出该品牌衬衣 3b 件，每件打八折，则五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加( ) A. 1.4a 元 B. 2.4a 元 C. 3.4a 元 D. 4.4a 元解析：5月份营业额为4月份营业额为 a, 所以 a-a = 1.4a.A3. 已知 (x+a)(x+b) = x2-13x + 36，则 a + b 的值是 ( ) A. 13 B. -13 C. 36 D. -36解：(x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x + ab，又因为(x + a)(x + b) = x2-13x + 36，所以 a+b = -13. 故选B.B4. 若 (a+2)2 + | b+1| = 0，则 5ab2 –{2a2b-[3ab2-(4ab2-2a2b)]} = ______.解析：由 (a+2)2 + | b+1 | = 0 得a = -2, b = -1, 当 a = -2, b = -1 时，5ab2 – {2a2b - [3ab2 - (4ab2 - 2a2b)]} = 4ab2 = -8. -85. 计算：解：根据幂的乘方与积的乘方法则可知， 原式 = 6. 已知 ，求 的值.解：因为 = 4， 所以 + 2 = 16， 所以 = 14. 7. 先化简：(2x-1)2 - (3x+1)(3x-1) + 5x(x-1), 再选取一个你喜欢的数代替 x 求值.解：(2x - 1)2 - (3x + 1)(3x - 1) + 5x(x - 1) = 4x2 - 4x + 1 - (9x2 - 1) + 5x2 - 5x = 4x2 - 4x + 1 - 9x2 + 1 + 5x2 - 5x = -9x + 2取x=13，原式=-9×13+2=-115.(求值答案不唯一)1.计算：(1) –b2·b5(2) x2·x3·(-x)4解：–b2·b5 = -b7解： x2·x3·(-x)4 = x9(3) (–3a2b3)3解：(–3a2b3)3 = –27a6b92.计算：(3) (2x+5)(x-1)解：(2x+5)(x-1)= 2x·(x-1) +5 (x-1) = 2x2-2x +5x-5 = 2x2+3x-5 (4) (x-11)(x+11)解：(x-11)(x+11)= x2-112= x2-121(5) (-7x-1)(-1+7x)解：(-7x-1)(-1+7x)= (-1-7x)(-1+7x)= (-1)2- (7x)2= 1- 49x2(6) (-4a-5b)2解：(-4a-5b)2= (4a+5b)2= (4a)2+2·4a·5b+(5b)2= 16a2+40ab+25b23.计算：(1) (x+13)(x-13)- (x+13)2解: (x+13)(x-13)- (x+13)2= (x+13)[(x-13)- (x+13)]= (x+13)(x-13-x-13)= -26(x+13)= -26x-338(2) (xy+z) (-xy+z)解: (xy+z) (-xy+z)= (z+xy) (z-xy)= z2 -(xy)2= z2 -x2y2(3) 4x2-2x·(-x+2y)解: 4x2-2x·(-x+2y)= 4x2-[2x·(-x)+2x·2y]= 4x2-(-2x2+4xy)= 4x2+2x2-4xy= 6x2-4xy(4) (x-2y)(x+2y)- (x-2y)2解: (x-2y)(x+2y)- (x-2y)2= (x-2y)[(x+2y)- (x-2y)]= (x-2y)(x+2y-x+2y)= 4y(x-2y)= 4xy-8y24.计算：5002-499×501解: 5002-499×501= 5002-(500-1)×(500+1)= 5002-(5002-1)= 5002-5002+1= 15.已知(x+y)2=4，(x-y)2=10，求x2+y2和xy的值。解：(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2(x+y)2 +(x-y)2=2x2+2y2=2(x2+y2)=14所以x2+y2=7(x+y)2 -(x-y)2=4xy=-66.已知am=4，an=5(m，n是正整数)，求a2m+n的值。解：a2m+n= a2m· an= (am)2 · an= 42 · 5= 807.(1) 计算 2(x+y)(x-y)- (x+y)2+(x-y)2解：2(x+y)(x-y)- (x+y)2+(x-y)2= 2(x+y)(x-y)- [(x+y)2-(x-y)2]= 2(x2-y2)- 4xy= 2x2-2y2- 4xy7.2x2-2y2- 4xy8.已知两个正方形的边长之和是20cm，面积之差是40cm2，求这两个正方形的边长。解：设两个正方形的边长分别为 x cm，y cm，且 x > y。答: 这两个正方形的边长分为 11cm和9cm。由数量关系,得 x+y=20x2-y2=40化简,得 x =11y=99. (1)已知a-b=2，ab=1，求a2+b2的值解： 因为 a - b = 2, 所以 (a-b)2 = 4, 则 a2 - 2ab + b2 = 4. 又因为 ab = 1， 所以 a2 - 2×1 + b2 = 4， 所以 a2 + b2 = 6.10. (1) 试用图①解释(a+b)(a-b)=a2-b2解： 边长为a的正方形的面积为a2 边长为b的正方形的面积为b2所以 (a+b)(a-b)=a2-b2梯形面积之和还可表示为：边长为a的正方形的面积-边长为b的正方形的面积= a2- b2①(2) 试用图②解释(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc解： 边长为 a + b + c 的正方形的面积为(a+b+c)2由图可知，大正方形所分成的 9 块图形的面积之和为 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,所以 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.②11. 小王说:“814-275-97是5的倍数”你赞成他的说法吗？为什么？解：814-275-97= (34) 4-(33)5-(32)7= 316-315-314= 314(32-3-1)= 5×314我赞成他的说法， 因为化简后得5×314 结果必然为5的倍数。12. 观察下面4个等式32=2+22+3，42=3+32+4，52=4+42+5，62=5+52+6.(1) 写出第5个式子.(1) 72=6+62+7(2) 如果用n表示正整数，请用含字母n的等式表示通过观察发现的规律，并说明规律成立的理由.解(2) (n+2)2=(n+1)+(n+1) 2+(n+2)(n+1)+(n+1) 2+(n+2)= n+1+n2+2n+1+n+2= n2+4n+4= (n+2)213. 计算下列各式(x-1)(x+1)=_______________(x-1)(x2+x+1)=_______________(x-1)(x3+x2 +x+1)=_______________(1)由此可发现：(x-1)(xn+xn-1 +···+x+1)=_________________(只要求写出结果)x2-1x3-1x4-1xn+1-1(2)利用(1)计算 36+35+34+33+32+4解：36+35+34+33+32+4= 36+35+34+33+32+3+114. (1)已知m，n均为常数，若(x+3)2(x2+mx+n)的乘积既不含二次项，又不含一次项，则m+n的值为多少？解：(x+3)2(x2+mx+n)= (x2+6x+9)(x2+mx+n)= x4+mx3+nx2+6x3+6mx2+6nx+9x2+9mx+9n= x4+(m+6)x3+(n+6m+9)x2+(6n+9m)x+9n由题意得：解得所以 m+n=114. (2)已知a,b,c均为常数，若多项式M与多项式x2-3x+1的乘积为2x4+ax3+bx2+cx-3,则2a+b+c的值为多少？解：设：M=2x2+mx-3(2x2+mx-3)(x2-3x+1)= 2x4-6x3+2x2+mx3-3mx2+mx-3x2+9x-3= 2x4(m-6)x3+(2-3m-3)x2+(m+9)x-3由题意得：解得所以 2a+b+c=2(m-6)+(-3m-1)+m+9=-4必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！