湘教版（2024）七年级下册（2024）平方根第1课时教学设计

这是一份湘教版（2024）七年级下册（2024）平方根第1课时教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具等内容，欢迎下载使用。
第1课时
一、教学目标
1.理解掌握平方根的概念，并能求一个数的平方根和算术平方根.
2.通过复习平方引出求一个数的平方根，并通过实例探究了平方根和算术平方根， 让学生在实例中领悟开平方与平方互为逆运算.
3.培养学生比较归纳能力，分类分析问题、解决问题的能力，从实践中总结规律及解题技巧的能力.
4.获得相关数学知识和技能，激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重难点
重点：理解掌握平方根的概念，并能求一个数的平方根和算术平方根
难点：平方根和算术平方根的联系与区别.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
教师活动：提出问题让学生思考并回答，然后再给出答案.
问题：同学们还记得什么是有理数吗?
答案：整数和分数统称为有理数.
追问：那整数分为哪些数？分数又为哪些数呢？
答案：整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数.
追问：有理数是如何分类的呢？
预设答案：

提出问题：除了有理数外还有没有其他的数呢？
设计意图：温故知新，作必要的知识回顾，便于后续问题的说理，为本节课要学习的内容作准备.
环节二 探究新知
【说一说】
将一个长为2，宽为1的长方形纸片，按图所示方法剪拼成了一个正方形 . 观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？
提问：拼接起来的正方形的面积是多少？边长是多少？
答：拼接起来的正方形的面积是2，但边长不会求！
这个问题的实质就是找一个数，使它的平方等于给定的数.
设计意图：通过学生操作及老师演示，引出问题，为接下来给出平方根的概念埋下伏笔，从而激发学生的求知欲.
【抽象】
如果有一个数r，使得r²=a，那么把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.
若 r2= a，则 r 是 a 的一个平方根.
例如，由于2²=4，因此2是4的一个平方根 .
又因为(-2)²=4，因此-2是4的一个平方根 .
设计意图：引出平方根的概念，并提出问题，激发学生探究的兴趣和激情.
【探究】
4的平方根除了2和-2以外，还有其他的数吗?
答案：边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以比2大的数都不是4的平方根.
类似地，边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，从而比2小的正数都不是4的平方根.
又由于(-b)²=b²，因此，大于-2或小于-2的负数都不是4的平方根，0显然不是4的平方根；
所以4的平方根有且只有两个:2与-2.
【抽象】
如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.
即：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
如：因为0.32=0.09，
所以±0.3是0.09的平方根.
因为22=4，
所以±2是4的平方根.
设计意图：通过实例，感受一个正数的平方根只有2个，它们互为相反数.
【抽象】
我们把a的正平方根叫作a的算术平方根，记作a ，读作“根号a”；
把a的负平方根记作-a，读作“负根号a”
平方根的表示：正数a的平方根可以用“±a”来表示.
如：4的平方根是2与-2，记作：± eq \r(4)=±2.
【说一说】
（-4)2算术平方根记作什么？2的平方根记作什么？
答：（-4)2算术平方根记作 eq \r((-4)2)；2的平方记作± eq \r(2).
设计意图：通过学习，让学生懂得平方根、算术平方根的表示.
【说一说】
零的平方根是多少？负数有平方根吗？
答：由于02=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.我们把0的平方根也叫作0的算术平方根，记作 eq \r(0)，即 eq \r(0)=0.
由于同号两数相乘得正数，且02=0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.
规律总结：
①正数的平方根:一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
0的平方根：“0”的平方根是0.
负数的平方根：负数没有平方根.
②正数的算术平方根:一个正数只有一个算术平方根.
“0”的算术平方根：0的算术平方根是0.
负数的算术平方根：负数没有平方根.
设计意图：通过学生的交流、讨论，让学生懂得正数、0、负数的平方根、算术平方根的联系和区别.
【抽象】
1.开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.这个非负数叫作被开方数.
2.开平方与平方的关系：根号“ eq \r( )”可理解为一种运算符号，表示对被开方数进行开平方运算.开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.
例如，9的平方根是±3，±3的平方是9;5的平方根是± eq \r(5) ,± eq \r(5)的平方是5.
设计意图:让学生懂得：求平方根的运算是开平方；开平方与平方互为逆运算.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 分别求下列各数的平方根：
(1)36; (2) eq \f(25,9); (3)1.21.
解：(1)由于62=36，因此36的平方根是6与-6，即：± eq \r(36)=±6
(2)由于( eq \f(5,3))2= eq \f(25,9)，因此 eq \f(25,9)的平方根是 eq \f(5,3)与- eq \f(5,3)，即：± eq \r( eq \f(25,9))=± eq \f(5,3)
(3)由于1.12=1.21，因此1.21的平方根是1.1与-1.1，即：± eq \r(1.21)=±1.1
设计意图：通过实例，让学生掌握求一个数的平方根的方法和技巧.
例2 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100 （2）1.96 （3） eq \f(16,25)
解：(1)由于102=100，因此100的算术平方根是10，即： eq \r(100)=10
(2)由于1.42=1.96，因此1.96的算术平方根是1.4，即： eq \r(1.96)=1.4
(3)由于( eq \f(4,5))2= eq \f(16,25)，因此 eq \f(16,25)的算术平方根是 eq \f(4,5)，即： eq \r( eq \f(16,25))= eq \f(4,5)
强调：①算术平方根就是正平方根；②正数越大，它的算术平方根也越大.
设计意图：通过实例，让学生掌握求一个数的算术平方根的方法和技巧.
【议一议】
下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
（1）|-81|； （2）(-5)2 .
解：∵|-81|=81>0 解：∵=25>0
∴|-81|有平方根. ∴（-5)2有平方根.
∵|-81|=81=92 ∵（-5)2=25=52
∴|-81|的平方根为±9， ∴（-5)2的平方根为±5，
即：± eq \r(|-81|)=± eq \r(81)=±9. 即：± eq \r(（-5)2)=± eq \r(25)=±9.
强调：正数和零有平方根，负数没有平方根.
设计意图：通过实例，让学生掌握判断一个数有无平方根的方法和技巧.
环节四 巩固新知
【随堂练习】
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.分别求64， eq \f(49,81)，6.25的平方根.
①解：∵由于82=64，所以64的平方根是8与-8，即：± eq \r(64)=±8.
②解：∵由于（ eq \f(7,9))2= eq \f(49,81)，所以 eq \f(49,81)的平方根是 eq \f(7,9)与- eq \f(7,9)，即：± eq \r( eq \f(49,81))=± eq \f(7,9).
③解：∵由于2.52=6.25，所以6.25的平方根是2.5与-2.5，即：± eq \r(6.25)=±2.5.
设计意图：通过练习，检查学生掌握求一个数的平方根的情况.
2.分别求下列各数的算术平方根：
（1）81
解：∵由于92=81，所以81的算术平方根是9，即： eq \r(81)=9.
（2） eq \f(25,64)
解：∵由于( eq \f(5,8))2= eq \f(25,64)，所以 eq \f(25,64)的算术平方根是 eq \f(5,8)，即： eq \r( eq \f(25,64))= eq \f(5,8).
(3)0.16
解：∵由于0.42=0.16，所以0.16的算术平方根是0.4，即： eq \r(0.16)=0.4.
设计意图：通过练习，检查学生掌握求一个数的算术平方根的情况.
3 .判断下列说法是否正确，并说明理由.
eq \r(16)的值是±4；
答案：错误，改： eq \r(16)的值是4.
错误原因： eq \r(16)表示16的算术平方根，不能为负.
(2) (-4)2 的平方根是-4.
答案：错误，改：（-4)2 的平方根是±4.
错误原因：（-4)2=42=16>0，有两个互为相反的平方根.
设计意图：通过练习，检查学生平方根、算术平方根的掌握情况.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.