4.3 用乘法公式分解因式 课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学七年级下册教学课件

第 1 页：封面页标题：4.3 用乘法公式分解因式副标题：浙教版七年级下册数学・因式分解的公式法（平方差 + 完全平方）配图：乘法公式与因式分解对比图（左：(a±b)²=a²±2ab+b²；右：a²±2ab+b²=(a±b)²）、公式结构识别示意图（标注 “平方项”“中间项”）底部信息：核心素养目标：结构识别能力、逆向思维、运算规范、综合应用能力第 2 页：情境导入 —— 从 “乘法公式” 到 “逆用分解”旧知衔接（双重回顾）提取公因式法回顾：分解因式的基础方法，先提公因式，再看剩余部分（如 6x²+12x=6x (x+2)）乘法公式回顾（正向运算）：平方差公式：(a+b)(a-b) = a² - b²完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a-b)² = a² - 2ab + b²情境案例（面积差问题）问题：一个边长为 x 的大正方形，从中剪下一个边长为 3 的小正方形，剩余 “L” 形区域的面积如何分解为两个整式的积？分析：剩余面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = x² - 9逆用平方差公式：x² - 9 = x² - 3² = (x+3)(x-3)思考：如何逆用乘法公式将多项式分解为整式的积？引出课题：用乘法公式分解因式。第 3 页：新知讲解 1—— 平方差公式法分解因式公式逆用与结构特征因式分解形式：a² - b² = (a + b)(a - b)（文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积）结构特征（缺一不可）：多项式为二项式（只有两项）两项均为平方形式（如 x²、(2y)²、(3z)²，符号可正可负，但需一正一负）两项符号相反（一项为正，一项为负，如 a² - b²，而非 a² + b²）结构识别示例（标注 a、b）x² - 4 = x² - 2²（a=x，b=2，符合平方差结构）4a² - 9b² = (2a)² - (3b)²（a=2a，b=3b，符合平方差结构）-y² + 16 = 16 - y² = 4² - y²（a=4，b=y，先整理为正平方项在前，符合结构）x² + 25（两项均为正，不符合 “符号相反”，不能用平方差公式）分解步骤（“一识二套三查”）识结构：判断多项式是否符合平方差结构（二项式、平方项、符号相反）套公式：确定 a、b，代入公式 a² - b² = (a+b)(a-b)查彻底：检查分解后的因式是否还有公因式（若有，需继续提取）例题解析（分层应用）例 1（基础题：直接套公式）：分解因式 x² - 16解答：x² - 16 = x² - 4² = (x + 4)(x - 4)（a=x，b=4）例 2（进阶题：含系数平方）：分解因式 25m² - 4n²解答：25m² - 4n² = (5m)² - (2n)² = (5m + 2n)(5m - 2n)（a=5m，b=2n）例 3（综合题：先提公因式再套公式）：分解因式 3x³ - 12x解答：先提公因式 3x → 3x (x² - 4)，再套平方差公式 → 3x (x + 2)(x - 2)（查彻底：无公因式）第 4 页：新知讲解 2—— 完全平方公式法分解因式公式逆用与结构特征因式分解形式：a² + 2ab + b² = (a + b)²（两数平方和加两倍积，等于两数和的平方）a² - 2ab + b² = (a - b)²（两数平方和减两倍积，等于两数差的平方）结构特征（缺一不可）：多项式为三项式（含三项：两个平方项、一个中间项）两个平方项符号相同（均为正，如 a² + b²，若为负需先提负号）中间项为两平方项底数积的 2 倍（符号与公式一致，如 + 2ab 对应 (a+b)²，-2ab 对应 (a-b)²）结构识别示例（标注 a、b、中间项）x² + 6x + 9 = x² + 2×x×3 + 3²（a=x，b=3，中间项 + 6x=+2×x×3，符合完全平方和）4a² - 12ab + 9b² = (2a)² - 2×2a×3b + (3b)²（a=2a，b=3b，中间项 - 12ab=-2×2a×3b，符合完全平方差）x² + 4x + 2（中间项 4x≠2×x×√2，√2 非整式，不符合）-x² + 2x - 1 = -(x² - 2x + 1)（先提负号，括号内符合完全平方差）分解步骤（“一识二定三查”）识结构：判断是否为三项式，两平方项是否同号，中间项是否为两倍积定公式：根据中间项符号确定用和的平方或差的平方公式（+2ab 用 (a+b)²，-2ab 用 (a-b)²）查彻底：检查分解后的因式是否还有公因式（或是否可继续用其他公式）例题解析（分层应用）例 1（基础题：直接套公式）：分解因式 x² - 8x + 16解答：x² - 8x + 16 = x² - 2×x×4 + 4² = (x - 4)²（a=x，b=4，中间项 - 8x=-2×x×4）例 2（进阶题：含系数平方）：分解因式 9a² + 12ab + 4b²解答：9a² + 12ab + 4b² = (3a)² + 2×3a×2b + (2b)² = (3a + 2b)²（a=3a，b=2b，中间项 + 12ab=+2×3a×2b）例 3（综合题：先提公因式再套公式）：分解因式 2x² + 4xy + 2y²解答：先提公因式 2 → 2 (x² + 2xy + y²)，再套完全平方和公式 → 2 (x + y)²（查彻底：无公因式）第 5 页：新知讲解 3—— 公式法的常见易错点与辨析易错点 1：平方差公式误用（不符合结构仍套用）错误示例：x² + 25 = (x + 5)(x - 5)（两项均为正，不符合 “符号相反”，错误）正确处理：x² + 25 无法用平方差公式分解（为质数多项式）易错点 2：完全平方公式中间项符号错误错误示例：x² - 6x + 9 = (x + 3)²（中间项为 - 6x，应对应差的平方，错误）正确示例：x² - 6x + 9 = (x - 3)²（中间项 - 6x=-2×x×3，对应 (x-3)²）易错点 3：完全平方公式中间项系数错误错误示例：4a² + 4ab + b² = (2a + b)²（中间项 4ab=2×2a×b，正确）；错误认知：4a² + 2ab + b² = (2a + b)²（中间项 2ab≠2×2a×b，错误）易错点 4：未先提公因式导致分解不彻底错误示例：3x² - 3y² = (√3x + √3y)(√3x - √3y)（未先提公因式 3，直接套公式，导致因式含无理数，错误）正确示例：3x² - 3y² = 3 (x² - y²) = 3 (x + y)(x - y)（先提公因式，再套公式，分解彻底）第 6 页：例题解析 —— 综合应用（多种方法结合）例题 1（先提公因式，再用平方差公式）分解因式：18a² - 50b²解答：提公因式 2：2 (9a² - 25b²)套平方差公式：9a² - 25b² = (3a)² - (5b)² = (3a + 5b)(3a - 5b)最终结果：2 (3a + 5b)(3a - 5b)例题 2（先提公因式，再用完全平方公式）分解因式：-4x³ + 16x² - 16x解答：提公因式 - 4x：-4x (x² - 4x + 4)套完全平方差公式：x² - 4x + 4 = (x - 2)²最终结果：-4x (x - 2)²（或 4x (-(x - 2)²)=4x (2 - x)²，两种形式均可，通常保留首项正号）例题 3（实际应用题：体积计算）问题：一个正方体铁块的棱长为 x，现从每个面的中心挖去一个边长为 y 的小正方体（y < x/2），求剩余铁块的体积（用因式分解形式表示）解答：原正方体体积：x³挖去的 6 个小正方体总体积：6y³剩余体积：x³ - 6y³（无法用平方差或完全平方公式分解，若题目改为 x³ - y³，后续会学立方差公式；本题按现有知识保留 x³ - 6y³，或若挖去 1 个小正方体，体积 x³ - y³ 暂不分解）变式问题：若剩余体积为 x⁴ - 16，分解因式得 (x² + 4)(x² - 4) = (x² + 4)(x + 2)(x - 2)（连续用平方差公式）第 7 页：课堂练习 —— 分层巩固基础题（必做）用平方差公式分解：(1) x² - 9 = ____；(2) 4a² - 1 = ____；(3) 25x² - 16y² = ____用完全平方公式分解：(1) x² + 10x + 25 = ____；(2) 9a² - 12ab + 4b² = ____；(3) -x² + 2x - 1 = ____综合分解：(1) 3x² - 12 = ____；(2) 2x² + 4x + 2 = ____提升题（选做）分解因式：(x² + 4)² - 16x²（提示：先套平方差公式，再套完全平方公式）已知 a + b = 5，ab = 6，求 a³b + 2a²b² + ab³ 的值（提示：先分解因式，再代入求值）第 8 页：课堂小结与作业布置知识梳理（表格对比）公式类型适用多项式结构分解步骤示例平方差公式二项式、平方项、符号相反（提公因式）→识 a/b→套公式→查彻底x² - 4 = (x+2)(x-2)完全平方公式三项式、两平方同号、中间项为两倍积（提公因式）→识 a/b/ 中间项→套公式→查彻底x² - 6x + 9 = (x-3)²综合应用含公因式且剩余部分符合公式结构先提公因式→再用公式→查彻底3x² - 12 = 3(x+2)(x-2)作业布置教材习题 4.3 第 1（所有小题）、3、5 题（基础巩固，规范书写分解步骤）提升题（选做）：教材习题 4.3 第 7、9 题（综合应用，连续用公式或结合提公因式）实践任务：用硬纸板制作边长为 a、b 的正方形和长 a、宽 b 的长方形，拼出 a² + 2ab + b² 的图形，验证其可分解为 (a + b)²第 9 页：结束页标语：“公式分解看结构，平方差是二项负，完全平方三项同，先提公因再套公式”学习提示：后续将学习 “分组分解法” 等复杂因式分解方法，可提前预习多项式分组的技巧（如 “二二分组”“一三分组”）配图：公式法因式分解知识思维导图（含两种公式结构、步骤、易错点、综合应用）2024浙教版数学七年级下册授课教师： . 班 级： . 时 间： .  典例1 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )D 解析：典例2 把下列各式因式分解:          （要分解到不能再分解为止） 2. 典例3 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )C 解析：典例4 把下列各式因式分解:        1. 下列可以用完全平方公式因式分解的是(　C　)C2. 若 x2－ mx ＋16能用完全平方公式进行因式分解，则 m 的值为(　D　)D3. 已知 x ， y 为任意有理数，记 M ＝ x2＋ y2， N ＝2 xy ，则 M 与 N 的大小关系为(　B　)B4. [2023太原期末]已知一个圆的面积为9π a2＋6π ab ＋π b2( a ＞0， b ＞0)，则该圆的半径是(　A　)A5. 将多项式4 x2＋1加上一项，使它能化成( a ＋ b )2的形式，以下是四名学生所加的项，其中错误的是(　D　)6. 整式( a －3 b )2－4( a －3 b ) c ＋4 c2可以写成(　B　)DB7. 利用因式分解计算：1.222＋2.44×2.78＋2.782＝ ⁠.8. 将下列各式进行因式分解.(1) m2－12 m ＋36；【解】 m2－12 m ＋36＝( m －6)2.(2) a3－2 a2 b ＋ ab2；【解】 a3－2 a2 b ＋ ab2＝ a ( a2－2 ab ＋ b2)＝ a ( a － b )2.16　(3)4 ab2－4 a2 b － b3.【解】4 ab2－4 a2 b － b3＝－ b (－4 ab ＋4 a2＋ b2)＝－ b (2 a － b )2.9. [新视角·条件开放题 2024·绍兴柯桥区月考] 给出三个多项式：① a2＋3 ab －2 b2；② b2－3 ab ；③ ab ＋6 b2.(1)请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；【解】选择①③(答案不唯一). a2＋3 ab －2 b2＋ ab ＋6 b2＝ a2＋4 ab ＋4 b2＝( a ＋2 b )2.(2)当 a ＝2， b ＝－3时，求第(1)问所得的代数式的值.【解】当 a ＝2， b ＝－3时，原式＝(2－6)2＝16.10. 已知 a ＋ b ＝3， ab ＝2，则多项式 a3 b ＋2 a2 b2＋ ab3的值为(　B　)【解析】 a3 b ＋2 a2 b2＋ ab3＝ ab ( a2＋2 ab ＋ b2)＝ ab ( a ＋ b )2.将 a ＋ b ＝3， ab ＝2代入，得 ab ( a ＋ b )2＝2×32＝18.B11. 已知｜ xy －4｜＋( x －2 y －2)2＝0，则 x2＋4 xy ＋4 y2的值为(　A　)【解析】∵｜ xy －4｜＋( x －2 y －2)2＝0，∴ xy ＝4， x －2 y ＝2.∴ x2＋4 xy ＋4 y2＝( x ＋2 y )2＝( x －2 y )2＋8 xy ＝36.A12. 在△ ABC 中，若三边长 a ， b ， c 满足 a2＋2 ab ＋ b2＝ c2＋24， a ＋ b － c ＝4，则△ ABC 的周长是(　D　)【解析】∵ a2＋2 ab ＋ b2＝ c2＋24，∴( a ＋ b )2－ c2＝24.∴( a ＋ b ＋ c )( a ＋ b － c )＝24.∵ a ＋ b － c ＝4.∴ a ＋ b ＋ c ＝6.D必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！