初中数学浙教版（2024）七年级下册（2024）用乘法公式分解因式第2课时教学设计

这是一份初中数学浙教版（2024）七年级下册（2024）用乘法公式分解因式第2课时教学设计，共6页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
《用乘法公式分解因式》是浙教版初中数学七年级下册第三章第4节的内容.本节课主要学习利用完全平方公式对多项式进行因式分解，帮助学生掌握三项式的特殊结构特点，并能灵活运用公式解决实际问题，为后续学习分式化简、二次方程等知识奠定基础.

二、学情分析
学生已掌握因式分解的基本方法（提公因式法、平方差公式），并熟悉整式乘法的完全平方公式.但部分学生对多项式结构的观察能力较弱，容易混淆平方差与完全平方公式.本节课将通过小组合作、典型例题辨析，强化学生对完全平方式的识别能力，提升运算准确性.

三、教学目标
1.理解完全平方式的结构特点，掌握完全平方公式因式分解的方法.
2.能熟练运用公式分解因式，并能解决相关的化简、求值问题.
3.通过观察、归纳、合作探究，发展学生的逻辑推理能力和数学建模意识.
4.在小组活动中培养团队协作精神，通过解决实际问题增强数学应用意识.

四、教学重难点
重点：完全平方公式的结构特点及因式分解方法.
难点：准确识别完全平方式，正确处理符号.

五、教学过程
复习回顾
回顾完全平方公式
整式乘法中，a±b2 的展开式是什么？
答：a2±2ab+b2。
师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充．
设计意图：通过复习完全平方公式公式，唤醒旧知，为因式分解的逆向应用做铺垫．
探究新知
活动一：认识完全平方式
观察思考：给出多项式 a2+2ab+b2 和 a2−2ab+b2，引导学生分析特点：
每个多项式有几项？
每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
中间项和第一项、第三项有什么关系？
答：（1）三项
（2）这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍，这样的多项式称之为完全平放式．
师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充，老师及时总结．
总结：完全平方式的特点
1.必须是三项式(或可以看成三项的)
2.有两个同号的平方项
3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央
活动二：完全平方式因式分解
尝试分解9x2−6x+1
分析：先变成两项的平方和平方项底数的±2倍
9x2=3x2, 1=12, −6x=−2⋅3x⋅1 ⇒ 3x−12
利用公式 a2±2ab+b2=a±b2 或 a2−b2=a−ba+b 把一个多项式分解因式的方法叫公式法．
活动三：运用公式分解因式
师生活动：学生独立完成思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示，请其他学生修正或者补充．
设计意图：先辨别一个多项式是否属于完全平方式，需要学生准确的认识的完全平方式的特点，同时找到a,b含义，有助于学生使用完全平方式分解因式，是对本节课内容的强化。
应用新知
经典例题
1.简便计算：
(1)1002－2×100×99+99²；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)²
=1；
(2)原式＝(34＋16)2
＝2500.
2.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
3.利用完全平方公式因式分解在数学中的应用，请回答下列问题：
(1)因式分解：x2−4x+4=______；
(2)填空：当x=______时，代数式x2−6x+9=0；
(3)阅读如下材料，完成下列问题：
对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
x2−2x+3=x2−2x+12−12+3=(x−1)2+2.因为(x−1)2≥0，所以(x−1)2+2≥2，所以，当x=1时，原式的最小值为2．则代数式x2+10x+20的最小值是______；
解：(1)原式=x2−2×2x+22=(x−2)2，
故答案为：(x−2)2；
(2)x2−6x+9=0，
(x−3)2=0，
x−3=0，
x=3，
∴当x=3时，代数式x2−6x+9=0．
故答案为：3；
(3)x2+10x+20=x2+2×5x+52−5=(x+5)2−5，
∵(x+5)2≥0，
∴(x+5)2−5≥−5，
∴代数式x2+10x+20的最小值是−5．
故答案为：−5；
教材例题
例3.把下列各式分解因式
(1)4a2+12ab+9b2
(2) −x2+4xy−4y2
(3) 3ax2+6axy+3ay2
解： (1) 4a2+12ab+9b2=2a2+22a·3b+2a2=2a+3b2
(2) −x2+4xy−4y2= −（x2−4xy+4y2）
=−[x2−2x·2y+2y2]=−x−2y2
(3) 3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3ax+y2
例4. 分解因式2x+y2−62x+y+9
分析：把2x+y看作一个整体，多项式就是一个关于2x+y的完全平方式。
解：2x+y2−62x+y+9= 2x+y2−2·2x+y·3+32=[2x+y−3]2=2x+y−32
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示，规范书写格式．
设计意图：通过典型例题巩固新知，让学生学会解题格式并思考过程，同时让学生领会公式法分解因式时需注意的事项．
课堂练习
1.分解因式
(1) 9a2−6ab+b2
(2) −a2−10a−25
(3) 49b2+a2+14ab
(4) 4x2y+4x2y2+xy2
(5) x4−18x2+81
解：（1）原式=3a−b2
（2）原式=−a+52
（3）原式=a+7b2
（4）原式=xy4x+4xy+y
（5） 原式= x2−92=x−32x+32
2.下列多项式中，哪些是完全平方式？将完全平方式进行因式分解。
(1) m2+4m+4
(2) m2n2-4+4mn
(3) x+1+x24=x2+12
(4)9p2-24pq+16q5
解：（1）原式=m2+2·m·2+22=m+22
（2）不是完全平方式（因末项为 −4）
（3）原式= 1+2·x2·1+（x2）2=x2+12
（4）不是完全平方式（因末项为 16q5，非平方项）
3.分解因式
(1) a−b2−10a−b+25=a−b−52
(2) 4a2−3b4a−3b=2a−3b2
解：（1）原式=a−b2−2a−b·5+52=a−b−52
（2）原式= 4a2−12ab+9b2=2a2−2·2a·3b2=2a−3b2
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，完善过程，学生代表板演做题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升．
设计意图：让学生用所学知识解决问题，加深学生对公式法因式分解的应用和理解，进一步掌握解题技巧，激发学生兴趣．
课堂检测
1.下列式子为完全平方式的是( )
A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1.
2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( )
A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)2
3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( )
A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2
4.下列分解因式错误的是( )
A. x2-y2= (x+y) (x-y) B. x2+6x+9= (x+3)2
C. x2+xy=x (x+y) D. x2+y2= (x+y)2
5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( )
A.1或-3 B. -1或3 C.±1 D.±3
6.已知a=b+2，则代数式3a2−6ab+3b2+2022的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2021 D．2034
7.已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足：a2+2b2−4a−20b+54=0，求C的取值范围．
答案：1.D 2.C 3. A 4.D 5. A 6.D
7.解：∵a2+2b2−4a−20b+54=0，
∴a2−4a+4+2b2−20b+50=0，
∴a−22+2b−52=0，
∴a-2=0，b-5=0，
解得a=2，b=5，
∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，5-2