第3章 勾股定理 单元提优卷 2025-2026学年苏科版八年级数学上册（含答案）

这是一份第3章 勾股定理 单元提优卷 2025-2026学年苏科版八年级数学上册（含答案），文件包含第3章勾股定理单元提优卷2025-2026学年苏科版八年级数学上册-教师用卷docx、第3章勾股定理单元提优卷2025-2026学年苏科版八年级数学上册-学生用卷docx、第3章勾股定理单元提优卷2025-2026学年苏科版八年级数学上册-学生用卷pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
第3章 勾股定理 单元提优卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是(    )A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π【答案】B 【解析】略2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠A+∠C=90 ∘，则下列等式中成立的是(    )A. a2+b2=c2B. b2+c2=a2C. a2+c2=b2D. c2−a2=b2【答案】C 【解析】略3.△ABC的三边长分别为a，b，c.下列条件能判断△ABC是直角三角形的个数是(    )①∠A=∠B−∠C；②a2=b+cb−c；③∠A:∠B:∠C=3:4:5；④a:b:c=5:12:13．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】略4.如图是一块农家菜地的平面图，已知AD=4 m，CD=3 m，AB=13 m，BC=12 m，∠ADC=90∘，则这块菜地的面积为(    )A. 24 m2B. 30 m2C. 36 m2D. 42 m2【答案】A 【解析】略5.若▵ABC的三边长a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则▵ABC是(    )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形【答案】B 【解析】提示：将题中等式整理，得(a2−6a+9)+(b2−8b+16)+(c2−10c+25)=0，即(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，所以a=3，b=4，c=5.因为32+42=52，所以△ABC为直角三角形．6.如图，一棵树在离地面5 m处折断，树的顶部落在离底部12 m处．树折断之前高(    )A. 10 mB. 15 mC. 17 mD. 18 m【答案】D 【解析】略7.如图，网格中小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，在四条边AB，BC，CD，AD中，长度是无理数的条数为(    )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】略8.足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球员A向边线CD传球，传球落点在边线CD上任何位置都能被边线球员接住球，而边线球员不运球直接传给球员B，图中四边形ABCD为直角梯形，AD=5，AB=BC=10，∠B=60 ∘，则两次传球中足球飞过的最短路径为(    )A. 15B. 10 3C. 20D. 20 3【答案】B 【解析】如图，作点A关于CD的对称点E，连接BE交CD于点O，连接AO，过点A作AF⊥BE于点F，∴DE=AD=5，AO=EO，∴AE=AD+DE=10=AB，AO+BO=EO+BO=BE，∴∠E=∠ABE，两次传球中足球飞过的最短路径长等于BE，依题意得AD/​/BC，∴∠E=∠CBE，∴∠E=∠CBE=∠ABE．∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=60 ∘，∴∠ABE=30 ∘．又AF⊥BE，∴AF=12AB=5，∴BF= AB2−AF2=5 3．又AE=AB，∴BE=2BF=10 3，即两次传球中足球飞过的最短路径为10 3．故选B．9.如图①，Rt△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图②，△OAB是腰长为1的等腰直角三角形，∠OAB=90°，延长OA至点B1，使AB1=OA，以OB1为底，在△OAB外侧作等腰直角三角形OA1B1，再延长OA1至点B2，使A1B2=OA1，以OB2为底，在△OA1B1外侧作等腰直角三角形OA2B2……按此规律作等腰直角三角形OAnBn(n≥1,n为正整数)，则A2B2的长及△OA2025B2025的面积分别是  (    )A. 2，22024B. 4，22025C. 4，22024D. 2，22023【答案】A 【解析】略10.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E为BC上两点，∠DAE=45°，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则下列结论：①BD=BF；②BD2+CE2=DE2；③S△ACB=14AD⋅EF；④CE2+BE2=2AE2.其中正确的是(    )A. ①②③④B. ②③④C. ①③④D. ②④【答案】B 【解析】解：由条件可知∠CAE=90°−∠DAE−∠BAD=45°−∠BAD，∵∠FAB=90°−∠DAE−∠BAD=45°−∠BAD，∴∠FAB=∠EAC，由条件可知∠ABC=∠ACB=45°，∵FB⊥BC，∴∠FBA=45°，∴△AFB≌△AEC，∴CE=BF，∵CE与BD不一定相等，故BD=BF不成立，故①错误；由①中证明△AFB≌△AEC，∴AF=AE，连接FD，如图所示：  ∵∠DAE=45°，FA⊥AE，∴∠FAD=∠DAE=45°，∵AD=AD∴△AFD≌△AED(SAS)，∴FD=DE，由勾股定理可得FB2+BD2=FD2，∵FB=CE，FD=DE，∴BD2+CE2=DE2，故②正确；设AD与EF的交点为G，∵∠FAD=∠EAD=45°，AF=AE，∴AD⊥EF，EF=2EG，∴S△ADE=12⋅AD⋅EG=12⋅AD⋅12EF=14⋅AD⋅EF，故③正确，∵FB2+BE2=EF2，CE=BF，∴CE2+BE2=EF2，在Rt△AEF中，AF=AE，AF2+AE2=EF2，∴EF2=2AE2，∴CE2+BE2=2AE2，故④正确，故选：B．根据等腰直角三角形的性质，判断出△AFB≌△AEC，即可得出CE=BF，进而判定①；根据勾股定理与等量代换可得②正确；根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③；再根据勾股定理以及等量代换即可得出④．本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大．二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.为了比较 5+1与 10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90∘，BC=3，点D在边BC上，且BD=AC=1.通过计算，可得 5+1            10(填“>”“    【解析】提示：因为∠C=90∘，BD=AC=1，BC=3，所以CD=BC−BD=2.由勾股定理，得AB= 10，AD= 5.因为AD+BD>AB，所以 5+1> 10．12.如图，∠AOB=90°，OA=25m，OB=5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么该机器人行走的路程BC是          m.【答案】13 【解析】略13.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1+S4=           ．【答案】1.23 【解析】略14.如图，一张长25m的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m.如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动          m.【答案】8 【解析】略15.已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东38 ∘方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的          方向上．【答案】南偏东52 ∘或北偏西52 ∘ 【解析】略16.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的，△ABC和△CDE的顶点都是网格线的交点，则∠BAC+∠CDE=          ．【答案】45° 【解析】提示：连接AD，设小正方形的边长均为1.根据勾股定理，得AD2=12+32=10，CD2=12+32=10，AC2=22+42=20，所以AD=CD，AD2+CD2=AC2.所以△ACD是等腰直角三角形，且∠ADC=90°，∠DAC=∠ACD=45°.因为AB // DE，所以∠BAD+∠ADE=180°，所以∠BAC+∠CDE=180°−(∠ADC+∠DAC)=45°．17.勾股定理最早出自《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五.”观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数)，则其股是          (结果用含m的式子表示)．【答案】m2−1 【解析】∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，2m2+a2=a+22，解得a=m2−1．18.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90 ∘，AC=12，AB=9，DE⊥AC，CD=13BC，CE=13AC，P是直线AC上一动点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP的长是          ．【答案】10或52 【解析】当点P在点E左边时，如图①.由折叠知，PC=PH，DC=DH．∵∠BAC=90 ∘，AC=12，AB=9，∴BC=15．∵CD=13BC，CE=13AC，∴CD=5，CE=4．∵DE=⊥AC，∴DE=3.∵DH=CD=5，∴EH=ED+DH=8．设PC=x，则PH=x，PE=x−4．∵PH2−PE2=EH2，∴x2−x−42=64，解得x=10，即CP=10．当点P在点E右边时，如图②.由折叠知，DH=DC=5，∴EH=DH−DE=5−3=2.设PC=x，则PE=CE−PC=4−x，PH=x．∵PH2−PE2=EH2，∴x2−4−x2=4，解得x=52，即CP=52．综上，CP=10或52．三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点．(1)在图①中，画一个面积为10的正方形；(2)在图②③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【答案】(1)如图①即为所作.（合理即可） (2)如图②③即为所作.（合理即可） 【解析】1. 略2. 略20.(本小题8分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32．(1)连接BD，试判断△ABD的形状；(2)求BC的长．【答案】(1)解：∵AB＝AD＝8，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形． (2)由（1）知∠ADB＝60°，∵∠ADC＝150°，∴∠BDC＝∠ADC-∠ADB＝90°．∵四边形ABCD的周长为32，AB＝AD＝BD＝8，∴BC+DC＝16．  设BC＝x，则CD＝16-x，由勾股定理可知  x2＝(16-x)2+82，解得x＝10，∴BC的长为10． 【解析】1. 略2. 略21.(本小题8分)如图，一段笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中AB=AC.由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，旅游管理部门决定在河边新建一个漂流点H(A,H,B在同一直线上)，并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．(1)判断△BCH的形状，并说明理由；(2)求原路线AC的长．【答案】(1)解：△BCH是直角三角形．  理由：在△CHB中，∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形，且∠CHB＝90°． (2)设AC＝AB＝x，则AH＝AB-BH＝x-3，  在Rt△ACH中，AC＝x，AH＝x-3，CH＝4，  由勾股定理得AC2＝AH2+CH2，∴x2＝(x-3)2+42，解这个方程，得x=256．  答：原路线AC的长为256千米． 【解析】1. 略2. 略22.(本小题8分)拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图，一个某种拉杆箱箱体长AB=65cm，拉杆最大伸长距离BC=35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD=3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离(假设C点的位置保持不变)．【答案】如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA′交CE于F，则∠AFC=90 ∘．设A′F=x cm，则AF=55+xcm.由题可得，AC=65+35=100cm，A′C=65cm．在中，CF2=652−x2.在Rt△ACF中，CF2=1002−55+x2，∴652−x2=1002−55+x2，解得x=25，∴A′F=25cm．由勾股定理得，CF2=A′C2−A′F2=602，∴CF=60cm．又∵EF=AD=3cm，∴CE=60+3=63cm，∴拉杆把手C离地面的距离为63cm． 【解析】略23.(本小题8分)如图1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD．(1)求证：△AEC≌△BDC．(2)求证：AE2+AD2=2AC2．(3)如图2，过点C作CO⊥AB于点O并延长交DE于点F，请写出线段AE，AF，DF之间的数量关系，并给出证明．【答案】(1)证明：因为∠ECD=∠ACB=90°，即∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，所以∠ACE=∠BCD．在△AEC和△BDC中， CA=CB,∠ACE=∠BCD,CE=CD, ​​​​​​​所以△AEC ≌ △BDC． (2)证明：因为△AEC≌△BDC，所以AE＝BD，∠CDB＝∠E＝45°．又因为∠CDE＝45°，所以∠ADB＝∠CDE+∠CDB＝90°．在Rt△ADB中，根据勾股定理，得AD2+BD2＝AB2．在Rt△ACB中，根据勾股定理，得CA2+CB2＝AB2．又因为CA＝CB，BD＝AE，​​​​​​​所以AE2+AD2＝2AC2． (3)解：AE2+DF2＝AF2．证明如下：  连接BF．由（2），得AE＝DB，∠FDB＝90°．因为CF⊥AB，CA＝CB，所以AO＝BO．所以CF是AB的垂直平分线，所以AF＝BF．在Rt△BDF中，根据勾股定理，得DB2+DF2＝BF2，​​​​​​​所以AE2+DF2＝AF2． 【解析】1. 略2. 略3. 略24.(本小题8分)如图1，在▵ABC中，CD⊥AB于点D，且BD:AD:CD=2:3:4．(1)试说明：▵ABC是等腰三角形．(2)已知S▵ABC=40 cm2，如图2，动点M从点B出发以1 cm/s的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同的速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t s．①若▵DMN的边与BC平行，求t的值．②若E是边AC的中点，则在点M的运动过程中，▵MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)解：设BD=2x，AD=3x，CD=4xx>0，则AB=5x．在Rt▵ACD中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=25x2．所以AC=5x，所以AB=AC，所以▵ABC是等腰三角形． (2)因为S▵ABC=12×5x×4x=40，x>0，解得x=2．所以BD=4 cm，AD=6 cm，CD=8 cm，AC=AB=10 cm．由题意可知，BM=AN=t，当点M到达点A时，点N刚好到达点C，此时t=10．①当MN/​/BC时，AM=AN，即10−t=t，解得t=5；当DN//BC时，AN=AD，即t=6．综上所述，若▵DMN的边与BC平行，则t的值为5或6．②▵MDE能成为等腰三角形．因为E是边AC的中点，CD⊥AB，所以DE=12AC=5 cm．当点M在BD上，即0≤t