2025_2026学年第三章《勾股定理》提升卷—（苏科版）数学八上学期单元测 [有答案]

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第三章《勾股定理》提升卷—苏科版数学八（上）单元测一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.1．如图，在Rt△AOB中，∠BAO=90°，AB=1，点A恰好落在数轴上表示−2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　）A．−5B．5C．−3D．32．等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边上的高为（　　） A．22B．42C．15D．42 或 153．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，nm>n．若小正方形面积为5，m+n2=21，则大正方形面积为（　　）A．12B．13C．14D．154．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若AB=5，则图中阴影部分的面积为（　　）A．6B．254C．252D．255．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）A．3，4，5B．4，5，6C．2，3，2D．8，15，166．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）A．b2−c2=a2B．∠A:∠B:∠C=3:4:5C．∠A=∠B−∠CD．a:b:c=8:15:177．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（　　）A．4.55尺B．5.45尺C．4.2尺D．5.8尺8．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE=6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF=8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10cm时，钟摆AD的长度是（　　）A．17B．24C．26D．28二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果.9．已知△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且满足a−5+b−12+c−132=0．则AB边上的高为　 　．10．为了比较、 5+1与 10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D 在BC 上且BD=AC=1，通过计算可得 5+1　 　10¯(填“>”“AB∴2+1>5（2）解：如图2可知：5+22>17如图3可知：5+22+10>61（3）解：如图4，取线段BD=10，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB=2，DE=4，连接AE，则AE为x2+4+(10−x)2+16（x≥0）的最小值，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F．则四边形ABDF是矩形，∴AF=BD=10，AB=DF=2，∵DE=4，∴EF=6，∴AE=AF2+EF2=102+62=234．21．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，BC=12米，AB=13米，∴AC=AB2−BC2=132−122=5（米)，即线段AC的长为5米；（2）解：∵32+42=52，CD=3米，AD=4米，AC=5米，∴CD2+AD2=AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，∴S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD=12AC⋅BC+12CD⋅AD=12×5×12+12×3×4=36（平方米），∴36×10=360（元)，答：制作这样一块背景板需花费360元．22．【答案】（1）解：由题意得OB=OC=5.因为AB+AC=20，OC=5，所以 AB+OA−5=20,OA2+52= AB2,，所以AB=25-OA，所以 OA2+52=(25− OA)2,，解得 OA=12，所以该飞镖状图形的面积为 4×12×12×5=120（2）解：设直角三角形的长直角边长为 a，短直角边长为b，斜边长为c，则 c2=a2+b2.由题意得 S1=a+b2,S2=c2=6,S3=a−b2,所以 S1+ S2+S3=a+b2+c2+a−b2=a2+2ab+b2+c2+ a2−2ab+b2=c2+c2+c2=3c2=18,所以 S1+S3= 18−S2=18−6=12.23．【答案】（1）解：由题意可知，AD⊥BC，AB=340km，AD=160km，在Rt△ABD中，BD=AB2−AD2=3402−1602=300km，∴t=300÷10=30，答：台风中心经过30h从B点移到D点；（2）解：如图，在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，∵AD⊥BC，∴DE=DF，在Rt△AED中，ED=AE2−AD2=2002−1602=120km，∴EF=2ED=240km，∴t=240÷10=24，答：A市受到台风影响的时间持续24h．24．【答案】（1）解：在Rt∆ABC中，AB=17 米 ，BC=15 米 ，CD=1.5米，由勾股定理得：AC=AB2−BC2=172−152=8 米 ，∴ 风筝离地面的垂直高度为：AD=AC+CD=8+1.5=9.5米，∴ 风筝离地面的垂直高度为9.5米.（2）解：如图，延长CA到E，则AE=12米，由（1）得：AC=8米，BC=15 米 ，∴EC=EA+AC=12+8=20米，在Rt∆EBC中，由勾股定理得：BE=EC2+BC2=202+152=25 米.∴ 应该再放出的线为：BE−AB=25−17=8 米.∴ 应该再放出8米线 .25．【答案】（1）(a+b)2；a2+2ab+b2；(a+b)2=a2+2ab+b2（2）解：方法1：S小正方形=c2，方法2：S小正方形=(a+b)2−2ab，∴c2=(a+b)2−2ab，∴a2+b2=c2；（3）解：把a=3，b=4代入a2+b2=c2得，c2=32+42=25，∴c=25=5．26．【答案】解：任务一：∵MF=3m，MN=5m，FN=4m，且32+42=52，即MF2+FN2=MN2，∴∠F=90°，∵AF=AM+MF=4+3=7m，EF=FN+EN=4+20=24m，∴AE=72+242=25m；任务二：在△EAB和△ECD中，EA=EC=25m∠AEB=∠CEDEB=ED，∴△EAB≌△ECDSAS，∴AB=CD=40m27．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠A=55°，∴∠ACB+∠ABC=125°，∵∠ABP=10°，∠ACP=25°，∴∠PCB+∠PBC=125°−10°−25=90°，∴∠CPB=90°，∴点P是△ABC的一个“勾股点”.（2）解：∵∠ADC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠DCB=∠DAC，∴∠DCB+∠ACD=90°，即∠ACB=90°，∵AD=3CD=3，∴CD=1，在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=12+32=10，∴在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=10+62=46.（3）解：点D可以是△ABC的“勾股点”．由题意可知，分三种情况讨论．①当∠ADB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”．如图，分别过点A，B作CD的垂线，垂足分别为点E，F．∵∠ADB=90°，∴∠ADE+∠BDF=∠BDF+∠DBF=90°，∴∠ADE=∠DBF，∵∠E=∠F=90°，AD=BD，∴△AED≌△DFBAAS，∴AE=DF，∵∠BCD=45°，∠ACB=90°，∴∠ACE=45°．又∵在Rt△ACE中，AC=41，∴AE=CE=412=822，∴CF=CD+DF=CD+AE=3+822，∴BC=2CF=32+41；②当∠CDB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”．由题可知∠BCD=45°，∴CD=BD．又∵AD=BD，∴AD=CD，∵在△ACD中，∠ACD=90°+45°=135°，∴AD>CD，∴此种情况不成立．③当∠ADC=90°时，点D是△ABC的“勾股点”．∵在△ACD中，∠ACD=135°，∴∠ADC是锐角，∴此种情况不成立．综上，点D可以是△ABC的“勾股点”，BC的长是32+41．28．【答案】（1）解：①a2+b2=c2；②选择图1，证明过程如下：证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即c2=12ab×4+b−a2，化简，得a2+b2=c2（2）解：①3；证明：②结论S1+S2=S3；∵S1+S2=12πa22+12πb22+S3−12πc22∴S1+S2=18πa2+b2−c2+S3∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3（3）①m2；②b=c，a+d=m问题背景风筝由我国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成本鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．测量数据抽象模型小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．课题测量池塘两端A，B的距离测量工具皮尺，标杆测量方案示意图测量步骤及数据（1）利用标杆确定A，M，F在同一直线上，量得MF=3m，然后找到了点N，且MN=5m，FN=4m；（2）测得AM=4m，再在FN的延长线方向确定点E，测得EN=20m；（3）在BE的延长线方向确定点D，使得ED=BE；（4）确定点C、点A和点E三点共线，测得CE=25m；（5）测得CD=40m．任务一请你根据上述测量方案及数据，求出AE的长；任务二请你证明AB=CD．