第一次月考复习培优数学试卷 （范围：三角形）2025-2026学年苏科版八年级上册 （含答案）

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 2，2，4B. 5，6，12C. 5，7，2D. 6，8，10
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．
根据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三条线段是否能组成三角形，本题得以解决．
【解答】
解：∵2+2=4，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A错误，
∵5+610，∴6，8，10能组成三角形，故选项D正确，
故选：D．
2.如图，BD=CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE=CD，若∠AFD=145°，则∠EDF的度数为( )
A. 45°
B. 55°
C. 35°
D. 65°
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查全等三角形的性质和判定.先证明△BED和△CDF全等，得出∠CFD=∠BDE=35°，即可求出∠EDF．
【解答】
解：∵FD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BED=90°， ∠CDF=∠BDF=90°，
∵BE=CD，BD=CF，
∴△BED≌△CDF，
∴∠CFD=∠BDE，
∵∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°，
∴∠BDE=35°，
∴∠EDF=90°-∠BDE=55°．
故选B．
3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )
A. 20°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】B
【解析】根据三角形内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．
解：在△ABC中，
∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=60°-30°=30°，
故选：B．
本题主要考查作图-基本作图，线段垂直平分线的概念及其性质，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB =7，则AC的长是( )
A. 3B. 4C. 6D. 5
【答案】D
【解析】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE=4，
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，
∴12AB·DE+12AC·DF=S△ABC
∴12×4×7+12×4·AC=24，
∴AC=5，
故选D．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得出DF=DE=4，再利用三角形ABC的面积等于24，解答即可．
5.如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是( )
A. ∠B=∠CB. AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
C. AD⊥BC，∠BAD=∠ACDD. AD⊥BC，BD=CD
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键.根据等腰三角形的判定逐项判断即可．
【解答】
解：A.由∠B=∠C可得AB=AC，则△ABC为等腰三角形，故A能推出△ABC是等腰三角形；
B.由AD⊥BC且∠BAD=∠CAD，可得△BAD≌△CAD，则可得AB=AC，即△ABC为等腰三角形，故B能推出△ABC是等腰三角形；
C.由AD⊥BC，∠BAD=∠ACD，无法求得AB=AC或AC=BC，故C不能推出△ABC是等腰三角形；
D.由AD⊥BC，BD=CD，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得AB=AC，故D能推出△ABC是等腰三角形；
故选C．
6.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理求得DE长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得DF长度，即可得到结论．
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=14，
∴DE=12BC=7，
∵∠AFB=90°，AB=8，
∴DF=12AB=4，
∴EF=DE-DF=7-4=3，
故选：B．
7.如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，则以下结论错误的是( )
A. AD+BC=ABB. ∠AOB=90°
C. 与∠CBO互余的角有2个D. 点O是CD的中点
【答案】C
【解析】解：∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，
∴AD=AE，BC=BE，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
AO=AOAD=AE，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL)，
∴OD=OE，∠AOE=∠AOD，
同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，
∴∠AOB=12×180°=90°，故B选项结论正确；
与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故C选项结论错误；
∵OC=OD=OE，
∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．
故选：C．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，∠AOE=∠AOD，同理可得OC=OE，∠BOC=∠BOE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
8.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA=MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的最短周长=(CM+MD)+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=10．
故选：C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，若△ABC的面积为24，则△CDE的面积为_______．
【答案】6
【解析】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△CDE=12S△ACD，S△ACD=12△ABC，
∴S△CDE=14S△ABC=14×24=6．
故答案为：6．
根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ACD的面积是△CDE的面积的2倍，△ABC的面积是△ACD的面积的2倍，依此即可求解．
本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．
10.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是______．
【答案】AC=BC(答案不唯一)
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．
【解答】
解：添加AC=BC，
∵△ABC的两条高AD，BE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
在△ADC和△BEC中∠BEC=∠ADC∠EBC=∠DACAC=BC，
∴△ADC≌△BEC(AAS)，
故答案为：AC=BC(答案不唯一)．
11.△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E，且AB=10cm，则△DEB的周长是______cm．
【答案】10
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线上的性质和线段的和差关系求值．利用线段相等，进行线段的转移是解决本题的关键．
由已知利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得到DE=CD，AC=AE，加上BC=AC，三角形的周长为BE+BD+DE=BE+CB=AE+BE，于是周长可得．
【解答】
解：∵△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E，
∴CD=DE，AC=AE
∵AC=BC
∴∠B=45°，BC=AE
∴DE=BE
∵△DEB的周长=DB+DE+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10．
故答案为10．
12.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=48°，∠BAC的平分线与线段AB的垂直平分线OD交于点O.连接OB、OC，将∠ACB沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为______度．
【答案】96
【解析】解：∵∠BAC=48°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=12∠BAC=12×48°=24°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=12(180°-∠BAC)=12(180°-48°)=66°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=24°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=66°-24°=42°，
在△AOB和△AOC中，
AB=AC∠OAB=∠OACOA=OA
∴△AOB≌△AOC(SAS)，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=42°，
由折叠的性质可知，OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=42°，
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-42°-42°=96°，
故答案为：96．
根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，得到∠ABO=∠BAO，证明△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点M，AC的垂直平分线交BC于点N，连接AM、AN，若∠MAN=10°，则∠BAC=______°.
【答案】85
【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得到∠BAM=∠B，∠CAN=∠C，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
解：∵AB的垂直平分线交BC于点M，
∴∠BAM=∠B．
∵AC的垂直平分线交BC于点N，
∴∠CAN=∠C，
∵∠BAN=∠BAM-∠NAM=∠B-10°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∠CAM=∠CAN-∠MAN=∠C-10°，
∴∠BAC=∠CAM+∠BAN+∠MAN=∠C-10°+∠B-10°+10°=180°-∠BAC-10°，
∴2∠BAC=170°
∴∠BAC=85°．
故答案为：85．
14.如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的大小为 度．
【答案】34
【解析】解：∵∠B=40°，∠C=36°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°∵AB=BD
∴∠BAD=∠ADB=(180°-∠B)÷2=70°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°
故答案为：34．
根据三角形的内角和得出∠BAC=180°-∠B-∠C=104°，根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD=∠ADB=(180°-∠B)÷2=70°，进而根据角的和差得出∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．
15.如图，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D，∠MON=130∘，则∠BDC=______．
【答案】50°
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线性质和线段垂直平分线性质的知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等.过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE=DF，根据线段垂直平分线性质求出BD=CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB=∠CDF，推出∠BDC=∠EDF，即可得出答案．
【解答】
解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，
∵∠MON=130°，
∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，
∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD∠MON，
∴DE=DF，
∵P为BC中点，DP⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
DB=DCDE=DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，
∴∠EDB=∠CDF，
∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．
故答案为50°．
16.在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的中垂线交BC边于点D，垂足为E点，∠ABC的平分线交AC边于点F，交DE于点G，连接AD交BF于点H.则下列结论正确的是 ．
①C△ABD=AC+BC(C表示周长)；
②AH=DH；
③若AB=DB，则∠C=36°；
④若BD=CD，则图中有6个等腰三角形；
⑤若∠BDE=α，则∠BAC=360°-2α．
【答案】①③⑤
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是根据垂直平分线和角平分线的性质得到相等的角，进而得到等腰三角形．
根据垂直平分线的性质得到AD=CD，通过等量代换即可判断①正确；当AB=BD时，有AH=DH，故②错误；根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠BDA=2∠C，由△ABD内角和为180°即可求③正确；根据等腰三角形的判定可以得到等腰三角形共有7个，故④错误；根据等腰三角形的性质和三角形内角和为180°可以求出∠BAC=360°-2α，故⑤正确．
【解答】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∵AB=AC
∴C△ABD=AB+BD+AD=AC+BD+CD=AC+BC，故①正确；
∵BG是∠ABC的角平分线，
∴BH是∠ABC的角平分线，
当AB=BD时，有AH=DH，故②错误；
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠CAD=∠C，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=2∠C，
在△ABD中，∠ABC+∠ADB+∠BAD=180°，
即∠C+2∠C+2∠C=180°，
即∠C=36°，故③正确；
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴△ACD为等腰三角形，
∵BD=CD，
∴BD=AD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AD=12BC，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，∠CAD=∠C=45°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴∠AED=∠CED=90°，
∴∠ADE=∠CAD=45°，∠CDE=∠C=45°，
∴△ADE和△CDE是等腰三角形，
∵BG是∠ABC的角平分线，
∴∠DBG=∠ABG=12∠ABC=22.5°，
∴∠AHF=∠ABG+∠BAD=67.5°，
∴∠AFH=180°-∠CAD-∠AHF=67.5°，
∴∠AHF=∠AFH，
∴△AHF为等腰三角形，
∵∠ADB=180°-∠ABC-∠BAD=90°，
∴∠BDG=∠ADB+∠ADE=135°，
∴∠BGD=180°-∠BDG-∠DBG=22.5°，
∴∠BGD=∠DBG，
∴△BDG为等腰三角形，
综上共有7个等腰三角形，故④错误；
∵DE是AC的垂直平分线，
∴∠CED=90°，
∴∠C=∠BDG-∠CED=α-90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α-90°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=360°-2α，故⑤正确，
故答案为：①③⑤．
三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD．
(1)当AD为BC边上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求CD的长；
(2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数．
【答案】解：(1)∵AD为BC边上的中线，
∴S△ADC=12S△ABC=12×30=15，
∵AE为边BC上的高，AE=6，
∴12CD·AE=15，
∴CD=5．
(2)在△ABC中，
∵∠C=66°，∠B=36°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-66°=78°，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=39°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+39°=75°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE=90°-75°=15°．
【解析】本题灵活考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质，掌握这几个知识点的熟练应用是解决此题的关键．
(1)利用三角形中线定义及三角形面积求出CD长；
(2)利用三角形内角和先求∠BAC，再用外角性质和直角三角形性质求出∠DAE．
18.(本小题8分)
如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)判断△BOC的形状，并说明理由．
【答案】证明：(1)在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO，
∴△BOC是等腰三角形．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
(2)由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．
19.(本小题8分)
某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在D、E两处参加劳动，另外两个班的同学在道路AB、AC两处劳动(如图)，现要在道路AB、AC的交叉区域内设置一个茶水供应点P，使P到AB、AC的距离相等，且使PD=PE，请你找出点P的位置．
【答案】解：连接DE，作DE的中垂线；作∠BAC的角平分线交DE的中垂线于点P；如图

【解析】本题考查了角平分线的性质及中垂线的性质的应用，本题要求满足两个条件，可考虑逐个满足，则交点就可同时满足题目要求，这是这种作图题的规律，要熟练掌握．角平分线上的点到角两边的距离相等，又中垂线上的点到线段两端的距离相等，所以点P 应是∠BAC的角平分线与DE的中垂线的交点．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
(1)若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
(2)若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【答案】街：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+CN+MN
=AM+BN+MN
=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15(cm)
即AB的长为15cm；
(2)∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°-70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠NMF+∠MNF=110°，
∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×70°
=40°．
即∠MCN的度数为40°
【解析】见答案．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，CD平分∠ACB，∠BDC=135°．
(1)求∠DBF+∠DCF的度数；
(2)求∠A的度数．
【答案】解：(1)因为∠BDC=135°，
所以∠DBF+∠DCF=180°-∠BDC=180°-135°=45°；
(2)因为DE⊥AB于点E，DF⊥BC，且DE=DF，
所以BD平分∠ABC，
所以∠ABC=2∠DBF，
因为CD平分∠ACB，
所以∠ACB=2∠DCF，
所以∠ABC+∠ACB=2(∠DBF+∠DCF)，
由(1)知，∠DBF+∠DCF=45°，
所以∠ABC+∠ACB=90°，
所以∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=90°．
【解析】此题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟记角平分线的判定定理及定义是解题的关键．
(1)由三角形的内角和求解即可；
(2)由DE⊥AB于点E，DF⊥BC，且DE=DF，即可判定BD平分∠ABC，即可得出∠ABC=2∠DBF，结合已知∠ACB=2∠DCF，再根据三角形的内角和求解即可．
22.(本小题8分)
老师给出了下面的题目：如图①，在△ABC中，AB=AC，点P在BC上，作PE⊥AB，PF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、G．
(1)求证：PE+PF=BG．
(2)如图②，将“在△ABC中，AB=AC，点P在BC上”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G.有类似结论吗？请写出结论并证明．
【答案】(1)连接AP，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
又PE⊥AB，PF⊥AC，BG⊥AC，∴12AC⋅BG=12AB⋅PE+12AC⋅PF.
∵AB=AC，∴BG=PE+PF.

(2)如图，PM+PE+PF=BG.
理由：连接PA、PB、PC，因为S△ABC=S△APB+S△ACP+S△PBC，
所以12AC⋅BG=12AB⋅PE+12AC⋅PF+12BC⋅PM.
因为AC=AB=BC，所以PM+PE+PF=BG

【解析】1. 略
2. 略
23.(本小题8分)
(1)【问题背景】如图1，C为DE上一点，AC=BC，∠E=∠D=∠ACB=90°，求证：△AEC≌△CDB；
(2)【变式运用】如图2，∠ECF=∠ACB=∠AEC=90°，EC=FC，CA=CB，EC的延长线交BF于点M，求证：AE=2CM．
【答案】(1)证明：∵∠D＝∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°． ∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ACE＝∠CBD．∵∠D＝∠E＝90°，AC＝BC，∴△AEC≌△CDB(AAS)；
(2)过点B作BD⊥EM，交EM的延长线于点D． 由（1）知△AEC≌△CDB，∴BD＝EC＝CF，AE＝CD．∵∠FCM＝∠D＝90°，∠FMC＝∠BMD，∴△FMC≌△BMD(AAS)，∴CM＝MD，∴AE＝2CM．
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【解析】1. 略
2. 略
24.(本小题8分)
如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割称为等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图①，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
(1)如图②，在△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E.求证：AE是△ABC的一条等腰分割线；
(2)在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD=BD，∠C=30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数．
【答案】(1)∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC＝∠C，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形，∴AE是△ABC是一条等腰分割线．
(2)∵线段AD即为所求分割线，∴△ABD和△ACD都是等腰三角形．①如图①，当AD＝CD＝BD时，∠C＝∠CAD＝30°，∴∠ADB＝∠C＋∠CAD＝30°＋30°＝60°．∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝60°；②如图②，当AD＝BD＝AC时，∠ADC＝∠C＝30°．∵AD＝BD，∴∠B＝∠DAB．∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝30°，∴∠B＝15°；③如图③，当AD＝BD，AC＝CD时，∠CAD=∠ADC=180∘-30∘2=75∘，∵∠ B＝∠BAD，∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠B＝37.5°．综上所述，∠B的度数为60°或15°或37.5°．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10 cm，AC=14 cm，动点E以2 cm/s的速度从点A向点F运动，动点G以1 cm/s的速度从点C向点A运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t(s)．
(1)求证：AF=AM；
(2)当t取何值时，△DFE与△DMG全等？
(3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有S△AED=2S△DGC．
【答案】(1)∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM．在Rt△AFD和Rt△AMD中，DF=DM,AD=AD,∴ Rt△AFD≌Rt△AMD（HL），∴AF＝AM．
(2)若△DFE与△DMG全等，且DF＝DM，∠EFD＝∠GMD＝90°，∴EF＝MG，①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上，∴EF＝10－2t，MG＝4－t，∴10－2t＝4－t，解得t＝6（不合题意，舍去）；②当4≤t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上，EF＝10－2t，MG＝t－4，∴10－2t＝t－4，∴t=143．∵综上所述，当t=143时，△ DFE与△DMG全等．
(3)∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM．∵S▵AED=12AE⋅DF，S▵DGC=12CG⋅DM，∴S▵AEDS▵DGC=AECG．∵点E以2 cm/s的速度从点A向点F运动，动点G以1 cm/s的速度从点C向点A运动，∴AE＝2t cm，CG＝t cm，∴AECG=2，即S▵AEDS▵DGC=2，∴在运动过程中，不管t取何值，都有S△AED＝2S△DGC．
【解析】1. 见答案
2. 见答案
3. 见答案
26.(本小题8分)
(1)如图①，已知∠EOF=120∘，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC=60∘，且与OF，OE分别交于点B，C.求证：AB=AC．
(2)如图②，在(1)的条件下，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
(3)如图③，已知∠AOC=∠BOC=∠BAC=60∘.求证：①△ABC是等边三角形；②OC=OA+OB．
【答案】(1)如图①，过点A作AG⊥OF于点G，AH⊥OE于点H，
则∠AHO=∠AGO=90∘.∵∠EOF=120∘，∴∠HAG=60∘=∠BAC，
∴∠HAG-∠BAH=∠BAC-∠BAH，即∠BAG=∠CAH.
∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，∴AG=AH.
在△BAG和△CAH中，∠AGB=∠AHC,AG=AH,∠BAG=∠CAH,
∴△BAG≌△CAHASA，∴AB=AC.

(2)（1）中的结论还成立.证明如下：如图②，过点A作AG⊥OF于点G，
AH⊥OE于点H，则∠AHC=∠AGO=90∘.
∵∠EOF=120∘，∴∠HAG=60∘=∠BAC.
∴∠HAG-∠BAH=∠BAC-∠BAH，即∠BAG=∠CAH.
∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，∴AG=AH.
在△BAG和△CAH中，∠AGB=∠AHC,AG=AH,∠BAG=∠CAH,
∴△BAG≌△CAHASA，∴AB=AC.

(3)①如图③，设点F，M分别在BO，OA的延长线上.
∵∠AOC=∠BOC=60∘，∴∠FOA=180∘-∠AOC-∠BOC=60∘，
∴∠FOA=∠AOC，即OM平分∠COF.由（2）知AC=AB，
∵∠BAC=60∘，∴△ABC是等边三角形.
②如图③，在OC上截取ON=OB，连接BN.
∵∠COB=60∘，∴△BON是等边三角形，∴BN=OB，∠OBN=60∘.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60∘=∠OBN，
∴∠OBN-∠ABN=∠ABC-∠ABN，即∠ABO=∠CBN.
在△AOB和△CNB中，BA=BC,∠ABO=∠CBN,BO=BN,∴△AOB≌△CNBSAS，
∴OA=NC，∴OC=ON+CN=OB+OA，即OC=OA+OB.

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
27.(本小题8分)
在数学实践课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
(1)【概念理解】如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展开，折痕为四边形ABCD，则四边形ABCD 筝形(填“是”或“不是”)．
(2)【性质探究】如图2，已知四边形ABCD是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明．
(3)【拓展应用】
如图3，AD是锐角三角形ABC的高，将▵ABD沿边AB所在直线翻折后得到▵ABE，将▵ACD沿边AC所在直线翻折后得到▵ACF，延长EB，FC交于点G．
①若∠BAC=50∘，当▵BCG是等腰三角形时，请直接写出∠BAD的度数．
②若∠BAC=45∘，BD=2，AD=5，AE=EG=FG，求CD的长．
【答案】(1)是
(2)性质：筝形有一组对角相等，即∠A=∠C；一条对角线被另一条对角线垂直平分，即BD垂直平分AC．（答案不唯一）
证明：连接AC，BD．因为DA=DC，BA=BC，所以BD垂直平分AC．又因为BD=BD，所以▵ABD≌▵CBDSSS，所以∠A=∠C．

(3)①∠BAD的度数为10∘或40∘或25∘． ​​​​​​​
②由折叠的性质，得BE=BD=2，AE=EG=FG=AD=5，CD=CF，∠E=∠ADB=90∘，∠F=∠ADC=90∘，∠EAF=2∠BAC=90∘．所以∠EGF=90∘，BG=EG-BE=3．设CD=CF=x，则BC=2+x，CG=5-x．在Rt▵BCG中，由勾股定理，得BG2+CG2=BC2，即32+5-x2=2+x2，解得x=157，所以CD=157．

【解析】1. 略
2. 略
3. ①提示：由折叠的性质，得∠BAD=∠BAE，∠CAD=∠CAF，∠E=∠ADB=90∘，∠F=∠ADC=90∘.所以∠EAF=2∠BAC=100∘，所以∠BGC=360∘-∠EAF-∠E-∠F=80∘.分情况讨论：当BC=BG时，∠BCG=∠BGC=80∘，所以∠ACB=∠ACF=50∘，所以∠ABC=180∘-∠ACB-∠BAC=80∘，因为∠ADB=90∘，所以∠BAD=10∘；当BC=CG时，同理可得∠BAD=40∘；当GC=BG时，同理可得∠BAD=25∘.综上所述，当▵BCG是等腰三角形时，∠BAD的度数为10∘或40∘或25∘．