高中数学人教A版 (2019)必修 第一册用二分法求方程的近似解精练

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1．（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，函数，
故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；
对于C，当时，，
当且仅当时，等号成立，无零点；
当时，当且仅当时，等号成立，
在上单调递减，在上单调递增，
此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于D，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B
2．（24-25高一上·河南南阳·月考）（多选）下列方程中，可以用二分法求近似解的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，在上单调递增，且在上连续，
且，，可以使用二分法求原方程的近似解；
对于B，在R上连续且单调递增，
又，，可以使用二分法求原方程的近似解；
对于C，，故不可以使用二分法求原方程的近似解；
对于D，在上单调递增，且在上连续，
且，，可以使用二分法求原方程的近似解.故选：ABD.
3．（24-25高一上·广东·月考）（多选）下列函数图象与x轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】能用二分法求零点的函数必须在给定区间上连续不断，
并且有，A、B中不存在，D中函数不连续．故选：ABD．
4．（24-25高一上·湖南永州·期末）（多选）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足，
则可以利用二分法求函数的零点的近似值，
所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点，
选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点.故选：AC.
知识点2 二分法的具体过程
1．（24-25高一上·山东德州·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，且函数图象连续不断，
所以函数在区间内有零点，
所以下一步应计算，，故选：C.
2．（24-25高一上·上海·月考）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，，
由，，，
则方程在区间内有实根.故选：C.
3．（24-25高一上·辽宁大连·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【解析】因为，，
所以零点所在的区间，再计算的符号，故选：C
4．（24-25高一下·云南临沧·月考）在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后，所在的开区间为 ．
【答案】．
【解析】令，可知，且，
故函数零点位于，
又，所在的开区间为．
知识点3 二分法次数的确定
1．（24-25高一上·湖北荆州·月考）用二分法求函数在区间上的零点，若要求精确度为0.001，则至少进行 次二分．
【答案】11
【解析】根据题意，原来区间的长度等于2，
每经过一次二分法操作，区间长度变为原来的一半，
则经过次操作后，区间的长度为，
令，又，解得.
2．（24-25高一上·广东广州·月考）已知函数在区间内单调且，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.001）.
A．4B．7C．10D．13
【答案】C
【解析】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n次操作后，区间长度变为，
则，解得，所以至少需要操作10次.故选：C.
3．（24-25高一上·河北衡水·月考）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为0.01），则应将区间至少等分的次数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，则等分次后的区间长度变为原来的，
则由题可得，即，，
则至少等分的次数为7.故选：C.
4．（24-25高一上·湖北·月考）用二分法求函数在区间上的近似解，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为（ ）次
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】开区间的长度为1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过次操作后，区间长度为，
因为二分法求在区间上近似解，要求精确度为，
所以，解得，所以所需二分区间次数最少为次.故选：B
知识点4 用二分法求零点近似值
1．（24-25高一上·湖南·月考）已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示，
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（ ）
A．1B．1.5C．1.25D．1.3125
【答案】D
【解析】由于在R上为连续函数，
，，
且，
而，均不合要求，
故方程的一个近似根为1.3125，D正确，故选：D
2．（24-25高一上·湖北武汉·月考）（多选）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（ ）
A．2.49B．2.52C．2.55D．2.58
【答案】BC
【解析】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知，
方程的唯一近似解在，，，内，
又精确度0.1，
所以方程的近似解（精确度0.1）可取为，.故选：BC
3．（24-25高一上·天津·月考）已知函数的部分函数值如表所示:
那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题干所给数据可知，，，且函数在上为增函数，
由零点存在定理可知，函数的唯一零点在区间内，
区间长度为，结合选项可知，其近似值为.故选：B.
4．（24-25高一上·湖北·月考）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似根精确到为 ．
【答案】
【解析】因为，所以在内函数必有零点，
因为，所以函数零点在内，
因为，所以函数零点在内，
因为，所以函数零点在内，
因为，所以函数零点在内，
而，
所以方程的一个近似根精确到为，
故答案为：.
1．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，用二分法求的零点近似值，零点所在大致区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且函数单调递增，
因为，
，
，，
结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为，故选：B
2．已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题得的定义域为，
因为，当时，，
当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点；
因为，
又当时，，
当且仅当时等号成立，
若要用二分法求的零点，需满足，所以.
3．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，函数，
故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点；
对于C，当时，，
当且仅当时，等号成立，无零点；
当时，，当且仅当时，等号成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于D，函数在上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B
1．（24-25高一上·广东·期末）（多选）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表
分析表中数据，则下列说法正确的是：（ ）
A．
B．方程有实数解
C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375
D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375
【答案】BC
【解析】∵与都是R上的单调递增函数，
∴是R上的单调递增函数，
∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，，
∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为，
∴，A错误；方程有实数解，B正确；
，
即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确；
，
即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误.故选：BC.
2．（25-26高一上·上海·月考）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为 ．
【答案】
【解析】由“调日法”的计算方法可知：
第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，即得，
则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为.
3．若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则 ．
【答案】1
【解析】根据指数函数与反比例函数的性质，函数在上单调递增，
所以函数在上至多有一个零点．
又由二分法依次确定了零点所在区间为，
对于区间，由二分法知对应下一个区间有或，
当区间为时，显然不成立，故下一个区间为，
所以，化简得．1
1.5
1.25
1.375
1.3125
0.875
0.2246
1.25
1.375
1.40625
1.422
1.4375
1.5
0.02
0.33