数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）测试题

4.5.2用二分法求方程的近似解（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：二分法概念的理解

重点题型二：确定零点（根）所在区间

重点题型三：用二分法求函数的零点的近似值

重点题型四：二分法的过程

第五部分：新定义问题

第六部分：高考（模拟）题体验

知识点一：区间中点

对于区间，其中点

知识点二：二分法

1、二分法的概念

对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection )

2、用二分法求零点的近似值

 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：

（1）确定零点的初始区间，验证；

（2）求区间的中点

（3）计算;

①若（此时)，则就是函数的零点；

②若（此时)，则令；

③若（此时)，则令；

（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4

1．（2022·湖南·高一课时练习）观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（       ）

A． B． 

C．               D．

【答案】A

由图象可知，BD选项中函数无零点，AC选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点.故选：A

2．（2022·湖南师大附中高一期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝–2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈–0.984，f（1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是

A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值

B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值

C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）

D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）

【答案】C

由由二分法知，方程的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）．故选C．

3．（2022·湖北省武昌实验中学高一期末）已知函数的部分函数值如下表所示

那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（       ）A． B． C． D．

【答案】B

函数在R上单调递增，

由数表知：，

由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，

所以函数的一个零点的近似值为.

故选：B

重点题型一：二分法概念的理解

典型例题

例题1．（2022·新疆吐鲁番·高一期末）下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

观察图象与轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．

故选：B.

例题2．（2022·湖南·高一课时练习）下列各图象表示的函数中没有零点的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

函数没有零点等价于函数图像与轴无交点，选项只有选项的图像与轴无交点.

故选：.

例题3．（2022·天津河北·高一期末）用二分法求如图所示函数的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．      B．             C． D．

【答案】C

观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.

同类题型演练

1．（2022·河南信阳·高一期末）下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）

【答案】（1）（3）

用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求

故答案为：（1）（3）

重点题型二：确定零点（根）所在区间

典型例题

例题1．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函数的部分函数值数据如下：，，，，则方程的一个近似根x所在区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

由题意，知，

所以函数的零点在区间内，即方程的一个近似根x所在区间为.

故选：B.

例题2．（2022·浙江·太湖高级中学高二）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

解：设，

当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，

即方程在区间上有解，

又（2），（3），

故（2）（3），

故方程在区间上有解，

即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.

故选：C．

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

设，在上单调递增.

∵，.

∴根据函数的零点存在性定理得出：的零点在区间内；

方程的解所在的区间为，

故选：B.

2．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.

【答案】

根据二分法，取区间中点值，而，，所以，故判定根在区间

3．（2022·宁夏·平罗中学高一期末）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

因为函数在上连续单调递增，

且,

所以函数的零点在区间内，故选C.

重点题型三：用二分法求函数的零点的近似值

典型例题

例题1．（2022·江西新余·高一期末）若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：

那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（　　）

A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25

【答案】B

由，，且为连续函数，由零点存在性定理知：区间内存在零点，故方程的一个近似根可以为1.32，B选项正确，其他选项均不可.

故选：B

例题2．（2022·全国·高三专题练习）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（       ）（参考数据：，，，，）

A． B． C． D．

【答案】C

由题意可知：

，

，

又因为函数在上连续，所以函数在区间上有零点，

约为

故选：C.

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:

由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）

A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066

【答案】C

在上单调递增.

设近似值为，

由表格有，

所以

故选：C

2．（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)

【答案】1.56

注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.

重点题型四：二分法的过程

典型例题

例题1．（2022·全国·高一专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为______．

【答案】7

根据题意，原来区间的长度等于，

每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，

则经过次操作后，区间的长度为，若，

即；故最少为次.

故答案为：7.

例题2．（2022·湖南·高一课时练习）借助计算器或计算机，用二分法求方程在区间上的根的近似值（误差不超过）．

【答案】

令，可得，

当时，，所以在区间上单调递增，

因为，所以在区间内只有一个零点，

即为方程在的根，

由，所以零点在区间内；

由，，所以零点在区间内；

由，，所以零点在区间内；

由，，所以零点在区间内；

由，，

所以零点在区间内；

由，，

所以零点在区间内；

由，，

所以零点在区间内；

由，，

所以零点在区间内；

由，，

因为，

所以函数在区间上的零点的近似值为，

所以方程在区间上的根的近似值.

同类题型演练

1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程的一个近似根（精确度）可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；

因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；

因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；

因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；

因为，，所以函数在内有零点，

因为，所以满足精确度，

所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.

故选：C

2．（2022·湖南·高一课时练习）用二分法求方程的根的近似值（误差不超过0.001）．

【答案】，.

【详解】

设，因为，，可知方程在上有一解，又，，可知方程在上有一解，

以区间为例，用二分法求根的近似值，记为，

取区间的中点，，，

取区间的中点，， ，

取区间的中点，， ，

取区间的中点，， ，

取区间的中点，， ，

取区间的中点，， ，

取区间的中点，， ，

取区间的中点，， ，

取区间的中点，， ，

取区间的中点，， ，

因为，

故区间内任意实数可以是方程的根的近似值，同理，方程的另一根的近似值落在区间内，

所以方程的根的近似值为，.

1．（2022·浙江·高三专题练习）为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（       ）倍.（当较小时，）

A．1.27 B．1.26 C．1.23 D．1.22

【答案】B

由题意，,

∴．

故选：B．

2．（2022·全国·高三专题练习（文））基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （       ）

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

【答案】B

因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.

故选：B.

3．（2022·全国·高三专题练习（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【答案】C

，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.