高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5.2 用二分法求方程的近似解教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5.2 用二分法求方程的近似解教案设计，共7页。
课例编号
2020QJ10SXRA037
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
用二分法求方程的近似解
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册A版
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
关云超
北京市第十一中学
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
1. 通过求具体方程的近似解了解二分法，体会函数在解方程中的应用，了解极限思想；
2. 通过总结二分法的实施步骤经历由特殊到一般的认知过程，发展数学抽象核心素养，提高分析问题和解决问题的能力；
3. 借助信息技术，理解二分法的算法思想，提升数学运算的素养.
教学重点：用二分法求函数的零点的近似值的一般步骤．
教学难点：对二分法步骤和精确度的理解．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
7分钟
（一）
引入问题，探讨方法.
引言：通过前一节课的学习，我们根据函数零点存在定理和函数单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程的近似解.
问题1：我们已经知道函数在开区间内存在一个零点，如何求出这个零点？
追问1：你能求出函数零点的精确值吗？为什么？
师生活动：学生根据经验简单判断，思考.
教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（比如：当精确度为时：只要近似值与精确值之差的绝对值小于即可）
追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？
师生活动：学生可以想到：零点在区间内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为0.5时，可以取2.5作为一个零点的近似值. 教师给出区间的中点的定义：一般地，称为区间的中点.
追问3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？
师生活动：学生思考：零点是在内，还是在内呢？这时就要考虑的符号. 由计算工具算得，由可知，零点在区间内，由数轴上和之间的距离为0.5可知,零点和之间的距离小于0.5，因此，可以看做零点的一个近似值.
追问4：根据追问2和3的回答，当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？
师生活动：学生思考：当精确度为0.01时，长度小于0.01的零点所在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01. 根据追问2和3的回答，可以通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的.
教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值. 为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围. 具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度的范围. 事实上，通过取中点缩小零点所在区间的方法，在李咏主持的《幸运52》节目的猜商品价格的游戏中也有所体现，在这个游戏中，选手需要对主持人提供的商品进行有限次数的估价，如果猜对，则获得该商品作为奖励. 在估价过程中，主持人会提示，选手的估价与实际价格相比是高了还是低了. 为了尽快缩小实际价格的范围，选手通常采用估计较高价格与较低价格的中间价格来缩小范围，这个中间价格可以恰好是较高、较低两次价格之和的一半，也可以略有浮动. 因此，取中点缩小区间的手段合理，但不唯一.
设计意图： 通过研究如何求函数的零点，使学生理解二分法的基本原理.
5分钟
（二）
解决问题，实施方法.
问题2：当精确度为0.01时，求函数零点的近似值.
教师示范：根据问题1的研究，取区间的中点，算得，因为，所以零点在区间内.再取区间的中点，用计算工具算得.因为，所以零点在区间内（如表1和图1），我们可以重复这样的步骤，继续缩小零点所在区间，直到区间长度小于0.01为止，如表2.
追问：根据填好的表格，请你给出函数零点的近似值.
师生活动：学生可以想到：区间（2.53125，2.5390625）内任意一点都可以作为零点的近似值. 教师补充：为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以(或)可以作为函数零点的近似值，也即方程的近似解.
设计意图：通过求函数的零点在一定精确度下的近似值，体会二分法的实施过程.
6分钟
（三）
总结提炼，归纳方法.
问题3：
在问题2中，我们用怎样的方法求函数零点近似值？这种方法适用于哪些函数？
师生活动：学生思考：通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点近似值. 对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值.
教师在学生回答的基础上形成“二分法”的定义：对于区间上的连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法.
设计意图：通过归纳总结形成二分法的定义.
问题4：根据求函数零点的近似值的过程，你能提炼出给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤吗？
教师讲解：回顾求函数零点的近似值的过程，我们主要经历了以下环节：
1. 确定初始区间：由，得到的零点所在区间；
2. 不断缩小区间：通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小. 具体可解为如下步骤：
（1）计算区间中点；
（2）计算中点函数值；
（3）计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号；
（4）确定零点所在区间.
那么这个过程什么时候结束呢？当零点所在区间的长度小于精确度的范围时，重复操作结束.
3. 得到近似值：当零点所在区间的长度小于精确度的范围，把区间的一个端点作为零点的近似值.
由此，我们可以提炼出给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤：
1. 确定零点的初始区间，验证.
2. 求区间中点.
3. 计算，并进一步确定零点所在区间：
（1）若（此时，）,则就是函数零点；
（2）若（此时，），则令；
（3）若（此时，），则令.
4. 判断是否达到精确度：若，则得到零点的近似值为（或）；否则重复步骤2～4.
设计意图：根据求函数零点的近似值的过程，提炼出用二分法求函数零点近似值的一般步骤.
5分钟
（四）
例题实践，熟悉方法.
问题5：借助信息技术，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.
例题分析：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）.
观察图2或表3可知，说明该函数在区间内存在零点.
取区间的中点，用信息技术算得，因为，所以.
再取区间的中点，用信息技术算得，因为，所以.
同理可得，，.
由于，所以，原方程的近似解可取为1.375（1.4375也可以）.
设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解.
2分钟
（五）
归纳小结，布置作业
教师总结：
本节课我们学习了用二分法求方程近似解的方法. 二分法通过不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想.
回顾整个研究过程，我们通过求具体方程的近似解了解二分法并总结其实施步骤，经历了由特殊到一般的研究过程，从中不但能体会到算法思想，还获得了从具体问题的解决过程提炼出一类问题的解决方法的经验.
设计意图：回顾本节课所学内容和学习过程，感悟本节课涉及的数学思想方法，交流分享关于本节课的收获.
作业布置：教科书第155页习题4.5第4，5，8题.