高中数学人教A版 (2019)必修 第一册用二分法求方程的近似解复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册用二分法求方程的近似解复习练习题，文件包含人教A版必修一高一数学上册同步题型讲练+同步检测452用二分法求方程的近似解教师版docx、人教A版必修一高一数学上册同步题型讲练+同步检测452用二分法求方程的近似解原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
知识点一：二分法
1、二分法
对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．
2、用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
．
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
．
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．
知识点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．
3、关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位．
（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．
【题型归纳目录】
题型一：用二分法求近似解的条件
题型二：用二分法求方程近似解的过程
题型三：用二分法求函数零点的过程
【典型例题】
题型一：用二分法求近似解的条件
例1．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】四个图像中，与x轴垂直的直线和图像只有一个交点，所以四个图像都表示函数的图像，
对于A，函数图像和x轴无交点，所以无零点，故错误；
对于B，D，函数图像和x轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零点；
对于C，函数图像是连续不断的，且函数图像与x轴有交点，并且其零点为变号零点．
故选：C．
例2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由图象可知，BD选项中函数无零点，AC选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．故选：A
例3．用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是单调增函数，故是单调增函数，其零点至多有一个；
又，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是．故选：B．
变式1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（ ）
A．f（x）＝3x－1B．f（x）＝x3
C．f（x）＝|x|D．f（x）＝ln x
【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝3x－1在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于B，f（x）＝x3在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；
对于C，f（x）＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点；
对于D，f（x）＝ln x在（0，+∞）上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；故选：C．
【方法技巧与总结】
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
题型二：用二分法求方程近似解的过程
例4．已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
由二分法，方程的近似解（精确度为0．05）可能是（ ）
A．0．625B．C．0．5625D．0．066
【答案】C
【解析】由题意得在区间上单调递增，设方程的解的近似值为，由表格得，所以，
因为，所以方程的近似解可取为0．5625．故选：C．
例5．若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0．1）可以是（ ）
A．1．2B．1．3C．1．4D．1．5
【答案】C
【解析】因为，，且1．375与1．4375精确到0．1的近似值都为1．4，
所以原方程的一个近似根为1．4．故选：C．
例6．函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：


那么方程的一个近似解（精确度为0．1）为（ ）
A．1．5B．1．25C．1．41D．1．44
【答案】C
【解析】由所给数据可知，函数在区间内有一个根，
因为，，所以根在内，
因为，所以不满足精确度，继续取区间中点，
因为 ，，所以根在区间，
因为，所以不满足精确度，继续取区间中点，
因为，，所以根在区间内，
因为满足精确度，因为，所以根在内，
所以方程的一个近似解为，故选：C
变式4．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】因为，由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，故选：D．
变式5．方程在区间上的根必定在（ ）
A．上B．上C．上D．上
【答案】D
【解析】解析：设，则，，
因为且，所以函数在上必有零点．
又因为且，所以函数在上必有零点．
又因为且，所以函数在上必有零点．
即方程的根必在上．故选：D
变式6．若函数在区间[1，1．5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
那么方程的一个近似根（精确度为0．1）可以为（ ）
A．1．3B．1．32C．1．4375D．1．25
【答案】B
【解析】由，，且为连续函数，由零点存在性定理知：区间内存在零点，故方程的一个近似根可以为1．32，B选项正确，其他选项均不可．故选：B
变式7．用二分法求方程的近似解，求得函数的部分函数值数据如下：，，，，则方程的一个近似根x所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，知，所以函数的零点在区间内，即方程的一个近似根x所在区间为．故选：B．
变式8．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】开区间的长度等于1 ，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过此操作后，区间长度变为，用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为，
，解得，故选：C．
变式9．函数的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程在内近似解的过程可得，，，则方程的解所在区间为（ ）
A．B．
C．D．不能确定
【答案】A
【解析】因为，故方程的解所在区间为．故选：A．
变式10．若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0．04）为（ ）
A．1．5B．1．25C．1．375D．1．4375
【答案】D
【解析】由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0．03125，满足精度要求，观察各选项，只有D中值1．4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，故选：D．
变式11．在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据已知，，，，，
根据二分法可知该近似解所在的区间是．故选：C.
【方法技巧与总结】
（1）依据图象估计零点所在的初始区间（这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的小，区间的端点尽量为整数）．
（2）取区间端点的平均数，计算，确定有解区间是还是，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度），才终止计算，得到函数零点的近似值（为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）．
题型三：用二分法求函数零点的过程
例7．用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1B．C．0．25D．0．75
【答案】C
【解析】因为，，所以在内存在零点，根据二分法第二次应该计算，其中；故选：C
例8．已知定义在上的增函数，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，又，则函数的零点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由在上单调递增得：，，又恒成立，
∴，解得，∴的零点为，故选：C.
例9．在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是；第三次所取的区间可能是.故选：.
变式12．已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次1.75B．6次1.76C．7次1.75D．7次1.76
【答案】D
【解析】由表格数据，零点区间变化如下：，此时区间长度小于，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取．故选：D．
变式13．用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，，所以函数在区间上有唯一零点，所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.故选：B.
变式15．根据下表，用二分法求函数在区间上的零点的近似值（精确度）是__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由二分法定义：由函数，由图表知；；；.由于，故零点的近似值是1.5或1.5625或区间[1.5，1.5625]上的任何一个值.故答案为：.（答案不唯一）
变式16．已知函数.
(1)探究在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)判断方程是否存在实根？若存在，设此根为，请求出一个长度为的区间，使；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）
【解析】（1），则函数在上为减函数，证明如下：
任取、且，则，
因为，则，即，故函数在上为减函数.
（2）由，可知，即，解得，
即，可得，构造函数，
由（1）可知，函数在上为减函数，
而函数为定义域上的增函数，则函数在上为增函数，
又因为函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，由零点存在定理可知，函数在区间上存在零点，且零点记为，，即，
，故，
，故，且区间的长度为.
故满足条件的一个区间为.
变式17．用二分法求下列函数在给定区间内的零点：
(1)在区间内的零点（精确到0.1）；
(2)在区间内的零点（精确到0.1）．
【解析】(1)因为，，则在内存在零点，
又，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，
又，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，
因为，，则在区间内的零点近似为.
(2)因为，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，又，，则在内存在零点，因为，，则在区间内的零点近似为.
【方法技巧与总结】
利用二分法求函数近似零点的流程图：
【同步练习】
一、单选题
1．下列函数图像与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即图像穿过轴时，能用二分法求函数零点近似值，据此分析选项，由图知，A选项中，零点的左右两侧的函数值符号相同，函数不能用二分法求零点近似值；
B选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值；
C选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值；
D选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值.故选:A
2．已知函数的部分函数值如下表所示
那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（ ）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数在R上单调递增，由数表知：，
由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，所以函数的一个零点的近似值为.故选：B
3．下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，故B不能用二分法求零点近似值.故选：B
4．若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
【答案】C
【解析】根据二分法，结合表中数据，由于 所以方程的一个近似根所在区间为 所以符合条件的解为1.4故选:C.
5．下列关于二分法的叙述，正确的是（ ）
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只有求函数零点时才用二分法
【答案】B
【解析】根据二分法的概念可知，只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故B正确；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错.故选：B.
6．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5
【答案】B
【解析】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .故选：B
7．）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到，则方程的根落在区间（ ）
A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定
【答案】B
【解析】∵f（1）0，∴在区间（1，1.5）内函数=3x+3x﹣8存在一个零点
又∵f（1.5）>0，f（1.25）