高中数学二项分布与超几何分布优秀教案

这是一份高中数学二项分布与超几何分布优秀教案，共6页。教案主要包含了讲授新课，例题讲解等内容，欢迎下载使用。

课题名
7.4.1 二项分布
教学目标
1.理解n重伯努利试验的概念.
2.掌握二项分布.
3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
教学重点
n重伯努利试验、二项分布及其数字特征.
教学难点
在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.
教学准备
教师准备：幻灯片、黑板、投影
学生准备：笔、纸、课本
教学过程
新课引入
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果．例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等．我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernulli trials）．
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做n次；
（2）各次试验的结果相互独立．
二、讲授新课
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做n次；
（2）各次试验的结果相互独立．
“重复”意味着各次试验成功的概率相同．
思考
下面3个随机试验是否为n重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次．
（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次．
（3）一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件．
思考
如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列．
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binmial distributin），记作．
对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？
由二项式定理，容易得到．
三、例题讲解
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在内的概率．
解：设“正面朝上”，则．用X表示事件A发生的次数，则，
（1）恰好出现 5 次正面朝上等价于，于是；
（2）正面朝上出现的频率在内等价于，于是
．
例2 图7.4-2是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列．
解：设“向右下落”，则 “向左下落”，且．因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以．于是，X的分布列为．
X的概率分布图如图7.4-3所示．
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为
．
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0，3：1或3：2．因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
．
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为
．
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则．甲最终获胜的概率为
．
因为，所以5局3胜制对甲有利．实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利．
课堂小结
(1)n重伯努利试验的概念及特征．
(2)二项分布的概念及表示．
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binmial distributin），记作．
当堂检测
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数．
（1）求X的分布列；
（2）________，________．
1．【解析】（1）一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，且每次是否正面朝上是相互独立，所以，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
（2）根据（1），所以，．
2．鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒．如果5只鸡接种了疫苗，求：
（1）没有鸡感染病毒的概率；
（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率．
2．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为20%，
没有鸡感染病毒为事件A，则．
（2）恰好有1只鸡感染病毒为事件B，．
3．判断下列表述正确与否，并说明理由：
（1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数；
（2）100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数．
3．【解析】（1）该表述正确，理由如下：12道四选一的单选题，随机猜结果，则每一道题猜对答案的概率均为0.25，则相当于进行12次独立重复试验，故猜对答案的题目数．
（2）该表述错误，理由如下：因为是不放回的随机抽取，所以上一次抽取的结果对本次抽取有影响，故不能看成独立重复试验，故次品数Y不符合二项分布．
4．举出两个服从二项分布的随机变量的例子．
4．【解析】例1：某同学投篮命中率为0.7，他在10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，服从二项分布，；
例2：抛硬币，正面向上的概率为0.5，则抛20次，证明向上的次数X是一个随机变量，服从二项分布，．
布置作业
教材第76〜77页练习第1,2,3题.
板书设计
(1)n重伯努利试验的概念及特征．
(2)二项分布的概念及表示．
教学反思