人教版（2024）七年级上册（2024）代数式学案

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知识点01 代数式的概念
代数式的概念：
代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示数的 连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。
代数式的书写要求：
①数与数相乘必须必须用“×”连接，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“×”用 代替或 。
②在数与字母以及石子相乘中，排列的先后顺序依次是 ， ，然后单项式 ，最后多项式。
③带分数写成 。
④写含有字母的除法时，要把除法写成 的形式。
⑤代数式后面有单位时一定要用 把代数式括起来。
【即学即练1】
1．下列各式中，代数式的个数是（ ）
①12；②26+38；③ab＝ba；④1x+y；⑤2a﹣1；⑥a；⑦12(a2−b2)；⑧5n+2．
A．5B．6C．7D．8
【即学即练2】
2．下列式子中，符合代数式书写格式的是（ ）
A．a÷cB．a×5C．2nmD．112x
知识点02 代数式的意义
1．代数式的意义：
代数式的意义指的是一个代数式所表示的 。
【即学即练1】
3．代数式1a+b表示的意义是（ ）
A．a与b的和B．a与b的倒数和
C．a与b的倒数的和D．a与b的和的倒数
知识点03 列代数式
1．列代数式：
在解决一些数学问题或实际问题时，把问题中的数量关系用含有 、 和 的式子表示出来，就是列代数式。同一个问题中同一个字母表示同一个量。
【即学即练1】
4．用代数式表示下列各题
①比x的3倍大6的数； ②比x小6的数的三分之一；
③a、b两数的和与a、b两数差的积； ④被5除商为n余3的数．
知识点04 用代数式表示实际问题中的数量关系
1．用代数式表示实际问题中的数量关系：
用代数式表示实际问题中的数量关系，首先要认真审题，弄清楚问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式规范表达表达出来。
【即学即练1】
5．嘉嘉在期中考试中，语文、数学和英语三科的平均分是m分，语文和数学共得n分，则嘉嘉英语得（ ）
A．（m﹣n）分B．（3m﹣n）分C．（m﹣2n）分D．（3m﹣2n）分
知识点05 反比例关系以及实际问题中的反比例关系
1．反比例关系：
两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，且这两个量的 是一个定值，则这两个量叫做成反比例的量或成反比例关系。
字母表示为：或，k是一个定值，叫做比例系数。
【即学即练1】
6．下列各选项中，两种量成反比例关系的是（ ）
A．折扣一定，商品的原价和折后价
B．路程一定，速度与时间
C．长方形的长一定，它的面积与宽
D．球体的体积与它的半径
【即学即练2】
7．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表．
（1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？
（2）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？
题型01 判断代数式及其书写
【典例1】下列式子是代数式的是（ ）
①x+1＝7；②5t；③x+1≠0；④x﹣5≥0．
A．①B．②C．③D．④
【变式1】下列各式中，不是代数式的是（ ）
A．x＝1B．5C．2a2+1D．x﹣2y+3
【变式2】下列各式中，是代数式的是（ ）
A．3x+yB．n+2＞3C．S=12abD．5.89≈5.9
【典例2】下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．a9B．x﹣3元C．stD．227x
【变式1】下列代数式，表示正确的是（ ）
A．a2B．212aC．5aD．a+2元
【变式2】下列代数式符合通常书写规范的是（ ）
A．a×4B．113aC．s÷tD．（a+1）元
题型02 代数式表示的意义
【典例1】代数式（4m﹣n）2用文字语言表示为（ ）
A．m与n的4倍的差的平方
B．m的4倍与n的平方的差
C．m与n的差的平方的4倍
D．m的4倍与n的差的平方
【变式1】下列代数式用自然语言表示正确的是（ ）
A．（x+y）2表示x与y平方的和
B．x2+y2表示x与y和的平方
C．1a+b表示a与b的倒数和
D．cab表示c与a，b的积的商
【变式2】关于代数式a2﹣9的意义，下列说法中不正确的是（ ）
A．比a的平方少9的数B．a的平方与9的差
C．a的平方减去9D．a与9的差的平方
【变式3】下列选项中，可用代数式（a﹣2b）表示实际意义的是（ ）
A．七（1）班有学生a名，男生b名，其中一半男生去参加篮球比赛，班内剩余的学生数
B．一个长方形的周长为a，长为b，长方形的宽
C．某商品原价为a元/件，现促销价为b元/件，购买2件该商品可节省的钱
D．某品牌汽车油箱装a升油可装满，汽车每小时耗油b升，该品牌汽车在装满油的情况下，行驶2小时后，油箱的剩余油量
题型03 根据实际问题列出代数式
【典例1】下列语句用代数式表示正确的是（ ）
A．比a的2倍大1的数：2a+1
B．a的相反数与b的一半的差：a−12b
C．a与b的差的平方：a2﹣b2
D．a的平方除以b的商：(ab)2
【变式1】男生有a人，女生人数比男生的4倍少5人，下面可以表示女生人数的式子是（ ）
A．4a﹣5B．4a+5C．（a﹣5）÷4D．a÷4﹣5
【变式2】一个小数，十位上的数字m，个位上的数字是0，十分位上的数字是n，根据每个数位上的计数单位，这个小数用含有字母的式子表示是（ ）
A．10mnB．m+nC．10m+nD．10m+0.1n
【变式3】下面四个代数式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．x2+6B．x2+3（x+2）
C．x（x+3）+6D．（x+3）（x+2）﹣2x
【变式4】有长为L的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，园子的宽为t，则所围成的园子面积为（ ）
A．（L−t2）tB．（L﹣t）tC．（L2−t）tD．（L﹣2t）t
题型04 反比例关系的判断及其简单应用
【典例1】下列两个量成反比例的是（ ）
A．某商品的单价一定，总价和数量
B．长方形的周长一定，它的长和宽
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．时间一定，路程和速度
【变式1】下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（ ）
A．路程一定，速度和时间
B．圆柱的高一定，体积和底面积
C．被减数一定，减数和差
D．三角形的底边一定，它的面积与这条边上的高
【变式2】邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友．先填表，再回答．
（1）每包的本数和包数成什么比例？为什么？
（2）如果每包15本，那么可以打成多少包？如果打成6包，那么每包多少本？
【变式3】乐乐带了120元钱去买钢笔．根据不同的单价可算出买钢笔的支数，先补全如表，再回答问题．
（1）钢笔的单价和支数是怎么变化的？
（2）写出几组这两个量中相对应的两个数的积，并比较积的大小；
（3）表中的两个量成反比例吗？为什么？
题型05 用代数式表示数字或图形的规律
【典例1】如图，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图中所有圆的周长的和是（ ）
A．πaB．6πaC．10πaD．20πa
【变式1】在月历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的月历，任意选择其中所示的含4个数的方框部分，设左上角的数为a，则下列叙述中正确的是（ ）
A．右上角的数为a﹣1
B．左下角的数为a+8
C．右下角的数为a+7
D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【变式2】有一串代数式：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，…，求：
（1）观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律．
（2）写出第2009个代数式．
（3）写出第n个、第n+1个代数式．
【变式3】阅读下面的文字，完成后面的问题．
我们知道11×2=1−12，12×3=12−13；13×4=13−14⋯
（1）依照上述规律，则可列式14×5= ，12024×2025= ．
（2）用含n的式子表示你发现的规律： ．
（3）求式子11×2+12×3+13×4+⋯+12024×2025的值．
1．下列各选项的两个量成反比例关系的是（ ）
A．完成一项定量的工作，工作时间和工作效率
B．进价a元的地球仪，售价和利润
C．正方形的周长和边长
D．圆柱体的底面不变，体积和高
2．下列式子中：①0；②a；③x+y＝2；④x﹣5；⑤2a；⑥a2+1；⑦a≠1；⑧x≤3．属于代数式的有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
3．一本故事书有a页，琪琪每天看12页，则b天后还剩（ ）页没看完
A．12bB．12aC．b﹣12aD．a﹣12b
4．用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（ ）
A．2a﹣3B．2a+3C．2（a﹣3）D．2（a+3）
5．下列代数式用自然语言的表示中错误的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍
B．m+2n表示m与n的2倍的和
C．a2+b2表示a与b的平方的和
D．（a+b）（a﹣b）表示a，b两数的和与差的乘积
6．九月开学季，书店开展优惠活动，某套名著原价为m元，现售价为（0.7m﹣10）元，则下列说法符合题意的是（ ）
A．原价减10元后再打7折
B．原价打7折后再减10元
C．原价打3折后再减10元
D．原价减10元后再打3折
7．我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额
B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长
C．某校七年级共有3个班，每个班平均有a名女生，则3a表示七年级女生总数
D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个数
8．买一个足球需要x元，买一个篮球需要y元，则（2x+3y）元表示的实际意义为（ ）
A．买3个足球和2个篮球需要的钱
B．买2个足球和3个篮球需要的钱
C．买3个足球比买2个篮球多花多少钱
D．买2个足球比买3个篮球多花多少钱
9．如图是由连续的奇数1，3，5，7，…排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中间的数为x，则这四个数的和为（ ）
A．3x+1B．3x+2C．4x+1D．4x+2
10．小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（ ）
A．赚了99元B．赚了100元C．亏了99元D．亏了100元
11．根据要求写出式子“x的一半与y的2倍的和”： ．
12．某商场出售一批贺卡，在市场营销中发现，此贺卡的日销售单价x（单位：元）与日销数量y（单位：个）之间有如下关系，请用式子表示y与x的关系： y=60x ．
13．如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是 （用含有字母a，b的代数式表示）．
14．某蓄水池装有A，B两个进水管，每时可分别进水a立方米，b立方米．若单独开放A进水管，p小时可将该水池注满，如果A，B两个进水管同时开放，将该蓄水池注满的时间能提前 小时．
15．某种杯子的高度是15cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图，n个这样的杯子叠放在一起高度是 （用含n的式子表示）．
16．用文字语言表示下列代数式：
（1）3x+4y；
（2)a2−12ab．
17．学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得图书数如下表：
（1）这批图书共有多少本？
（2）若用m表示学生人数，n表示每名学生分得图书数，则n与m成什么比例关系．
18．某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且AG＝2BG．设BG的长为2x米．（公共边共用一条篱笆）．
（1）用含x的代数式表示AF的长为 米；
（2）用含x的代数式表示DF的长．（结果需化为最简形式）
19．某公司准备修建一块长方形草坪，长为45米，宽为20米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽x米，回答下列问题：
（1）修建十字路的面积是多少平方米？
（2）草坪（阴影部分）的面积是多少？
（3）如果十字路宽2米，那么草坪（阴影部分）的面积是多少？
20．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆．已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为100元和200元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为80元和120元．设从甲仓库调往A县农用车x辆．
（1）甲仓库调往B县农用车 辆，乙仓库调往A县农用车 辆，乙仓库调往B县农用车 辆；（用含x的代数式表示）
（2）写出该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费（用含x的代数式表示）；
（3）在（2）的基础上，求当从甲仓库调往A县农用车5辆时，总运费是多少元？
教学目标
1. 掌握代数式的概念与意义，能够熟练的判断代数式以及说明代数式的意义。
2. 根据运算法则以及实际问题能根据实际问题熟练的列出代数式，能够熟练的用代数式表示实际问题中的关系。
3. 掌握反比例关系的定义，能够熟练判断反比例关系，并能够熟练的在实际问题中应用。
教学重难点
重点
（1）代数式的概念与意义及其列代数式；
（2）反比例关系及其简单应用；
2. 难点
（1）列出代数式；
（2）用代数式表示数字或图形的规律。
每天看的页数/页
12
15
20
30
需要的天数/天
25
20
15
10
每包的本数
10
20
40
包数
60
单价/元
40
20
15
12
10
…
支数/支
…
日销售单价x/元
…
3
4
5
6
…
日销售量y/个
…
20
15
12
10
…
每名学生分得的图书数
2
3
4
5
6
…
学生人数
300
200
150
120
100
…