人教版（2024）七年级上册（2024）代数式导学案

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考点01 代数式
代数式的概念：
代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数或一个字母也是代数式。
代数式的书写要求：
①数与数相乘必须必须用“×”连接，数与字母相乘，字母与字母相乘时把“×”用“·”代替或直接省略。
②在数与字母以及石子相乘中，排列的先后顺序依次是数，字母，然后单项式，最后多项式。
③带分数写成假分数。
④写含有字母的除法时，要把除法写成分数的形式。
⑤代数式后面有单位时一定要用括号把代数式括起来。
3．代数式的意义：
代数式的意义指的是一个代数式所表示的数量关系。
4．用代数式表示实际问题中的数量关系：
用代数式表示实际问题中的数量关系，首先要认真审题，弄清楚问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式规范表达表达出来。
考点02 代数式的值
代数式的值的定义：
一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
一般情况下有直接带入和整体带入这两种方法。
用公式进行计算：
在某些同类事物中的某种关系可以用公式来表示，在解决这类问题时常常用公式进行计算。常用的公式有：
①常见图形的面积公式，体积公式。
②整式乘法中的乘法公式。
考点03 反比例及其简单应用
1．反比例关系：
两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，且这两个量的积是一个定值，则这两个量叫做成反比例的量或成反比例关系。
字母表示为：或，k是一个定值，叫做比例系数。
题型01 判断代数式
1．下列各式中，是代数式的是（ ）
A．3x+yB．n+2＞3C．S=12abD．5.89≈5.9
【答案】A
【解答】解：A．3x+y，是代数式；
B．n+2＞3，是不等式，不是代数式；
C．S=12ab，是等式，不是代数式；
D．5.89≈5.9，是不等式，不是代数式．
故选：A．
2．下列各式中，不是代数式的是（ ）
A．x＝1B．5C．2a2+1D．x﹣2y+3
【答案】A．
【解答】解：A．x＝1是等式，不是代数式；
B．5是代数式；
C．2a2+1是代数式；
D．x﹣2y+3是代数式．
故选：A．
3．下列式子是代数式的是（ ）
①x+1＝7；②5t；③x+1≠0；④x﹣5≥0．
A．①B．②C．③D．④
【答案】B．
【解答】解：式子5t，符合代数式的定义，是代数式；
式子x+1＝7是等式，不是代数式；
式子x+1≠0，x﹣5≥0是不等式，不是代数式．
故代数式有②．
故选：B．
4．下列各式中，代数式的个数是（ ）
①12；②26+38；③ab＝ba；④1x+y；⑤2a﹣1；⑥a；⑦12(a2−b2)；⑧5n+2．
A．5B．6C．7D．8
【答案】C．
【解答】解：式子12，26+38，1x+y，2a﹣1，a，12(a2−b2)，5n+2，符合代数式的定义，是代数式；
式子ab＝ba，是等式，不是代数式．
故代数式有7个．
故选：C．
5．下列各式中，是代数式的是 ①④⑤ ．（填序号）
①2x﹣1；②a＝1；③S＝πR2；④π；⑤72m；⑥12＞13．
【答案】①④⑤．
【解答】解：是代数式的是2x﹣1，π，72m，
故答案为：①④⑤．
题型02 判断代数式的书写要求
1．下列代数式中，符合书写要求的是（ ）
A．123xyB．a﹣3千米C．b4D．a•5
【答案】C．
【解答】解：选项A正确的书写格式是53xy，故此选项不符合题意；
选项B正确的书写格式是（a﹣3）千米，故此选项不符合题意；
选项C正确，故此选项符合题意；
选项D正确的书写格式是5a，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（ ）
①113x；②ab÷c；③2（m+n）；④a﹣3千米．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：①113x要写成43x；
②ab÷c要写成abc；
③2（m+n）符合要求；
④a﹣3千米要写成（a﹣3）千米；
综上可知，符合要求的只有1个，
故选：A．
3．下列各式中符合代数式书写要求的有（ ）
①167x2y；②4m×n；③mn；④a2−b25；⑤2×（a+b）；⑥ah•2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：167x2y应写成137x2y，
4m×n应写成4mn，
mn符合书写要求，
a2−b25符合书写要求，
2×（a+b）应写成2（a+b），
ah•2应写成2ah．
故选：B．
4．下列代数式：①123x2y；②ab÷c2；③mn；④a2−b23；⑤2x（a+b）；⑥ab•2．其中，符合代数式书写要求的（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：根据代数式的定义进行判断，符合代数式书写规范的是③④⑤．
故选：C．
5．下列各式：2a，125b，x+14，﹣1a，3a÷b，5x﹣1，其中符合代数式书写要求的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C．
【解答】解：2a符合书写要求，
125b应写成75b，
x+14符合书写要求，
﹣1a应写成﹣a，
3a÷b应写成3ab，
5x﹣1符合书写要求．
故选：C．
题型03 代数式的意义
1．关于代数式a2﹣9的意义，下列说法中不正确的是（ ）
A．比a的平方少9的数B．a的平方与9的差
C．a的平方减去9D．a与9的差的平方
【答案】D
【解答】解：A．代数式a2﹣9表示比a的平方少9的数，说法正确，不符合题意；
B．代数式a2﹣9表示a的平方与9的差，说法正确，不符合题意；
C．代数式a2﹣9表示a的平方减去9，说法正确，不符合题意；
D．代数式a2﹣9表示a与3的平方差，说法错误，符合题意．
故选：D．
2．甲、乙两人赋予4n实际意义如下，则判断正确的是（ ）
甲：若正方形的边长为n，则4n表示正方形的周长；
乙：若梨的单价为n元/千克，则4n表示4千克梨的金额．
A．甲、乙都对B．只有甲对C．只有乙对D．甲、乙都错
【答案】A
【解答】解：甲：若正方形的边长为n，则4n表示正方形的周长；
乙：若梨的单价为n元/千克，则4n表示4千克梨的金额．
∴甲、乙都对．
故选：A．
3．我们知道，用字母表示的代数式是具有一般意义的．请仔细分析下列赋予3a实际意义的例子中不正确的是（ ）
A．若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额
B．若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长
C．某校七年级共有3个班，每个班平均有a名女生，则3a表示七年级女生总数
D．若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则3a表示这个数
【答案】D
【解答】解：A、若葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克葡萄的金额，正确，故A不符合题意；
B、若a表示一个等边三角形的边长，则3a表示这个等边三角形的周长，正确，故B不符合题意；
C、若某校七年级共有3个班，平均每个班有a名女生，3a表示该校七年级女生总数，正确，故C不符合题意；
D、若3和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则30+a表示这个两位数，此选项错误，故D符合题意．
故选：D．
4．买一个足球需要x元，买一个篮球需要y元，则（2x+3y）元表示的实际意义为（ ）
A．买3个足球和2个篮球需要的钱
B．买2个足球和3个篮球需要的钱
C．买3个足球比买2个篮球多花多少钱
D．买2个足球比买3个篮球多花多少钱
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，（2x+3y）表示的是买2个篮球和3个足球共需多少元．
故选：B．
5．我们知道，用字母表示的代数式是具有实际意义的，请分析下列赋予（100﹣2x）实际意义的例子中不正确的（ ）
A．用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元
B．在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数
C．周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为（100﹣2x）
D．某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多（100﹣2x）万件
【答案】C
【解答】解：用100元购买两件单价为x元的商品，剩余（100﹣2x）元，
∴A正确，不符合题意；
在数学活动中，共有学生100人，老师把女生分为2组，每组x人，则（100﹣2x）表示男生人数，
∴B正确，不符合题意；
周长是100的长方形，一边长为x，另一边长为100−2x2，
∴C不正确，符合题意；
某产品前年的产量是2x万件，去年的产量是100万件，去年的产量比前年多（100﹣2x）万件，
∴D正确，不符合题意．
故选：C．
题型04 列代数式
1．下列语句用代数式表示正确的是（ ）
A．比a的2倍大1的数：2a+1
B．a的相反数与b的一半的差：a−12b
C．a与b的差的平方：a2﹣b2
D．a的平方除以b的商：(ab)2
【答案】A
【解答】解：A．比a的2倍大1的数表示为2a+1，符合题意，
B．a的相反数与b的一半的差应表示为﹣a−12b，不符合题意，
C．a与b的差的平方应表示为（a﹣b）2，不符合题意，
D．a的平方除以b的商应表示为a2÷b，不符合题意，
故选：A．
2．嘉嘉在期中考试中，语文、数学和英语三科的平均分是m分，语文和数学共得n分，则嘉嘉英语得（ ）
A．（m﹣n）分B．（3m﹣n）分C．（m﹣2n）分D．（3m﹣2n）分
【答案】B
【解答】解：因为语文、数学和英语三科的平均分是m分，
所以语文、数学和英语三科的总分为3m，
因为语文和数学共得n分，
所以嘉嘉英语得（3m﹣n）分，
故选：B．
3．一段钢管的形状和尺寸如图所示．如果大圆的半径是R，小圆的半径是r，钢管的长度是a，则这段钢管的体积V＝（ ）
A．13π(R2−r2)aB．43π(R2−r2)a
C．π（R2﹣r2）aD．π（R3﹣r3）a
【答案】C
【解答】解：依题意，大圆的半径是R，小圆的半径是r，钢管的长度是a，
由图形特征，得这段钢管的体积为：
V＝（πR2﹣πr2）•a＝π（R2﹣r2）a．
故选：C．
4．如图，把四个长为m，宽为n的小长方形按图①和图②两种方式分别拼在一个大长方形和一个正方形上，其中未被覆盖的部分用阴影部分表示．已知大长方形的宽（竖直边长）与正方形的边长相等，则图①中阴影部分的周长为（ ）
A．6nB．m+6nC．12nD．2m+12n
【答案】C
【解答】解：∵大长方形的宽（竖直边长）与正方形的边长相等，
∴左上方阴影部分的宽为4n﹣3n＝n，宽为m，
∴左上方阴影部分的周长为：2n+2m，
右下方阴影部分的长为n，宽为4n﹣m，
右下方阴影部分的周长为2（4n﹣m）+2n，
∴2n+2m+2（4n﹣m）+2n＝2n+2m+8n﹣2m+2n＝12n，
故选：C．
5．如图，小州把纸杯整齐地叠放在一起，若3个纸杯的高度为9cm，8个纸杯的高度为14cm，则将n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为（ ）
A．（n+6）cmB．（n+7）cmC．（2n+6）cmD．（2n+7）cm
【答案】A
【解答】解：由条件可得：每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高：（14﹣9）÷（8﹣3）＝1cm，
∴把n个这样的杯子叠放在一起，其高度为：9+（n﹣3）×1＝（6+n）cm，
故选：A．
题型05 直接带入求代数式的值
1．当x＝﹣3时，代数式2x+1的值为（ ）
A．﹣7B．+7C．﹣5D．+5
【答案】C
【解答】解：∵x＝﹣3，
∴2x+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．
故选：C．
2．当x＝4时，则2x+1的值是（ ）
A．3B．7C．8D．9
【答案】D．
【解答】解：当x＝4时，原式＝2×4+1＝9．
故选：D．
3．如果|a+3|与（b﹣2）2互为相反数，那么代数式（a+b）2022的值是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．±1
【答案】A
【解答】解：∵|a+3|与（b﹣2）2互为相反数，
∴|a+3|+（b﹣2）2＝0，
∵|a+3|≥0，（b﹣2）2≥0，
∴|a+3|＝0，（b﹣2）2＝0，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1，
故选：A．
4．若a＝﹣3，则a2+12a+36a2+6a=（ ）
A．﹣3B．﹣1C．3D．6
【答案】B
【解答】解：原式=a2+12a+36a2+6a=(a+6)2a(a+6)=a+6a
当a＝﹣3时，原式=−3+6−3=−1．
故选：B．
5．如图，若a＝2，则aa+1的值所对应的点可能落在（ ）
A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处
【答案】C
【解答】解：∵a＝2，
∴aa+1=23，
∴aa+1的值所对应的点可能落在点C处，
故选：C．
题型06 整体带入求代数式的值
1．代数式a﹣2b+1的值为3，那么2a﹣4b﹣5的值为（ ）
A．1B．﹣3C．﹣2D．﹣1
【答案】D．
【解答】解：∵a﹣2b+1＝3，
∴a﹣2b＝2，
∴当a﹣2b＝2时，原式＝2（a﹣2b）﹣5＝2×2﹣5＝﹣1．
故选：D．
2．若a2+2a+1＝2，则代数式：2a2+4a﹣1的值为（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
【答案】B
【解答】解：由条件可知a2+2a＝1，
∴2a2+4a＝2，
∴2a2+4a﹣1＝2﹣1＝1．
故选：B．
3．当x＝1时，代数式ax3﹣bx+1＝8，当x＝﹣1时，代数式ax3﹣bx+1的值为（ ）
A．﹣8B．﹣7C．﹣6D．﹣5
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，当x＝1时，
代数式ax3﹣bx+1＝8，
a×13﹣b×1+1＝8，
∴a﹣b+1＝8，即a﹣b＝7，
∴当x＝﹣1时，
原式＝﹣a+b+1＝﹣（a﹣b）+1＝﹣7+1＝﹣6．
故选：C．
4．已知x＝2024时，代数式ax3+bx﹣3的值是2，当x＝﹣2024时，代数式ax3+bx+7的值等于（ ）
A．﹣10B．4C．2D．﹣6
【答案】C
【解答】解：根据题意可知，20243a+2024b＝5，
∴当x＝﹣2024时，
原式＝（﹣2024）3a﹣2024b+7
＝﹣（20243a+2024b）+7
＝﹣5+7
＝2．
故选：C．
5．已知a+b=12，a+c＝﹣2，那么代数式（b﹣c）2﹣2（c﹣b）−94的是（ ）
A．﹣1B．0C．3D．9
【答案】D
【解答】解：∵a+b=12，a+c＝﹣2，
∴（a+b）﹣（a+c）=12+2=52，即b﹣c=52，
则（b﹣c）2﹣2（c﹣b）−94
＝（b﹣c）2+2（b﹣c）−94
=254+5−94
＝9．
故选：D．
题型07 利用程序框图求值
1．按如图所示的运算程序，若输入的x＝﹣5时，则输出结果为（ ）
A．11B．﹣3C．﹣1D．1
【答案】A
【解答】解：∵﹣5＜0，
∴当x＝﹣5时，6﹣x＝6﹣（﹣5）＝6+5＝11，
故选：A．
2．根据如图所示的程序计算关系式，若输入x的值是7，则输出y的值是﹣2；若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（ ）
A．20B．25C．27D．29
【答案】C
【解答】解：把x＝7，y＝﹣2代入y=−x+b2得：−7+b2=−2，
﹣7+b＝﹣4，
解得：b＝3，
把b＝3，x＝﹣8代入y＝﹣3x+b得：﹣3×（﹣8）+3＝24+3＝27，
故选：C．
3．在下列流程图中，输入19，则输出（ ）
A．﹣7B．173C．−173D．7
【答案】A
【解答】解：当x＝19时，输入流程图可得19−(−2)3=7，
7的相反数为：﹣7．
故选：A．
4．按如图所示的运算程序，当x＝2，y＝﹣4时，输出的结果为（ ）
A．﹣4B．6C．10D．12
【答案】D
【解答】解：∵y＝﹣4＜1，
∴当x＝2，y＝﹣4时，
x2﹣2y＝22﹣2×（﹣4）＝12，
∴输出的结果为12．
故选：D．
5．按下面的程序计算：若开始输入的数是2，则输出结果为（ ）
A．88B．86C．87D．85
【答案】B
【解答】解：4×2﹣2＝6，
6×4﹣2＝22，
22×4﹣2＝86．
故选：B．
题型08 反比例关系的判定
1．下列各选项中，两种量成反比例关系的是（ ）
A．折扣一定，商品的原价和折后价
B．路程一定，速度与时间
C．长方形的长一定，它的面积与宽
D．球体的体积与它的半径
【答案】B
【解答】解：A．∵折扣一定时，商品的原价越高，折扣价越高，
∴折扣一定，商品的原价和折后价成正比例，故A不符合题意；
B．∵路程＝速度×时间，
∴当路程一定时，速度与时间成反比例，故B符合题意，当选；
C．∵长方形的面积＝长×宽，
∴当长方形的长一定时，它的面积与宽成正比例，故C不符合题意；
D．∵球体的体积公式是V=43πr3，
∴球体的体积随半径的增大而增大，球体的体积与它的半径不是反比例关系，故D不符合题意．
故选：B．
2．当三角形的面积为定值，则下列选项中成反比例的量是（ ）
A．三角形的一边与周长
B．三角形的高与周长
C．三角形一边长与该边上的高
D．三角形的周长与面积
【答案】C
【解答】解：∵12×三角形的一条边的长×这条边上的高＝三角形的面积，
∴当三角形的面积为定值时，即三角形一边长与该边上的高成反比例关系，
三角形的一边与周长，高与周长，周长与面积都不成比例，
故选：C．
3．下列两个量成反比例的是（ ）
A．某商品的单价一定，总价和数量
B．长方形的周长一定，它的长和宽
C．圆柱的体积一定，它的底面积和高
D．时间一定，路程和速度
【答案】C
【解答】解：A．单价＝总价÷数量，故某商品的单价一定，购买的总价和数量的比值是定值，选项说法不正确，不符合题意；
B．长方形的周长＝（长+宽）×2，故长方形的周长一定，长和宽的和是定值，选项说法不正确，不符合题意；
C．因为圆柱的体积＝底面积×高，则圆柱的体积一定，它的底面积和高成反比例，选项说法正确，符合题意；
D．速度＝路程÷时间，故时间一定，路程和速度的比值是定值，选项说法不正确，不符合题意．
故选：C．
4．下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（ ）
A．路程一定，速度和时间
B．圆柱的高一定，体积和底面积
C．被减数一定，减数和差
D．三角形的底边一定，它的面积与这条边上的高
【答案】A
【解答】解：A、路程一定，行驶的时间和速度成反比关系，选项说法正确，符合题意；
B、圆柱的高一定，体积和底面积成正比关系，选项说法错误，不符合题意；
C、被减数一定，减数和差不成比例关系，选项说法错误，不符合题意；
D、三角形的底边一定，它的面积与这条边上的高成正比，选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
5．下列各选项的两个量成反比例关系的是（ ）
A．完成一项定量的工作，工作时间和工作效率
B．进价a元的地球仪，售价和利润
C．正方形的周长和边长
D．圆柱体的底面不变，体积和高
【答案】A
【解答】解：A、完成一项定量的工作，工作时间和工作效率的乘积一定，成反比例关系，故本选项符合题意；
B、进价a元的地球仪，售价和利润的差值一定，不成反比例关系，故本选项不符合题意；
C、正方形的周长和边长的比值一定，成正比例关系，故本选项不符合题意；
D、圆柱体的底面不变，体积和高的比值一定，成正比例关系，故本选项不符合题意．
故选：A．
题型09 反比例关系的实际应用
1．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表．
（1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？
（2）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系，
理由：∵12×25＝15×20＝300，
∴每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系；
（2）300÷6＝50（页），
答：平均每天要看50页．
2．邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友．先填表，再回答．
（1）每包的本数和包数成什么比例？为什么？
（2）如果每包15本，那么可以打成多少包？如果打成6包，那么每包多少本？
【答案】（1）每包的本数和包数成反比例，则填表如下：
由于10×60＝20×30＝40×15＝600，
所以两个变量的乘积为常数，
∴每包的本数和包数成反比例；
（2）如果每包15本，那么可以打成40包，如果打成6包，那么每包100本．
【解答】解：（1）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友由题意得，
10×60÷20＝30，10×60÷40＝15，
由于10×60＝20×30＝40×15＝600，
乘积为常数，
∴每包的本数和包数成反比例；
（2）由题意得，600÷15＝40（包），600÷6＝100（本），
答：如果每包15本，那么可以打成40包，如果打成6包，那么每包100本．
3．乐乐带了120元钱去买钢笔．根据不同的单价可算出买钢笔的支数，先补全如表，再回答问题．
（1）钢笔的单价和支数是怎么变化的？
（2）写出几组这两个量中相对应的两个数的积，并比较积的大小；
（3）表中的两个量成反比例吗？为什么？
【答案】3；6；8；10；12；
（1）支数随单价的减小而增大；
（2）40×3＝120，20×6＝120，15×8＝120（答案不唯一），乘积相等，都是120；
（3）成反比例，因为单价×支数＝总价（一定）．
【解答】解：先补全列表如图：
（1）根据表中数据，40＞20＞15＞12＞10，3＜6＜8＜10＜12，
∴支数随单价的减小而增大．
（2）20×6＝120，15×8＝120（答案不唯一），乘积相等，都是120；
（3）成反比例，因为单价×支数＝总价（一定）．
4．某工厂要加工一批卡皮巴拉玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表：
（1）这批毛绒玩具共多少件？
（2）加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？
（3）用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示x与y之间的关系．x与y成什么比例关系？
【答案】（1）这批毛绒玩具共600件；（2）加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大）；（3）x与y成反比例关系．
【解答】解：（1）∵60×10＝600，
∴这批毛绒玩具共600件；
（2）结合表格，得出加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大）；
（3）∵工作总量不变，都是600件，
∴加工时间与每小时加工件数乘积都是600，即乘积不变，
∴xy＝600，
故x与y成反比例关系．
教学目标
熟练掌握有理数全章知识点；
熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；
教学重难点
重点
（1）代数式的定义及其书写要求；
（2）代数式的意义及其列代数式；
（3）代数式的求值；
（4）反比例及其简单应用。
2. 难点
（1）代数式的求值；
每天看的页数/页
12
15
20
30
需要的天数/天
25
20
15
10
每包的本数
10
20
40
包数
60
每包的本数
10
20
40
包数
60
30
15
每包的本数
10
20
40
包数
60
30
15
单价/元
40
20
15
12
10
…
支数/支
…
单价/元
40
20
15
12
10
支数
3
6
8
10
12
每小时加工件数（件）
60
50
40
30
…
加工时间（小时）
10
12
15
20
…