2025-2026学年上学期长沙小学数学四年级期末典型卷1

这是一份2025-2026学年上学期长沙小学数学四年级期末典型卷1，共49页。
2．（6分）在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
3．（1分）把一张长方形的纸沿着同一方向对折两次，打开后折痕互相 。
4．（2分） 时或 时，分针和时针组成的角是直角。
5．（1分）一张游乐园门票8元，70元最多可以买 张门票。
6．（3分）如图中，∠1＝ °，∠2＝ °，∠3＝ °。
7．（2分）7□5÷76，如果商的最高位在个位上，□里最大可以填 ；6□1÷32，要使商的个位是“0”，□里最小填 。
8．（1分）小安家今天吃水煮鱼，洗鱼6分，煮鱼10分钟，淘米2分钟，电饭煲煮饭16分钟。至少 分钟后可以开饭。
9．（2分）我国的《四库全书》是世界上字数最多的书，全书共约997000000个字，改写成用“亿”作单位的数是 亿字，保留整数约是 亿字。
10．（4分）在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。
518×56 518
34×14 34÷14
11．（4分）某旅游景区的形状是一个长2000米，宽1000米的长方形，绕该景区走一圈，要走 千米，这个旅游景区的面积是 公顷。
二．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
12．（2分）读下面各数时，一个“零”都不读的是（ ）
A．60000500B．60050000C．6050000D．60005000
13．（2分）在如图梯形上沿直线剪一刀，使梯形变为两个图形，其中一个是平行四边形，那么另一个是（ ）
A．梯形B．三角形
C．平行四边形D．梯形或三角形
14．（2分）因为101×8+2＝810，所以□÷□＝□……□。□里依次填（ ）
A．810、2、101、8B．810、2、8、101
C．810、8、101、2
15．（2分）李凯25小时走了83千米。照这样计算，他1小时能走（ ）千米。
A．203B．1615C．320D．1516
16．（2分）下列时间中，时针和分针的夹角成30度的角是（ ）
A．2时整B．8时整C．9时整D．11时整
17．（2分）用42平方分米的布做每块400平方厘米的手帕，最多可以做（ ）块。
A．1B．10C．100
三．计算题（共2小题，满分21分）
18．（8分）直接写出得数。
19．（13分）列竖式计算，带☆的要写出验算过程。
四．操作题（共2小题，满分6分，每小题3分）
20．（3分）用量角器分别画1个35°、130°的角。
21．（3分）在方格纸上画一画。
（1）分别画出一个直角三角形、平行四边形和等腰梯形。
（2）分别作出、标出这些图形的底与高。
五．解答题（共5小题，满分33分）
22．（9分）如图是湖南省近五年出生人数与死亡人数统计表。
（1）在统计图中画出关于出生人数的折线。
（2）当出生人数少于死亡人数时，就是人口负增长，湖南省从 年开始出现人口负增长。
（3）湖南省近五年的出生人数呈 趋势。
23．（6分）周日小西和家人到滇池草海东岸的S湾彩虹步道骑行，步道总长137千米，小西平均每小时骑行18千米，他5小时能骑完全程吗？
24．（6分）超市里有一种饮料，每瓶售价5元，促销活动买4送1。王老师要买20瓶这种饮料，需要花多少钱？
25．（6分）国庆期间，红红跟随爸爸妈妈去欣赏祖国美丽的自然风景，路过一片稻田时，红红被一望无际的田野吸引住了。通过与当地的老乡交谈，红红得知这片稻田呈长方形，长800米，宽600米。你知道这片稻田有多少公顷吗？如果每公顷施肥300千克，这片稻田一共施肥多少千克？
26．（6分）步步高超市有3种苹果的销售方式。
方式A：20千克一箱，每箱160元。
方式B：3千克一箱，每箱27元。
方式C：1千克一箱，每箱10元。
一家宾馆要买34千克这种苹果，怎样买最省钱？
2025-2026学年上学期长沙小学数学四年级期末模拟卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．填空题（共11小题，满分28分）
1．（2分）嫦娥6号月球探测器从月球背面起飞，成功采回1935.3g样品。从月球到地球的平均距离约三十八万四千四百千米。横线上的数写作 384400 千米，省略“万”后面的尾数约是 38 万千米。
【考点】亿以内数的读写；亿以内数的改写与近似．
【专题】综合填空题；数据分析观念．
【答案】384400；38。
【分析】亿以内数的写法，从最高位写起，先写万级再写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；省略“万”后面的尾数要看千位上的数，根据四舍五入法的原则，若千位上的数字大于等于5，就向万位进1；若千位上的数字小于5，就舍去千位及其后面数位上的数。
【解答】解：从月球到地球的平均距离约三十八万四千四百千米。这个数写作：384400千米，省略“万”后面的尾数约是38万千米。
故答案为：384400；38。
【点评】此题考查了亿以内数的读写和求近似数，要求学生掌握。
2．（6分）在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
【考点】亿以上的数比较大小；两位数乘三位数；一位数除多位数；两位数除两、三位数；大面积单位间的进率及单位换算；亿以内数比较大小．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】＞；＞；＜；＝；＜；＜。
【分析】比较数的大小：位数不同的两个数，位数多的那个数大，位数少的那个数小。位数相同的两个数，从最高位开始比较，最高位大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，直至比较出大小。
【解答】解：8亿＞99999999
540÷6＞5400÷600
960÷40÷8＜960÷48
25×800＝80×250
8公顷50平方米＜85000平方米
7□3÷85＜826÷7□
故答案为：＞；＞；＜；＝；＜；＜。
【点评】本题考查的主要内容是亿以上数的大小比较问题。
3．（1分）把一张长方形的纸沿着同一方向对折两次，打开后折痕互相 平行 。
【考点】垂直与平行的特征及性质．
【专题】几何直观．
【答案】平行。
【分析】把一张长方形纸沿同一方向对折两次后打开，会形成3条折痕，可以画图或实际操作证明。
【解答】解：
根据图中折痕可以得出把一张长方形的纸沿着同一方向对折两次，打开后折痕互相平行。
故答案为：平行。
【点评】本题考查图形的折叠和平行知识，可以画图直观解答。
4．（2分） 3 时或 9 时，分针和时针组成的角是直角。
【考点】钟面上的角．
【专题】应用意识．
【答案】3，9。
【分析】根据直角的含义：等于90°的角叫直角；并结合实际，时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格的度数是30度，整时，分针指向12，当时针指向3或9时，夹角是90度，由此进行解答即可。
【解答】解：据分析可知：
3或9时整，钟面上的分针和时针所夹的角是直角。
故答案为：3，9。
【点评】本题考查钟面上角的认识。
5．（1分）一张游乐园门票8元，70元最多可以买 8 张门票。
【考点】有余数的除法应用题．
【专题】应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】用总钱数除以一张门票的价钱，商即为能买的张数。
【解答】解：70÷8＝8（张）……6（张）
答：70元最多可以买8张门票。
故答案为：8。
【点评】本题考查有余数的除法的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
6．（3分）如图中，∠1＝ 90 °，∠2＝ 60 °，∠3＝ 135 °。
【考点】线段与角的综合．
【专题】平面图形的认识与计算；空间观念．
【答案】90；60；135。
【分析】图中∠1处标有直角符号，所以可以知道∠1是90°，∠2和30°组成直角，所以∠2＝90°﹣30°，∠3与45°组成平角，所以∠3＝180°﹣45°。
【解答】解：∠1＝90°
∠2＝90°﹣30°＝60°
∠3＝180°﹣45°＝135°
即∠1＝90°，∠2＝60°，∠3＝135°。
故答案为：90；60；135。
【点评】本题考查平角和直角的概念，关键是从图中看到哪些角的和是90度，哪些角的和是180度。
7．（2分）7□5÷76，如果商的最高位在个位上，□里最大可以填 5 ；6□1÷32，要使商的个位是“0”，□里最小填 4 。
【考点】两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】5；4。
【分析】根据整数除法计算的方法，7□5÷76的商的最高位是个位，也就是说，被除数的前两位不够商1，则被除数的十位上的数是0、1、2、3、4、5，最大可以填5，由此解答即可；
因为在6□1÷32中，商是两位数，所以十位商完后余数只要小于除数32，则商的个位数字就是0，所以□里面最小能填4。
【解答】解：7□5÷76，如果商的最高位在个位上，□里最大可以填5；6□1÷32，要使商的个位是“0”，□里最小填4。
故答案为：5；4。
【点评】两位数除三位数，若商是一位数，被除数的前两位一定小于除数；若商是两位数，被除数的前两位一定大于或等于除数。
8．（1分）小安家今天吃水煮鱼，洗鱼6分，煮鱼10分钟，淘米2分钟，电饭煲煮饭16分钟。至少 18 分钟后可以开饭。
【考点】沏茶问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】18。
【分析】可以先淘米需要2分钟，然后做米饭需要16分钟，在做米饭的同时，可以进行洗鱼6分钟，烧鱼10分钟，这样安排不相互冲突，所用的时间最少，据此即可解答。
【解答】解：可以先淘米需要2分钟，然后做米饭需要16分钟，在做米饭的同时，可以进行洗鱼、烧鱼，
所以最少需要：2+16＝18（分钟）；
答：至少18分钟后可以开饭。
故答案为：18。
【点评】本题考查的是沏茶问题的应用。
9．（2分）我国的《四库全书》是世界上字数最多的书，全书共约997000000个字，改写成用“亿”作单位的数是 9.97 亿字，保留整数约是 10 亿字。
【考点】亿以上数的改写与近似．
【专题】综合填空题；数感．
【答案】9.97亿，10。
【分析】改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，在数的后面带上“亿”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字．
【解答】解：997000000＝9.97亿；
997000000≈10亿。
故答案为：9.97亿，10。
【点评】本题主要考查整数的改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位。
10．（4分）在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。
518×56 ＜ 518
34×14 ＜ 34÷14
【考点】积的变化规律；商的变化规律．
【专题】运算能力．
【答案】＜，＜。
【分析】一个数（0除外）乘小于1（0除外）的数，则积小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数，则商大于这个数；据此进行解答。
【解答】解：518×56＜518
34×14＜34÷14
故答案为：＜，＜。
【点评】本题主要考查了积或商的变化规律。
11．（4分）某旅游景区的形状是一个长2000米，宽1000米的长方形，绕该景区走一圈，要走 6 千米，这个旅游景区的面积是 200 公顷。
【考点】长方形、正方形的面积；大面积单位间的进率及单位换算．
【专题】运算能力．
【答案】6；200。
【分析】绕该景区走一圈，求走的千米数也就是求长方形的周长，长方形的周长＝（长+宽）×2，1千米＝1000米，然后根据进率转换单位；求这个旅游景区的面积也就是求长方形的面积，长方形的面积＝长×宽，1公顷＝10000平方米，根据进率转换单位；据此解答。
【解答】解：根据分析：
（2000+1000）×2
＝3000×2
＝6000（米）
6000米＝6千米
2000×1000＝2000000（平方米）
2000000平方米＝200公顷
答：绕该景区走一圈，要走6千米；所以这个旅游景区的面积是200公顷。
故答案为：6；200。
【点评】本题考查了长方形的周长公式的应用及面积单位的互化。
二．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
12．（2分）读下面各数时，一个“零”都不读的是（ ）
A．60000500B．60050000C．6050000D．60005000
【考点】亿以内数的读写．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】D
【分析】读数时，把数先分级，从高位读起，亿级或万级的数按照个级的读法去读，再在每级的末尾加一个“亿”或“万”字，每级末尾的0都不读，每一级的开头或中间无论有几个0，都读一个0；据此解答。
【解答】解：A.60000500读作：六千万零五百
B.60050000读作：六千零五万
C.6050000读作：六百零五万
D.60005000读作：六千万五千
读下面各数时，一个“零”都不读的是60005000。
故选：D。
【点评】此题考查了亿以内数的读写，要求学生掌握。
13．（2分）在如图梯形上沿直线剪一刀，使梯形变为两个图形，其中一个是平行四边形，那么另一个是（ ）
A．梯形B．三角形
C．平行四边形D．梯形或三角形
【考点】图形划分．
【专题】平面图形的认识与计算；空间观念．
【答案】D
【分析】过梯形上底一个顶点，沿一条腰的平行线剪，剪下的图形有一个平行四边形，一个三角形；过梯形上底一点，沿一条腰的平行线剪，剪下的图形有一个平行四边形和一个梯形；据此解答即可。
【解答】解：在下图的梯形上沿直线剪一刀，使梯形变为两个图形，其中一个是平行四边形，那么另一个是梯形或三角形。
故选：D。
【点评】图形的划分要结合原图的特征和划分的要求添加合适的线段。
14．（2分）因为101×8+2＝810，所以□÷□＝□……□。□里依次填（ ）
A．810、2、101、8B．810、2、8、101
C．810、8、101、2
【考点】有余数的除法．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】根据“被除数＝商×除数+余数”得出“被除数÷除数＝商……余数”据此解答即可。
【解答】解：因为101×8+2＝810，所以□÷□＝□……□。□里依次填810、8、101、2。
故选：C。
【点评】解答此题的关键是根据在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数四个量之间的关系。
15．（2分）李凯25小时走了83千米。照这样计算，他1小时能走（ ）千米。
A．203B．1615C．320D．1516
【考点】路程、时间与速度（速度＝路程÷时间）．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】A
【分析】根据速度＝路程÷时间，用83÷25解答。
【解答】解：83÷25
=83×52
=203（千米）
李凯25小时走了83千米。照这样计算，他1小时能走203千米。
故选：A。
【点评】利用速度、时间、路程三者的关系以及分数与分数除法的计算是解答本题的关键。
16．（2分）下列时间中，时针和分针的夹角成30度的角是（ ）
A．2时整B．8时整C．9时整D．11时整
【考点】钟面上的角；角的概念和表示．
【专题】综合判断题；质量、时间、人民币单位；平面图形的认识与计算；几何直观；应用意识．
【答案】D
【分析】钟面上每个时刻将钟面分成12份，每份对应的角度是（360÷12）°，看某个时刻分针与时针的夹角，则看相差多少个大格，从而可以求解。
【解答】解：A、2时整，时针和分针的夹角是：30×2＝60（度）；
B、8时整，时针和分针的夹角是：30×4＝120（度）
C、9时整，时针和分针的夹角是：30×3＝90（度）；
D、11时整，时针和分针的夹角是：30×1＝30（度）。
故选：D。
【点评】解答此题的关键是看钟面上12个时刻将钟面分成了12份，每份是30度，再看要求的是什么时刻，用大格数乘30度即可。
17．（2分）用42平方分米的布做每块400平方厘米的手帕，最多可以做（ ）块。
A．1B．10C．100
【考点】小面积单位间的进率及单位换算；有余数的除法应用题．
【专题】长度、面积、体积单位；简单应用题和一般复合应用题；数据分析观念．
【答案】B
【分析】先把42平方分米化成以平方厘米作单位的数，再求它里面有多少个400，据此解答。
【解答】解：42平方分米＝4200平方厘米
4200÷400＝10.5≈10（个）
答：最多可以做10个。
故选：B。
【点评】本题的关键是先统一单位，再根据除法的意义列式求解，注意本题要用“去尾法”取近似值。
三．计算题（共2小题，满分21分）
18．（8分）直接写出得数。
【考点】两位数除两、三位数；数的估算；两位数乘三位数．
【专题】运算能力．
【答案】30；9；8；8；6400；32000；3600；4800；14000；12000；20；9。
【分析】根据整数乘除法的计算方法以及估算的方法，直接进行口算即可。
【解答】解：
【点评】本题考查了简单的计算，计算时要细心，注意平时积累经验，提高计算的水平。
19．（13分）列竖式计算，带☆的要写出验算过程。
【考点】列竖式计算除法；两位数乘三位数；列竖式计算乘法；两位数除两、三位数．
【专题】运算能力．
【答案】①7728；②7700；③6120；④34；⑤20……8；⑥15……45。
【分析】根据两位数乘多位数、两位数除多位数的竖式计算方法，结合题意分析解答即可。
【解答】解：①322×24＝7728
②308×25＝7700
③360×17＝6120
④612÷18＝34
⑤708÷35＝20……8
⑥750÷47＝15……45
【点评】本题考查了两位数乘多位数、两位数除多位数的竖式计算方法，结合题意分析解答即可。注意计算要认真。
四．操作题（共2小题，满分6分，每小题3分）
20．（3分）用量角器分别画1个35°、130°的角。
【考点】画指定度数的角．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】
【分析】画一条射线，用量角器的圆点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器35°和130°的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可。
【解答】解：如图：
【点评】本题考查了学生用量角器作图的能力。
21．（3分）在方格纸上画一画。
（1）分别画出一个直角三角形、平行四边形和等腰梯形。
（2）分别作出、标出这些图形的底与高。
【考点】作梯形的高；作三角形的高；画指定面积的长方形、正方形、三角形；梯形的特征及分类．
【专题】几何直观．
【答案】（画法不唯一）
【分析】根据直角三角形、平行四边形和梯形的意义即可画出一个直角三角形、平行四边形和一个梯形；从直角三角形斜边所对的顶点向斜边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的三角形的高；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四形的高；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高。
【解答】解：作图如下：
（画法不唯一）
【点评】本题是考查画三角形、平行四边形和梯形、作三角形、平行四边形、梯形的高，注意：根据平行四边形及梯形的意义即可画出平行四边形的梯形；作高用虚线，并标出垂足。
五．解答题（共5小题，满分33分）
22．（9分）如图是湖南省近五年出生人数与死亡人数统计表。
（1）在统计图中画出关于出生人数的折线。
（2）当出生人数少于死亡人数时，就是人口负增长，湖南省从 2021 年开始出现人口负增长。
（3）湖南省近五年的出生人数呈 下降 趋势。
【考点】统计图表的填补；从统计图表中获取信息．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】（1）；
（2）2021；
（3）下降。
【分析】（1）依据统计表完成统计图；
（2）（3）依据统计图去解答。
【解答】解：（1）如图：
（2）当出生人数少于死亡人数时，就是人口负增长，湖南省从2021年开始出现人口负增长。
（3）湖南省近五年的出生人数呈下降趋势。
故答案为：2021；下降。
【点评】本题考查的是统计图表的应用。
23．（6分）周日小西和家人到滇池草海东岸的S湾彩虹步道骑行，步道总长137千米，小西平均每小时骑行18千米，他5小时能骑完全程吗？
【考点】简单的行程问题．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】不能。
【分析】根据“路程＝速度×时间”，求出路程，再与137比较，即可解答。
【解答】解：18×5＝90（千米）
90＜137
答：他5小时不能骑完全程。
【点评】本题考查的是行程问题，掌握“路程＝速度×时间”是解答关键。
24．（6分）超市里有一种饮料，每瓶售价5元，促销活动买4送1。王老师要买20瓶这种饮料，需要花多少钱？
【考点】带括号的四则混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】80元。
【分析】买4送1，花4瓶的钱数给5瓶，用20除以5求出买几个4瓶，然后乘4求出买的瓶数，然后再乘每瓶的钱数即可。
【解答】解：20÷（4+1）
＝20÷5
＝4（组）
4×4×5
＝16×50
＝80（元）
答：需要花80元。
【点评】本题关键是明确买4送1的含义，然后再根据整数乘除法的意义进行解答。
25．（6分）国庆期间，红红跟随爸爸妈妈去欣赏祖国美丽的自然风景，路过一片稻田时，红红被一望无际的田野吸引住了。通过与当地的老乡交谈，红红得知这片稻田呈长方形，长800米，宽600米。你知道这片稻田有多少公顷吗？如果每公顷施肥300千克，这片稻田一共施肥多少千克？
【考点】长方形、正方形的面积；大面积单位间的进率及单位换算．
【专题】几何直观；运算能力．
【答案】48公顷；14400千克。
【分析】根据长方形面积＝长×宽计算，结果再根据1公顷＝10000平方米，换算成“公顷”作单位，用稻田面积×每公顷施肥重量＝这片稻田一共施肥多少千克。
【解答】解：800×600＝480000（平方米）
根据1公顷＝10000平方米，可知480000平方米＝48公顷。
48×300＝14400（千克）
答：这片稻田有48公顷，一共施肥14400千克。
【点评】本题考查了长方形面积公式的应用，结合题意分析解答即可。
26．（6分）步步高超市有3种苹果的销售方式。
方式A：20千克一箱，每箱160元。
方式B：3千克一箱，每箱27元。
方式C：1千克一箱，每箱10元。
一家宾馆要买34千克这种苹果，怎样买最省钱？
【考点】最优化问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】方式A。
【分析】依据题意可知，分别计算三种方式需要付的钱，选择付钱少的方式。
【解答】解：方式A：34÷20＝1（箱）……14（千克）
1+1＝2（箱）
160×2＝320（元）
方式B：34÷3＝11（箱）……1（千克）
11+1＝12（箱）
27×12＝324（元）
方式C：34÷1＝34（箱）
34×10＝340（元）
320＜324＜340
答：方式A最省钱。
【点评】本题考查的是最优化问题的应用。
考点卡片
1．亿以内数比较大小
【知识点归纳】
亿以内数的大小比较的方法：
1、比较两个数的大小，先看两个数各是几位数。
2、位数不同时，位数多的数就大。
3、位数相同时，从最高位开始比起，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【方法总结】
位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【常考题型】
比较下面每组中两个数的大小。
92504〇103600 50140〇63140 28906〇28890
答案：＜；＜；＞
按照从小到大的顺序排列下面各数。
50500 500500 55000 40005
答案：40005＜50500＜55000＜500500
2．亿以内数的读写
【知识点归纳】
一、亿以内数的读法（含有两级的数的读法）
（1）读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。例如：（2496¦0000）
（2）先读万级，再读个级。
（3）万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
（4）每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。
二、亿以内数的写法（注意：一定要保证个级是四位数。）
（1）写数之前，先分级；
（2）先写万级，再写个级；
（3）哪个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0占位。
【常考题型】
1、一个数是由4个千万，3个十万，6个百和5个一组成的，这个数写作（ ），读作（ ）。
答案：40300605；四千零三十万零六百零五
2、2023年我国有12910000考生报名参加高考，比去年增加980000人，再创历史新高。横线上的两个数分别读作（ ）和（ ）。
答案：一千两百九十一万；九十八万
有一个七位数，它的最高位上的数字是6，万位上的数字是9，十位上的数字是2，其余个位上的数字都是0，这个数写作（ ），它是由6个（ ）、9个（ ）和2个（ ）组成的。
答案：6090020；百万；万；十
3．亿以内数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以内数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以内数的近似数的方法：
省略万位后面的尾数，要看千位上的数，如果千位上的数小于5，就舍去尾数；如果千位上的数等于或大于5，就向前一位进1，再舍去尾数。这种方法叫“四舍五入”法。
2、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、新疆的塔卡拉玛干沙漠是我国最大的沙漠，它的面积大约为320000平方干米。横线上的数字改写成以“万”为单位的数是（ ）。
A、32万
B、320万
C、3200万
答案：A
2、将一个数改写成以“万”为单位的数是413万，那么这个数原来是（ ）。
A、413000
B、4130000
C、41300000
答案：B
3、摩纳哥是一个位于欧洲地中海沿岸的“袖珍国家”，国土面积狭小，却页是世界上人口密度最大的国家，每平方千米大约有14700人，省略万位后面的尾数大约是（ ）万人。
A、1万
B、2万
C、14万
答案：A
4．亿以上的数比较大小
【知识点归纳】
比较数的大小：
①位数不同的两个数，位数多的那个数大，位数少的那个数小。
②位数相同的两个数，从最高位开始比较，最高位大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，直至比较出大小。
【方法总结】
位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【常考题型】
比较大小，用＜号连接。
166101600 56003400 7002190 970968 56004300
答案：（970968）＜（7002190）＜（56003400）＜（56004300）＜（166101600）
5．亿以上数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以上数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、改写。（4个0换一个“万”字，将整万的数改写成以“万”作单位的数；8个0换一个“亿”字，将整亿的数改写成以“亿”作单位的数。）
3000000＝（ ）万
8230000＝（ ）万
1200000000＝（ ）亿
50700000000＝（ ）亿
答案：300；823；12；507
6．两位数乘三位数
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的方法：先用一个因数的个位与另一个因数的每一位依次相乘，再用这个因数的十位与另一个因数的每一位依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，哪一位满十就向前一位进“1”，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。中间有0时，这个0要参加运算。
【方法总结】
因数是两、三位数的乘法的估算方法：先把两个因数的最高位后面的尾数省略，求出近似数，再把这两个近似数相乘。
2、三位数乘两位数的笔算
①先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐，最后把两次乘得的积相加。
②计算因数中间有0的三位数乘两位数，中间的0也要参与计算，计算方法同三位数乘两位数的笔算方法。
③末尾有0的两个因数相乘时，我们可以先把0前面的数相乘，然后再数两个因数的末尾一共有几个0就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
谷子每袋23元，要买114袋谷子，需要花多少钱？
答案：114×23＝2622（元）
从北京到济南每张火车票195元，一个旅游团有28人，准备6000元买火车票够吗？
答案：195×28＝5460（元）
5460元＜6000元
答：准备6000元买火车票够。
7．列竖式计算乘法
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的计算方法：列竖式计算三位数乘两位数时，相同数位对齐，先用两位数个位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十，就向前一位进几，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十就向前一位进几，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积相加，相加时，哪一位满几十同样向前一位进几。
【方法总结】
1、乘数中间或末尾有0的三位数乘两位数的计算方法。
（1）乘数中间有0时，这个0也要乘；与0相乘时，如果有进位数一定要加上进位数，如果没有进位数，就写0占位。
（2）乘数末尾有0时，可以先把0前面的数相乘，再看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
1、计算16×300时，可以先算（ ），再在积的末尾添（ ）。
答案：16×3；两个0
2、12的103倍是（ ），31个200是（ ）。
答案：1236；6200
8．一位数除多位数
【知识点归纳】
一位数除多位数
（1）相同数位对齐，从最高位除起，除到哪一位就把商写在那一位的上面。如果被除数最高位比除数小就要看被除数的前两位，除到哪一位就把商写在那一位的上面。每次除得的余数必须比除数小。
（2）0除以任何不是0的数都得零。
（3）除到哪一位不够除就添0占位。
（4）看清运算顺序，算式里只有乘除法，按从左到右的顺序进行计算，要是有括号要先算括号里的。
【方法总结】
笔算除法顺序：确定商的位数，试商，检查，验算。
（1）一位数除两位数（商是两位数）的笔算方法：先用一位数除十位上的数，如果有余数，要把余数和个位上的数合起来，再用除数去除。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。
（2）一位数除三位数的笔算方法：先从被除数的最高位除起，如果最高位不够商1，就看前两位，而除到被除数的哪一位，就要把商写在那一位上，假如不够商1，就在这一位商0；每次除得的余数都要比除数小，再把被除数上的数落下来和余数合起来，再继续除。
（3）除法的验算方法：
没有余数的除法的验算方法：商×除数：被除数；
有余数的除法的验算方法：商×除数+余数＝被除数。
【常考题型】
1、用竖式计算。
答案：284；94；37；87……1
2、要使□36÷5的商是三位数，□内可以填的数是（ ）；要使□36÷5的商是两位数，□内可以填的数是（ ）。
答案：5、6、7、8、9；1、2、3、4。
9．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
10．路程、时间与速度（速度＝路程÷时间）
【知识点归纳】
1.、速度：指单位时间内所行的路程。
因为速度＝路程÷时间，所以速度的单位名称是路程单位/时间单位，即千米/时，米/分，米/秒，千米/分……
2、路程、时间与速度的关系：
（1）已知路程和时间，求速度：速度＝路程÷时间；
（2）已知路程和速度，求时间：时间＝路程÷速度；
（3）已知速度和时间，求路程：路程＝速度×时间。
在路程、时间和速度三个量中，知道其中的任何两个量，都能求出第三个量。
【方法总结】
1、路程、时间和速度之间的关系：
路程＝速度×时间
时间＝路程÷速度
速度＝路程÷时间
2、讲出意义并能比较速度的快慢：
如：4千米/时
12千米/分
340米/秒
30万千米/秒
【常考题型】
汽车3小时行驶270千米，照这样计算，行驶450千米，需要多少小时？
答案：450÷（270÷3）＝5（小时）
2、小红家距离车站800米，她10分钟走到车站，每分钟她走多少米？
答案：800÷10＝80（米/分）
11．有余数的除法
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：在除法算式m÷n＝a…b中，（n≠0），下面式子正确的是（ ）
A、a＞nB、n＞aC、n＞b
分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数；由此解答即可．
解：根据有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数，
所以：n＞b；
故选：C．
点评：解答此题的关键：应明确在有余数的除法中，余数总比除数小．
例2：31÷7＝4…3，如果被除数、除数都扩大10倍，那么它的结果是（ ）
A、商4余3 B、商40余3 C、商40余30 D、商4余30
分析：根据商不变的性质，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，但是在有余数的除数算式中，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，余数也会扩大或缩小相同的倍数．
解：31÷7＝4…3，
310÷70＝4…30，
所以当被除数、除数同时扩大10倍，商不变，余数也会扩大10倍．
故选：D．
点评：此题主要考查的是商不变的性质在有余数的除法算式中的应用．
12．列竖式计算除法
1.除法用竖式计算时，从被除数最高位开始除起，如若除不了，那么就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。
2.列竖式的过程中要把位数对齐。
3.除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商。
4.每次除后余下的数必须比除数小。
13．带括号的四则混合运算
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1.含有小括号的混合运算的运算顺序：
要先算小括号里面的，再算小括号外面的；小括号里面的，要先算乘、除法，再算加、减法。
2.含有中括号的三步混合运算的运算顺序：
在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
【常考题型】
填一填。
计算（230+48）÷（200﹣61）时，应先算（ ）法和（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
计算888÷[200﹣（40+50）]时，应先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
先说一说下面各题的运算顺序，再计算。
360÷（70﹣4×16）158﹣[（27+54）÷9]
答案：乘法﹣减法﹣除法，60；
加法﹣除法﹣减法，149
14．数的估算
【知识点解释】
没有经过准确计算，是对计算结果的一种估计，叫做估算．
估算方法：
①四舍五入法：
例：π（保留两位小数）≈3.14
②进一法：
例：一支笔2.6元，四支需多少钱（保留到整数）
解：2.6×4＝10.4元≈11元
如果四舍五入的话是10元，是不够的，所以是要进上去的
③去尾法：
例：有20元，买3元一支的笔，可卖多少支？
解：20÷3＝6.6666…支≈6支
如果四舍五入是7支，买不到，所以是要去掉的．
【命题方向】
常考题型：
例：估计与288.9×1.756的积最接近的数是（ ）
A、400 B、500 C、600 D、1000
分析：根据小数乘法的估算方法：把相乘的因数看成最接近它的整数来算；288.9≈290，1.756≈1.8，所以与288.9×1.756的积最接近的数是290×1.8≈500，据此选择即可．
解：因为288.9×1.756≈290×1.8≈500，
所以与288.9×1.756的积最接近的数是500．
故选：B．
点评：此题考查了小数乘法的估算方法，注意把相乘的数看成最接近它的整数．
15．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
16．有余数的除法应用题
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：一根绳子长17米，剪8米做一根长跳绳，剩下的每2米做一根短跳绳，最多做几条短跳绳？
分析：先用17﹣8求出还剩下多少米，然后根据除法的意义，即可求出结果．
解：（17﹣8）÷2，
＝9÷2，
＝4（条）…1米；
答：最多做4条短跳绳．
点评：解答此题要认真分析题意，联系生活实际，剩了1米，不能再做1条绳．
例2：3位老师带着62位学生去郊游．每顶帐篷最多只能住6人．至少要搭多少顶帐篷？
分析：先用“62+3”求出总人数，求至少要搭多少顶帐篷，即求65里面含有几个6，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
解：（62+3）÷6＝10（顶）…5（人），
至少需：10+1＝11（顶）；
答：至少要搭11顶帐篷．
点评：解答此题用的知识点：根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
17．角的概念和表示
【知识点归纳】
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
注意：由角的定义可知：
（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2）顶点是这两条边的交点；
（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.
（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
角的表示方法：
（1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A
【命题方向】
常考题型：
1.从一点引出两条______所组成的图形叫做角，角的计量单位用_______来表示。
答案：射线，度。
2.组成角的两条边是两条（ ）
A．线段B．射线C．直线
答案：B
18．垂直与平行的特征及性质
【知识点归纳】
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（ ）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线． × ．（）
分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
19．梯形的特征及分类
【知识点归纳】
1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．
2．分类：
（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形
（3）一般梯形．
【命题方向】
常考题型：
例1：只有一组对边平行的四边形是（ ）
A、三角形 B、长方形 C、平行四边形 D、梯形
分析：根据梯形的定义可知：只有一组对边平行的四边形是梯形，由此即可选择．
解：只有一组对边平行的四边形是梯形，
故选：D．
点评：此题考查了梯形的定义．
例2：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成（ ）
A、平行四边形 B、长方形 C、三角形
分析：两个完全一样的直角梯形，可以拼成平行四边形和长方形，但不能拼成三角形；据此解答．
解：由分析可知：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成三角形；
故选：C．
点评：结合题意，根据完全一样的两个直角三角形拼组的特点，即可得出结论．
20．作梯形的高
【知识点归纳】
高是指梯形上下底的距离，在梯形的上底的任取一个端点作垂直于下底的线段，称为作高．
【命题方向】
常考题型：
例：给下面的梯形作高，并量出有关线段的长度，再求出面积．
分析：先作出高，再分别量出上底、下底和高的具体数值，代入梯形面积公式即可求解．
解：如图所示，
，
梯形面积：（1.8+5）×1.6÷2＝5.44（平方厘米）．
答：梯形的面积是5.44平方厘米．
点评：此题主要考查梯形高的画法及面积公式．
21．作三角形的高
【知识点归纳】
1．锐角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高
2．直角：就是直角边，另外一条同上做法钝角：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点的垂足之间的线段，就是三角形的高，不过有两条的对边需要延长．
3．方法：
（1）找到顶点和对应的边
（2）在对应边上放一把三角尺 三角尺和这条变保持垂直，然后移动三角尺，三角尺的另一边喝顶点重合时就链接顶点和三角尺直角和对应边的重合点．
【命题方向】
常考题型：
例：画出下列三角形指定底的高．
分析：根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可．
解：作图如下：
点评：此题主要考查三角形高的意义和高的画法．根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，画出已知底边上的高即可．
22．小面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米
1平方分米＝100平方厘米
1平方千米＝100公顷＝10000公亩＝1000000平方米
1公顷＝100公亩＝10000平方米
1公亩＝100平方米．
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
有三块铁皮，面积分别是9平方分米、90平方分米和900平方分米，哪块铁皮的面积最接近1平方米？（ ）
A、9平方分米 B、90平方分米 C、900平方分米
分析：先分别把9平方分米、90平方分米和900平方分米换算成平方米数，再比较得解．
解：因为9平方分米＝0.09平方米，
90平方分米＝0.9平方米，
900平方分米＝9平方米；
所以0.9平方米，也即90平方分米的这块铁皮的面积最接近1平方米；
故选：B．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
23．大面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方千米＝100公顷＝1000000平方米
1公顷＝10000平方米
【命题方向】
常考题型：
边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
24．画指定度数的角
【知识点归纳】
三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．
【命题方向】
常考题型：
例1：画一个120°的角．
分析：画一个120°的角可据以下步骤进行：
（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；
（2）在量角器120°角刻度线的地方点一个点；
（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个120°的角．
解：根据角的画法，作图如下：
点评：本题考查了学生根据所给度数利用作图工具画角的动手能力．
例2：用一副三角板画一个105°的角．
分析：显然从两个三角板中，将一个等于45°的角，再加上另一个三角板中等于60°的角，即可得到105°的角．
解：让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如下图所示，
45°+60°＝105°；
．
点评：本题考查了三角板的角的度数、角的计算、角的拼图、画角的方法，较为简单，熟练掌握三角板各角的度数是解答本题的关键．
25．线段与角的综合
【知识点归纳】
1、直线、线段、射线的概念，线段中点的概念及应用
2、角平分线、线段的垂直平分线、平行线的性质
3、余角、补角、邻补角的概念，进行角度换算
4、平行线的概念、性质及判定，两点之间的距离，点到直线的距离．
【命题方向】
常考题型：
例：图中，已知∠1＝30°，那么∠2＝ 150° ，∠3＝ 30° ，∠4＝ 60° ．
分析：从图上看：
①∠1和∠2合起来是平角，即为180°，即可求得∠2的度数；
②∠3和∠2合起来是平角，即为180°，即可求得∠3的度数．
③∠1和∠4合起来是个直角，即为：∠1+∠4＝90°，根据∠1＝30°即可求得∠4；
解：
①∠1+∠2＝180°
∠1＝30°
∠2＝180°﹣30°
∠2＝150°
②∠3+∠2＝180°
∠2＝150°
∠3＝180°﹣150°
∠3＝30°
③∠1+∠4＝90°
∠1＝30°
∠4＝90°﹣30°
∠4＝60°
故答案为：150°，30°，60°．
点评：本题考查平角和直角的概念，关键是从图中看到哪些角的和是90度，哪些角的和是180度．
26．钟面上的角
【知识点归纳】钟面上一共有12个大格，每一个大格包含5个小格。由分针一小时走12个大格，时针一小时走1个大格，可以得出，分针的速度是时针的12倍。
①用格数表示
分针一分钟走1个小格，时针走1/12个小格。
②用角度表示
分针一分钟旋转6°，时针一分钟旋转0.5°。
【常考题型】
1.3时整，时针与分针形成的角是______；6时半，时针与分针形成的角是_______。
分析：时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。3时整，时针和分针之间有3个大格，则时针和分针的夹角是3×30°。6时半，时针和分针之间有半个大格，则时针和分针的夹角是30°÷2。再判断这两个角的类型。
解：3×30°＝90°
30°÷2＝15°
3时整，时针与分针形成的角是直角；6时半，时针与分针形成的角是锐角。
故答案为：直；锐。
2.钟面上10时35分时，时针与分针的夹角（小于180°的）是多少度？
分析：在钟表上每个大格对应的夹角是30度，10时30分时，时针与分针相差4.5个大格，即30×4.5＝135（度），时针每分钟旋转0.5度，分针每分钟旋转6度，然后求出从10时30分开始，再过5分钟时针与分针旋转的角度即可。
解：30×4.5＝135（度）
0.5×5＝2.5（度）
6×5＝30（度）
135+2.5﹣30＝107.5（度）
答：钟面上10时35分时，时针与分针的夹角（小于180°）的度数是107.5°。
27．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
28．画指定面积的长方形、正方形、三角形
【知识点归纳】
在方格中最简单的就是数格子个数，占的格子一样多就面积一样多．正方形的形状是固定的，而长方形和三角形只需要面积相等就可以了．
【命题方向】
常考题型：
例：在如图中分别画出和长方形面积相等的平行四边形、三角形、梯形各一个．
分析：根据题意，图中阴影部分为长方形，长方形的面积为6平方厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2确定各个图形的边长或底、高，然后再进行作图即可得到答案．
解：面积为6的平行四边形的底为3厘米，高为2厘米，
三角形的底为6厘米，高为2厘米，
梯形的下底为4厘米，上底为2厘米，高为2厘米，
作图如下：
点评：解答此题的关键是熟练掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式，然后再确定各个图形的边长或底、高，最后进行作图即可．
29．统计图表的填补
【知识点归纳】
1．读懂统计图或者表．
2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：乐乐记录了爸爸妈妈两个月的电话费支出情况．
【分析】（1）运用爸爸1、2月份的总钱数减去1月份的话费即可得到2月份的话费．把妈妈1、2月份的钱数相加即可得到总钱数．
（2）把爸爸、妈妈1月份的话费相加即可得到合计，把爸爸、妈妈2月份的话费相加即可得到合计，然后再把两次的合计加在一起即可得到总合计．
解：（1）61.0﹣30.2＝30.8（元）
26.7+20.4＝47.1（元）
（2）30.2+26.7＝56.9（元）
30.8+20.4＝51.2（元）
56.9+51.2＝108.1（元）
【点评】此题主要依据加法及减法的意义解决实际问题．
30．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
31．积的变化规律
【知识点归纳】
积的变化规律：
（1）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个数．
（2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变．
【命题方向】
常考题型：
例：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于（ ）
A、原来的积乘10 B、原来的积乘20 C、原来的积乘100
分析：根据积的变比规律：一个因数乘10，另一个因数也乘10，原来的积就乘10×10．据此进行选择即可．
解：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于原来的积乘100．
故选：C．
点评：此题考查积的变化规律的运用：一个因数乘（或除以）10，另一个因数也乘（或除以）10，原来的积就乘（或除以）100．
32．商的变化规律
【知识点归纳】
商的变化规律：
①除数不变，被除数乘（除以）一个数，商也乘（除以）同一个数；
②被除数不变，除数乘（除以）一个数，商除以（乘）同一个数；
③被除数和除数同时乘（除以）同一个数，商不变．
33．沏茶问题
【知识点归纳】
【命题方向】
常考题型：
例1：小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟
A、21 B、25 C、26 D、41
分析：用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，可节约6+10＝16分钟，所以做完这件事至少需要20+5＝25分钟
解：根据题干分析，可设计如下工序：
20+5＝25（分钟），
故选：B．
点评：此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答．
34．最优化问题
【知识点归纳】
最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析．
最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举．
【命题方向】
常考题型：
例1：星期日，红红想帮奶奶做下面的事情：用全自动洗衣机洗衣服30分，扫地擦地15分，洗菜8分，经过合理安排，做完这些事情至少要（ ）分．
A、45 B、38 C、30
分析：根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，据此即可解答问题．
解：根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，
所以最小需要30分钟即可完成．
故选：C．
点评：较大此类问题要奔着各项工作不相互冲突，又能节约时间的思想设计工作程序．
经典题型：
例2：汽水买5送1，某班30名同学秋游路上想买水喝，只需要买（ ）瓶汽水．
A、30 B、25 C、28 D、24
分析：根据“买5送1”可知买5瓶实际得到6瓶，30名同学可以买（30÷6）5个5瓶，送1×5＝5瓶，所以只买：30﹣5＝25瓶，据此解答．
解：30﹣1×[30÷（5+1）]，
＝30﹣5，
＝25（瓶）；
答：只需要买25汽水．
故选：B．
点评：本题关键是求出买30瓶能送几瓶汽水．
35．图形划分
【知识点归纳】
可以按图形的形状、颜色分类、曲面图形来分，几何图形即从实物中抽象出的各种图形，可帮助人们有效的刻画错综复杂的世界，几何源于西文西方的测地术。小学阶段所涉及到的规则图形一般有圆，三角形，正方形，长方形，平行四边形，梯形和正多边形，其他图形一般称之为不规则图形，不规则图形往往是由规则图形拼凑而成。
【命题方向】
常考题型：
1.下面这个图形被划分成了三个相同的部分，你能把它划分成四个相同的部分吗？试试看，并给它们涂上不同的颜色。
解：如图：
2.添加一条直线使如图的图形划分为一个三角形和一个梯形．

8亿 99999999
540÷6 5400÷600
960÷40÷8 960÷48
25×800 80×250
8公顷50平方米 85000平方米
7□3÷85 826÷7□
900÷30＝
180÷20＝
200÷25＝
480÷60＝
320×20＝
400×80＝
12×300＝
24×200＝
695×21≈
401×29≈
398÷20≈
450÷49≈
①322×24＝
②308×25＝
③360×17＝
④612÷18＝
⑤708÷35＝
☆⑥750÷47＝
年份
2019
202
2021
2022
2023
出生人数/万人
71.8
56.6
47.3
41.2
39.5
死亡人数/万人
50.3
52.6
54.9
56.5
59.8
题号
12
13
14
15
16
17
答案
D
D
C
A
D
B
8亿 ＞ 99999999
540÷6 ＞ 5400÷600
960÷40÷8 ＜ 960÷48
25×800 ＝ 80×250
8公顷50平方米 ＜ 85000平方米
7□3÷85 ＜ 826÷7□
900÷30＝
180÷20＝
200÷25＝
480÷60＝
320×20＝
400×80＝
12×300＝
24×200＝
695×21≈
401×29≈
398÷20≈
450÷49≈
900÷30＝30
180÷20＝9
200÷25＝8
480÷60＝8
320×20＝6400
400×80＝32000
12×300＝3600
24×200＝4800
695×21≈14000
401×29≈12000
398÷20≈20
450÷49≈9
①322×24＝
②308×25＝
③360×17＝
④612÷18＝
⑤708÷35＝
☆⑥750÷47＝
年份
2019
202
2021
2022
2023
出生人数/万人
71.8
56.6
47.3
41.2
39.5
死亡人数/万人
50.3
52.6
54.9
56.5
59.8
568÷2＝
376÷4＝
185÷5＝
697÷8＝
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
合计
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
30.8
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
47.1
合计
56.9元
51.2元
108.1元