2025-2026学年上学期广州小学数学四年级期末典型卷1

这是一份2025-2026学年上学期广州小学数学四年级期末典型卷1，共59页。试卷主要包含了下列说法中正确的是，下列说法，错误的是，两个锐角拼在一起，拼成的角，如图，这个梯形的周长是厘米等内容，欢迎下载使用。
1．下列说法中正确的是（ ）
A．自然数都比0大。B．10个十亿是一千亿。
C．2既是偶数也是质数。
2．下面图形中，既有互相平行又有互相垂直线段的图形是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列说法，错误的是（ ）
A．折叠电动门是运用了平行四边形易变形的特点。
B．将一个数的小数点向右移动两位，这个数就比原数多了100倍。
C．正五边形、圆形都不能密铺。
D．小明比小青高14，就是小青比小明矮15。
4．500550005000中从左数起，第二个“5”表示（ ）
A．5个亿B．5个千万C．5个百万
5．哪道算式与896÷4÷2得数不相等？（ ）
A．896÷8B．896÷6C．896÷2÷4
6．如图，四边形ABCD是一个平行四边形。下列的说法中，正确的是（ ）
A．四边形AEFG是一个梯形
B．四边形ADCG是一个等腰梯形
C．四边形AECG是一个直角梯形
D．四边形GFCB是一个平行四边形
7．两个锐角拼在一起，拼成的角（ ）
A．一定是直角
B．一定是钝角
C．可能是锐角、直角、钝角
8．如图，这个梯形的周长是（ ）厘米。
A．19B．10C．16
9．在用计算器计算的过程中，发现已经输入的数据不正确，可按（ ）
A．OFFB．ACC．MRD．M+
10．30个小朋友手拉手围成一个正方形，面积大约是100平方米，那么（ ）个这样的正方形面积大约是1公顷。
A．10B．100C．1000
二．填空题（共9小题）
11．8公顷＝ 平方米
3600000公顷＝ 平方千米
12．（1）8000640读作： ；
（2）5000002700读作： 。
13．2024年辽宁举办的首届中国（辽宁）网红经济合作交流活动周期间，辽宁产品实现网络零售3250000000元。3250000000读作： ，其中的“3”表示3个 ，改写成以“万”为单位的数是 ，四舍五入到亿位大约是 。
14．元旦前夕，学校举行了庆祝元旦的联欢活动，下午1时准时开始，这时钟面上的时针和分针形成的角是 角；到下午4时准时结束，时针从下午1时到4时转过的角是 角。
15．观察下图，算一算。
∠1＝ °；
∠2＝ °。
16．在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
4560345 4560435
2平方千米 198公顷
150×50 300×25
17．□÷56＝12……□，余数最大是（ ）；被除数最小是（ ）。
18．最小的两位数和最小的三位数相乘，积是（ ）。
19．全班同学都用下面的四根小棒摆一个平行四边形，他们摆出的平行四边形的形状 是一样的。（请选填：一定、不一定）
三．操作题（共5小题）
20．以A点为顶点画一个120°的角，并在角的一边上截一条2cm长的线段。
A•
21．过点A分别画出线段MN的垂线和线段MF的平行线。
22．量角。
23．画出下面图形的任意一条高。
24．芳芳在课余时间调查了三（2）班36名同学在合唱组、科技组、美术组、舞蹈组4个兴趣小组的报名情况，统计过程中，芳芳按顺序用A、B、C、D代替。结果如下：
①请将三（2）班同学在兴趣小组报名调查结果进行整理。
三（2）班同学兴趣小组报名情况统计表
②根据统计结果，你知道了什么？
四．计算题（共2小题）
25．直接写出得数。
26．用竖式计算。
五．应用题（共5小题）
27．明明收集了196枚邮票，每48枚插一页，一共能插满几页？还剩几枚？
28．2023年宜宾市“五一”假期共接待游客约99万人次，通过提升旅游品牌形象，2024年宜宾市“五一”假期接待的游客人数比2023年的2倍少13万人次，2024年宜宾市“五一”假期共接待游客多少万人次？
29．一块长方形草坪，宽5米，面积是65平方米，现在长方形草坪的长不变，宽增加到40米，增加后的草坪面积是多少平方米？（要求应用积的变化规律解决问题）
30．妈妈和小红每天晚饭后要进行走路锻炼。有一天，妈妈和小红一起从家出发，走到距家2000米的小湖边，妈妈每分钟走了80米，小红每分钟走65米，当妈妈走到小湖边时，小红距小湖边还有多少米？
31．疫情期间，张叔叔开货车运送蔬菜，已知4小时行260千米。照这样计算，这辆货车12小时能行多少千米？
2025-2026学年上学期广州小学数学四年级期末典型卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题）
1．下列说法中正确的是（ ）
A．自然数都比0大。B．10个十亿是一千亿。
C．2既是偶数也是质数。
【考点】自然数的认识；奇数与偶数的初步认识；合数与质数的初步认识．
【专题】整数的认识；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据自然数的意义（包括0和正整数）；10个十亿是一百亿；2是最小的质数，也是偶数。
【解答】解：A.最小的自然数0，原题说法错误；
B.10个十亿是一百亿，原题说法错误；
C.2既是偶数也是质数，原题说法正确。
故选：C。
【点评】本题考查了自然数的认识及整数计数单位间的进率。
2．下面图形中，既有互相平行又有互相垂直线段的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】垂直与平行的特征及性质．
【专题】空间观念．
【答案】B
【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线；同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此分析每个选项的图形选出符合题意的即可。
【解答】解：根据平行和互相垂直的意义可知：
A．有互相垂直的线段，没有互相平行的线段；
B．既有互相平行又有互相垂直的线段；
C．只有互相平行的线段，没有互相垂直的线段；
D．只有互相平行的线段，没有互相垂直的线段。
答：既有互相平行又有互相垂直线段的图形是。
故选：B。
【点评】此题考查了垂直和平行的意义和特征。
3．下列说法，错误的是（ ）
A．折叠电动门是运用了平行四边形易变形的特点。
B．将一个数的小数点向右移动两位，这个数就比原数多了100倍。
C．正五边形、圆形都不能密铺。
D．小明比小青高14，就是小青比小明矮15。
【考点】平行四边形的不稳定性；图形的密铺；分数的意义和读写；小数点位置的移动与小数大小的变化规律．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】B
【分析】平行四边形具有不稳定特性；
小数点向右移动一位，原数就扩大到原来的10倍；小数点向右移动两位，原数就扩大到原来的100倍；小数点向右移动三位，原数就扩大到原来的1000倍；依此类推．按此规律，小数点向右移动n位，则原小数就扩大到原来的10n倍；
正五边形、圆形都不能密铺；
小青占4份，那么小明占（4+1）份，根据求一个数比另一个数多几分之几，少几分之几的数是多少进行解答。
【解答】解：折叠电动门是运用了平行四边形易变形的特点，说法正确；
将一个数的小数点向右移动两位，这个数就是原数100倍，原题说法错误；
正五边形、圆形都不能密铺，说法正确；
小明比小青高14，就是小青比小明矮15，说法正确。
故选：B。
【点评】本题考查了平行四边形的特性、图形的密铺及小数点移动的规律和分数的意义。
4．500550005000中从左数起，第二个“5”表示（ ）
A．5个亿B．5个千万C．5个百万
【考点】亿以上的数位和组成．
【专题】综合判断题；应用意识．
【答案】A
【分析】数位顺序表从右往左依次为：个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位、千亿位。计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……都是计数单位，每相邻两个单位间的进率都是10。500550005000中从左数起，第二个“5”在亿位，表示5个亿。以此答题即可。
【解答】解：500550005000中从左数起，第二个“5”表示5个亿。
故选：A。
【点评】本题考查的主要内容是亿以上数的组成问题。
5．哪道算式与896÷4÷2得数不相等？（ ）
A．896÷8B．896÷6C．896÷2÷4
【考点】整数除法的性质及简便运算．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】B
【分析】根据除法的性质和带符号搬家的方法进行简便计算。
【解答】解：896÷4÷2＝896÷2÷4＝896÷（4×2）＝896÷8，A、C不符合题意，B符合题意。
故选：B。
【点评】这个题目实际考查了一个除法的常用性质，a÷b÷c＝a÷（b×c），使用这个性质，可以巧妙的进行除法的简便计算。
6．如图，四边形ABCD是一个平行四边形。下列的说法中，正确的是（ ）
A．四边形AEFG是一个梯形
B．四边形ADCG是一个等腰梯形
C．四边形AECG是一个直角梯形
D．四边形GFCB是一个平行四边形
【考点】梯形的特征及分类；四边形的特点、分类及识别；平行四边形的特征及性质．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】C
【分析】A.根据图意可知，四边形AEFG有两组对边分别平行，且有四个直角，所以是一个长方形；
B.四边形ADCG有一组对边平行，所以是一个梯形；
C.四边形AECG中有一个直角，是梯形，所以是一个直角梯形；
D.四边形GFCB只有一组对边平行，不能判定是一个平行四边形，据此解答即可。
【解答】解：A.根据图意可知，四边形AEFG有两组对边分别平行，且有四个直角，所以是一个长方形；
B.四边形ADCG有一组对边平行，所以是一个梯形；
C.四边形AECG中有一个直角，是梯形，所以是一个直角梯形；
D.四边形GFCB只有一组对边平行，不能判定是一个平行四边形。
所以本题只有C选项正确。
故选：C。
【点评】本题考查的是图形特征的运用，灵活运用所学的知识是解答本题的关键。
7．两个锐角拼在一起，拼成的角（ ）
A．一定是直角
B．一定是钝角
C．可能是锐角、直角、钝角
【考点】角的分类（锐角直角钝角）；图形的拼组；角的概念和表示．
【专题】数据分析观念．
【答案】C
【分析】锐角大于0度小于90度，因此两个锐角拼在一起，可以拼成一个锐角或一个直角或一个钝角，不可能拼成一个平角，据此选择。
【解答】解：两个锐角拼在一起，可以拼成一个锐角或一个直角或一个钝角，不可能拼成一个平角。
故选：C。
【点评】本题考查角的分类及锐角、直角、钝角的特征。
8．如图，这个梯形的周长是（ ）厘米。
A．19B．10C．16
【考点】梯形的周长．
【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．
【答案】C
【分析】根据直角三角形的底角是45°，那么这个直角三角形是等腰直角三角形，再根据正方形四条边相等，求出梯形下底的长度，再根据梯形周长＝四条边的和，即可解答。
【解答】解：3+3+（3+3）+4
＝6+6+4
＝16（厘米）
答：这个梯形的周长是16厘米。
故选：C。
【点评】本题考查的是梯形的周长，求出梯形下底的长度是解答关键。
9．在用计算器计算的过程中，发现已经输入的数据不正确，可按（ ）
A．OFFB．ACC．MRD．M+
【考点】计算器与复杂的运算．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】分析需要明确计算器各按键的功能，从而判断在输入数据不正确时应按的按键。
【解答】解：在用计算器计算的过程中，发现已经输入的数据不正确，可按AC键。
故选：B。
【点评】本题考查计算器按键功能的认识。
10．30个小朋友手拉手围成一个正方形，面积大约是100平方米，那么（ ）个这样的正方形面积大约是1公顷。
A．10B．100C．1000
【考点】长方形、正方形的面积；大面积单位间的进率及单位换算．
【专题】计算题；应用意识．
【答案】B
【分析】求10000平方米里面有多少个100平方米，用除法列式计算即可。
【解答】解：1公顷＝10000平方米
10000÷100＝100（个）
故选：B。
【点评】本题是一道有关面积单位的认识、进率及换算、一位数除两、三位数的题目。
二．填空题（共9小题）
11．8公顷＝ 80000 平方米
3600000公顷＝ 36000 平方千米
【考点】大面积单位间的进率及单位换算．
【专题】综合填空题；应用意识．
【答案】80000；36000。
【分析】1公顷＝10000平方米，在8公顷末尾添上4个0即可换算成平方米为单位；1平方千米＝100公顷，去掉3600000公顷末尾的2个0即可换算成平方千米为单位，据此填空即可。
【解答】解：8公顷＝80000平方米
3600000公顷＝36000平方千米
故答案为：80000；36000。
【点评】单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。
12．（1）8000640读作： 八百万零六百四十 ；
（2）5000002700读作： 五十亿两千七百 。
【考点】亿以上数的读写；亿以内数的读写．
【专题】应用意识．
【答案】八百万零六百四十；五十亿两千七百。
【分析】根据万以内数的读法：从高位到低位，按照数位顺序读，末尾的0都不读出来，其它数位连续几个0都只读一个零。
【解答】解：（1）8000640读作：八百万零六百四十；
（2）5000002700读作：五十亿两千七百。
故答案为：八百万零六百四十；五十亿两千七百。
【点评】本题是考查整数的读，借助数位表读能较好地避免读错数的情况。
13．2024年辽宁举办的首届中国（辽宁）网红经济合作交流活动周期间，辽宁产品实现网络零售3250000000元。3250000000读作： 三十二亿五千万 ，其中的“3”表示3个 十亿 ，改写成以“万”为单位的数是 325000万 ，四舍五入到亿位大约是 33亿 。
【考点】亿以上数的读写；亿以上数的改写与近似．
【专题】数感．
【答案】三十二亿五千万，十亿，325000万，33亿。
【分析】根据整数的读法：从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0；
根据数位顺序表：从右向左依次为：个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位……；其计数单位分别是个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿……；哪一位上的数字是几就表示有几个相应的计数单位，据此解答；
改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；
四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。
【解答】解：3250000000读作：三十二亿五千万，其中的“3”表示3个十亿，3250000000＝325000万，3250000000≈33亿。
故答案为：三十二亿五千万，十亿，325000万，33亿。
【点评】本题主要考查整数的读法、改写和求近似数，分级读即可快速、正确地读出此数，改写和求近似数时要注意带计数单位。
14．元旦前夕，学校举行了庆祝元旦的联欢活动，下午1时准时开始，这时钟面上的时针和分针形成的角是 锐 角；到下午4时准时结束，时针从下午1时到4时转过的角是 直 角。
【考点】角的概念和表示；角的度量．
【专题】几何直观．
【答案】锐，直。
【分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；当钟面上1时整，时针指着1，分针指12，时针与分针之间有1个大格是30°，是锐角；时针从下午1时到4时转过的角，时针转了3个整大格，即转过的角是直角；由此解答即可。
【解答】解：元旦前夕，学校举行了庆祝元旦的联欢活动，下午1时准时开始，这时钟面上的时针和分针形成的角是锐角；到下午4时准时结束，时针从下午1时到4时转过的角是直角。
故答案为：锐，直。
【点评】解答此题应结合题意，根据角的概念和分类进行解答。
15．观察下图，算一算。
∠1＝ 48 °；
∠2＝ 80 °。
【考点】线段与角的综合．
【专题】几何直观；应用意识．
【答案】48；80。
【分析】根据三角形内角和定理，三角形内角之和为180°，在这个直角三角形中，其中1个锐角是42°，∠1的度数为180°﹣90°﹣42°＝48°。
三角形其中一个角与125°的角组成平角，平角等于180°，用180°减125°就是这个角的度数，根据三角形内角和定理，三角形三个内角之和是180°，用180°减去这个角的度数再减去另一个已知角的度数，就是∠2的度数。
【解答】解：∠1＝180°﹣90°﹣42°
＝90°﹣42°
＝48°
∠1＝48°；
∠2＝180°﹣45°﹣（180°﹣125°）
＝180°﹣45°﹣55°
＝135°﹣55°
＝80°
∠2＝80°。
故答案为：48；80。
【点评】掌握三角形内角和定理是解答本题的关键。
16．在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
4560345 ＜ 4560435
2平方千米 ＞ 198公顷
150×50 ＝ 300×25
【考点】亿以内数比较大小；两位数乘三位数；大面积单位间的进率及单位换算．
【专题】整数的认识；运算顺序及法则；长度、面积、体积单位；数据分析观念；运算能力．
【答案】＜；＞；＝。
【分析】亿以内数的大小比较的方法：
1、比较两个数的大小，先看两个数各是几位数。
2、位数不同时，位数多的数就大。
3、位数相同时，从最高位开始比起，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
根据1平方千米＝100公顷进行单位换算，化成统一的单位再比较大小。
算式大小的比较先计算，再比较得数的大小。
【解答】解：4560345＜4560435
2平方千米＞198公顷
150×50＝300×25
故答案为：＜；＞；＝。
【点评】本题考查了亿以内数的大小，面积单位换算及两位数乘三位数。
17．□÷56＝12……□，余数最大是（ 55 ）；被除数最小是（ 673 ）。
【考点】有余数的除法．
【专题】应用意识．
【答案】55，673。
【分析】在有余数除法中，余数总比除数小，即余数最大为：除数﹣1，余数最小为1，余数最小，被除数最小，再根据被除数＝商×除数+余数，求出被除数即可。
【解答】解：56﹣1＝55
12×56+1
＝672+1
＝673
答：余数最大是55；被除数最小是673。
故答案为：55，673。
【点评】解答此题的关键是根据在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进行解答即可。
18．最小的两位数和最小的三位数相乘，积是（ 1000 ）。
【考点】两位数乘三位数．
【专题】运算能力．
【答案】1000。
【分析】最小的两位数是10，最小的三位数是100，相乘即可。
【解答】解：最小的两位数是10，最小的三位数是100；
10×100＝1000
答：最小的两位数和最小的三位数相乘，积是1000。
故答案为：1000。
【点评】本题考查了两位数乘三位数的计算方法的运用。
19．全班同学都用下面的四根小棒摆一个平行四边形，他们摆出的平行四边形的形状 不一定 是一样的。（请选填：一定、不一定）
【考点】平行四边形的特征及性质．
【专题】应用意识．
【答案】不一定。
【分析】用这些小棒可以摆一个平行四边形，拉动其中一个角，这个平行四边形的形状就改变了，平行四边形的高也改变了。也就是用这些小棒可以摆出无数个平行四边形。
【解答】解：全班同学都用下面的四根小棒摆一个平行四边形，他们摆出的平行四边形的形状不一定是一样的。
故答案为：不一定。
【点评】此题考查了平行四边形的特征。
三．操作题（共5小题）
20．以A点为顶点画一个120°的角，并在角的一边上截一条2cm长的线段。
A•
【考点】画指定度数的角．
【专题】作图题；平面图形的认识与计算．
【答案】
【分析】（1）过A点画一条射线，使量角器的中心与A点重合，0刻度线与射线重合；
（2）在量角器120度的地方点上一个点；
（3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画出另一条射线；
（4）画完后在角上标上符号，写出度数；
（5）然后在角的一边上截一条2厘米长的线段即可。
【解答】解：作图如下：
【点评】此题主要考查角的画法与线段的画法，在画的过程中要规范作图。
21．过点A分别画出线段MN的垂线和线段MF的平行线。
【考点】过直线上或直线外一点作直线的垂线；过直线外一点作已知直线的平行线．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】。
【分析】把三角板的一条直角边与BC重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和点A重合，过点A沿三角板的直角边，向BC画直线即为垂线；
把三角板的一条直角边与BC重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和BC重合的直角边和点A重合，过点A沿三角板的直角边画直线即为平行线。
【解答】解：如图：
【点评】熟练掌握画垂线和平行线的画法是解答本题的关键。
22．量角。
【考点】角的度量．
【专题】应用意识．
【答案】30°；90°。
【分析】量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量即可。
【解答】解：经测量，角度如下图所示：
【点评】本题考查了角度的度量。
23．画出下面图形的任意一条高。
【考点】作梯形的高．
【专题】几何直观．
【答案】（画法不唯一）
【分析】过梯形的一个底上的一点，向另一个底边画垂线，则这个点与垂足之间的线段，就是这个梯形的高，再根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，由此作图即可。
【解答】解：如图：
（画法不唯一）
【点评】此题主要考查梯形高的意义和它们的高的画法，根据过直线外一点画已知条直线的垂线的方法，画出梯形的高即可。
24．芳芳在课余时间调查了三（2）班36名同学在合唱组、科技组、美术组、舞蹈组4个兴趣小组的报名情况，统计过程中，芳芳按顺序用A、B、C、D代替。结果如下：
①请将三（2）班同学在兴趣小组报名调查结果进行整理。
三（2）班同学兴趣小组报名情况统计表
②根据统计结果，你知道了什么？
【考点】统计图表的填补；从统计图表中获取信息．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】①三（2）班同学兴趣小组报名情况统计表
②从统计表中可以看出，报名科技小组的人最多，有14人；报名美术组和合唱组的人一样多，都是9人；报名舞蹈组的人最少，只有4人。（答案不唯一）
【分析】①通过计数，统计报名各兴趣小组的人数，填入统计表；
②写出从“三（2）班同学兴趣小组报名情况统计表”中发现的一些信息，答案不唯一。
【解答】解：①三（2）班同学兴趣小组报名情况统计表
②从统计表中可以看出，报名科技小组的人最多，有14人；报名美术组和合唱组的人一样多，都是9人；报名舞蹈组的人最少，只有4人。（答案不唯一）
【点评】本题主要考查学生对数据的收集整理及分析能力。
四．计算题（共2小题）
25．直接写出得数。
【考点】两位数除两、三位数；数的估算；两位数乘三位数．
【专题】运算能力．
【答案】28000；9900；4800；10000；20；30；4；6。
【分析】根据整数乘除法的计算方法和整数除法的估算方法进行计算。
【解答】解：
【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
26．用竖式计算。
【考点】列竖式计算除法；两位数乘三位数；列竖式计算乘法；两位数除两、三位数．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）32；（2）5684；（3）27000；（4）1056；（5）5……5；（6）11……3。
【分析】（1）（5）（6）计算除数是两位数的除法，从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，再试除前三位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；求出每一位商，余下的数必须比除数小；
（2）三位数乘两位数的笔算方法：先用两位数个位上的数去乘三位数，积的末位与个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，积的末位与十位对齐；最后把两次乘得的积相加；
（3）计算乘数末尾有0的乘法，先用0前面的数去乘，再看乘数的末尾有几个0，就在积的末尾添几个0；
（4）两位数乘两位数的笔算方法：先用第2个乘数的个位，去乘第1个乘数的每一位，得数的末位和乘数个位对齐；再用第2个乘数的十位，去乘第1个乘数的每一位，得数末位和乘数的十位对齐；最后把两个乘的结果相加，注意在相乘过程中，哪一位满几十，就向前一位进几。
【解答】解：（1）800÷25＝32
（2）406×14＝5684
（3）450×60＝27000
（4）88×12＝1056
（5）395÷78＝5……5
（6）377÷34＝11……3
【点评】本题考查的主要内容是乘法、除法竖式计算问题。
五．应用题（共5小题）
27．明明收集了196枚邮票，每48枚插一页，一共能插满几页？还剩几枚？
【考点】有余数的除法应用题．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】4页；4枚。
【分析】196枚邮票，每48枚插一页，求一共能插满几页，就是求196里面有多少个48，用196除以48求出商，就是能插满的页数，余数就是剩下的枚数。
【解答】解：根据分析可得：
196÷48＝4（页）……4（枚）
答：一共能插满4页，还剩4枚。
【点评】解答此题用的知识点：根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答。
28．2023年宜宾市“五一”假期共接待游客约99万人次，通过提升旅游品牌形象，2024年宜宾市“五一”假期接待的游客人数比2023年的2倍少13万人次，2024年宜宾市“五一”假期共接待游客多少万人次？
【考点】表外乘加、乘减．
【专题】简单应用题和一般复合应用题；应用意识．
【答案】185万人次。
【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法计算，据此先求出2023年接待人次数的2倍是多少人次，再减去少的人次数，即可求出2024年接待的人次数。
【解答】解：99×2﹣13
＝198﹣13
＝185（万人次）
答：2024年宜宾市“五一”假期共接待游客185万人次。
【点评】本题考查表外乘减的应用，解题关键是熟练掌握并灵活应用：求一个数的几倍是多少，用乘法计算。
29．一块长方形草坪，宽5米，面积是65平方米，现在长方形草坪的长不变，宽增加到40米，增加后的草坪面积是多少平方米？（要求应用积的变化规律解决问题）
【考点】积的变化规律；长方形、正方形的面积．
【专题】应用意识．
【答案】520平方米。
【分析】“两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也乘或除以这个数。”据此可知：长方形的长不变，宽扩大到原来的多少倍，面积也扩大到原来的多少倍，据此解答。
【解答】解：65×（40÷5）
＝65×8
＝520（平方米）
答：增加后的草坪面积是520平方米。
【点评】解答本题需熟练掌握积的变化规律，熟记长方形的面积的计算方法。
30．妈妈和小红每天晚饭后要进行走路锻炼。有一天，妈妈和小红一起从家出发，走到距家2000米的小湖边，妈妈每分钟走了80米，小红每分钟走65米，当妈妈走到小湖边时，小红距小湖边还有多少米？
【考点】简单的行程问题．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】375米。
【分析】根据“时间＝路程÷速度”，求出妈妈走到小湖边是时间，再根据“路程＝速度×时间”，求出小红的路程，再用2000减去小红的路程，即可解答。
【解答】解：2000﹣65×（2000÷80）
＝2000﹣65×25
＝2000﹣1625
＝375（米）
答：小红距小湖边还有375米。
【点评】本题考查的是行程问题，掌握“时间＝路程÷速度”，“路程＝速度×时间”是解答关键。
31．疫情期间，张叔叔开货车运送蔬菜，已知4小时行260千米。照这样计算，这辆货车12小时能行多少千米？
【考点】简单的行程问题；简单的归一应用题．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】780千米。
【分析】首先用这辆货车4小时行驶的路程除以4，求出这辆货车平均每小时行驶多少千米，然后再用这辆货车平均每小时行驶的路程乘12，求出这辆货车12小时能行多少千米即可。
【解答】解：260÷4×12
＝65×12
＝780（千米）
答：这辆货车12小时能行780千米。
【点评】本题考查的是行程问题，掌握速度、时间、路程之间的关系是解答关键。
考点卡片
1．亿以内数比较大小
【知识点归纳】
亿以内数的大小比较的方法：
1、比较两个数的大小，先看两个数各是几位数。
2、位数不同时，位数多的数就大。
3、位数相同时，从最高位开始比起，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【方法总结】
位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。
【常考题型】
比较下面每组中两个数的大小。
92504〇103600 50140〇63140 28906〇28890
答案：＜；＜；＞
按照从小到大的顺序排列下面各数。
50500 500500 55000 40005
答案：40005＜50500＜55000＜500500
2．亿以内数的读写
【知识点归纳】
一、亿以内数的读法（含有两级的数的读法）
（1）读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。例如：（2496¦0000）
（2）先读万级，再读个级。
（3）万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
（4）每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。
二、亿以内数的写法（注意：一定要保证个级是四位数。）
（1）写数之前，先分级；
（2）先写万级，再写个级；
（3）哪个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0占位。
【常考题型】
1、一个数是由4个千万，3个十万，6个百和5个一组成的，这个数写作（ ），读作（ ）。
答案：40300605；四千零三十万零六百零五
2、2023年我国有12910000考生报名参加高考，比去年增加980000人，再创历史新高。横线上的两个数分别读作（ ）和（ ）。
答案：一千两百九十一万；九十八万
有一个七位数，它的最高位上的数字是6，万位上的数字是9，十位上的数字是2，其余个位上的数字都是0，这个数写作（ ），它是由6个（ ）、9个（ ）和2个（ ）组成的。
答案：6090020；百万；万；十
3．亿以上的数位和组成
【知识点归纳】
1、亿以上数的认识：
10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。
2、一（个）、十、百、千、万亿都是计数单位。
3、在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
4、位数：一个数含有几个数位，就是几位数，如652100是个六位数。
5、按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一级。
【常考题型】
在计数器上拨数。
123123123 23502525852 3291044723
答案：动手操作即可。
2、182934567由（ ）个亿、（ ）个万、（ ）个一组成。
答案：1；8293；4567
4．亿以上数的读写
【知识点归纳】
1、亿以上数的读法：
①先分级，从高位开始读起。先读亿级，再读万级，最后读个级。
②亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字。万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
③每级末尾不管有几个0，都不读。其他数位有一个“0”或连续几个“0”，都只读一个“0”。
2、亿以上数的写法：
①从最高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级。
②哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
【常考题型】
1、填空题。
亿以上数的读法，先从（ ）级读起，再读（ ）级，最后读（ ）级上的数。每级末尾的0都（ ），其它数位有一个或连续几个0都只读（ ）个0。
答案：亿 万 个 不读 一
2、读出下列各数。
2375550000000 12005000050
50600000000 3020056000
答案：二万三千七百五十五亿五千万；一百二十亿零五百万零五十；五百零六亿；三十亿二千零五万六千
3、从个位起，第八位是什么位？第几位是亿位？
答案：千万；九
5．亿以上数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以上数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、改写。（4个0换一个“万”字，将整万的数改写成以“万”作单位的数；8个0换一个“亿”字，将整亿的数改写成以“亿”作单位的数。）
3000000＝（ ）万
8230000＝（ ）万
1200000000＝（ ）亿
50700000000＝（ ）亿
答案：300；823；12；507
6．奇数与偶数的初步认识
【知识点解释】
偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等
奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等．
【知识点归纳】
奇数和偶数的性质：
奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数
奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数
奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数
【命题方向】
常考题型：
偶数和奇数的积为偶数． √ ．（判断题）
分析：根据偶数和奇数的性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数；进行判断即可．
解：根据偶数和奇数的性质可得：偶数和奇数的积为偶数；
故答案为：√．
点评：此题考查了奇数和偶数的性质．
7．合数与质数的初步认识
【知识点解释】
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）
【命题方向】
常考题型：
例1：所有的质数都是奇数． × ．（）
分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．
解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．
故答案为：×．
点评：本题混淆了质数和奇数的定义．
例2：已知a×b+3＝x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是 1997 ．
分析：x是奇数，因为偶数+奇数＝奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3＝1997．
解：x是奇数，a×b一 定为偶数，
则a、b必有一个为最小的质数2，
小于1000的最大的质数为997，
所以x的最大值为2×997+3＝1997．
故答案为：1997．
点评：在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．
8．分数的意义和读写
【知识点归纳】
分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．
分数的分类：
（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．
（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．
带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．
【命题方向】
两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）
A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长
分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．
解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3-34=214（米）；
第二根剪去34，剩下的长度是3×（1-34）=34（米）．
所以第一根剩下的部分长．
故选：A．
点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
9．小数点位置的移动与小数大小的变化规律
【知识点归纳】
（1）小数点向右移动一位，原数就扩大到原来的10倍；小数点向右移动两位，原数就扩大到原来的100倍；小数点向右移动三位，原数就扩大到原来的1000倍；依此类推．按此规律，小数点向右移动n位，则原小数就扩大到原来的10n倍．
小数点向右移动，遇到小数部分的位数不够时，就在末位添0补足，缺几位就补几个0．
（2）小数点向左移动一位，原数就缩小到原来的110；小数点向左移动两位，原数就缩小到原来的1100；小数点向左移动三位，原数就缩小到原来的11000；依此类推．按此规律，小数点向左移动n位，则原小数就缩小到原来的110n．
小数点向左移动，遇到整数部分的位数不够时，就在原来整数部分的前面添0补足，缺几位就补几个0，然后，再点上小数点，再小数点的前边再添一个0，以表示整数部分是0．
【命题方向】
常考题型：
例：一个小数，小数点向左移动一位，再扩大到原来的1000倍，得365，则原来的小数是 3.65 ．
分析：把365缩小到原来的11000，即小数点向左移动3位，然后把这个数的小数点再向右移动一位，也就是扩大到原来的10倍，就得原数．
解：365÷1000＝0.365，
0.365×10＝3.65，
故答案为：3.65．
点评：此题主要考查小数点位置移动引起数的大小变化规律：一个数的小数点向右（向左）移动一位、两位、三位…，这个数就比原来扩大（缩小）到原来的10倍（110）、100倍（1100）、1000倍（11000）…，反之也成立．
10．自然数的认识
【知识点解释】
自然数：非负整数，是正整数和零．也就是除负整数外的所有整数．
【命题方向】
常考题型：
例1：最小的自然数是 0 ．
分析：根据自然数的意义（包括0和正整数），求出即可．
解：最小的自然数是0，
故答案为：0．
点评：本题考查了对自然数的理解，自然数包括：0和正整数，根据正数都大于0，即可得出答案．
例2：自然数的单位是“1”． √ （）
分析：根据自然数的意义，用来表示物体个数的数叫做自然数，自然数的基本计数单位是“1”．
解：由分析知：自然数的基本计数单位为“1”．
故答案为：√．
点评：此题考查的目的是理解自然数的意义，明确：自然数的基本计数单位为“1”．
11．两位数乘三位数
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的方法：先用一个因数的个位与另一个因数的每一位依次相乘，再用这个因数的十位与另一个因数的每一位依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，哪一位满十就向前一位进“1”，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。中间有0时，这个0要参加运算。
【方法总结】
因数是两、三位数的乘法的估算方法：先把两个因数的最高位后面的尾数省略，求出近似数，再把这两个近似数相乘。
2、三位数乘两位数的笔算
①先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐，最后把两次乘得的积相加。
②计算因数中间有0的三位数乘两位数，中间的0也要参与计算，计算方法同三位数乘两位数的笔算方法。
③末尾有0的两个因数相乘时，我们可以先把0前面的数相乘，然后再数两个因数的末尾一共有几个0就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
谷子每袋23元，要买114袋谷子，需要花多少钱？
答案：114×23＝2622（元）
从北京到济南每张火车票195元，一个旅游团有28人，准备6000元买火车票够吗？
答案：195×28＝5460（元）
5460元＜6000元
答：准备6000元买火车票够。
12．列竖式计算乘法
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的计算方法：列竖式计算三位数乘两位数时，相同数位对齐，先用两位数个位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十，就向前一位进几，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十就向前一位进几，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积相加，相加时，哪一位满几十同样向前一位进几。
【方法总结】
1、乘数中间或末尾有0的三位数乘两位数的计算方法。
（1）乘数中间有0时，这个0也要乘；与0相乘时，如果有进位数一定要加上进位数，如果没有进位数，就写0占位。
（2）乘数末尾有0时，可以先把0前面的数相乘，再看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
1、计算16×300时，可以先算（ ），再在积的末尾添（ ）。
答案：16×3；两个0
2、12的103倍是（ ），31个200是（ ）。
答案：1236；6200
13．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
14．有余数的除法
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：在除法算式m÷n＝a…b中，（n≠0），下面式子正确的是（ ）
A、a＞nB、n＞aC、n＞b
分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数；由此解答即可．
解：根据有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数，
所以：n＞b；
故选：C．
点评：解答此题的关键：应明确在有余数的除法中，余数总比除数小．
例2：31÷7＝4…3，如果被除数、除数都扩大10倍，那么它的结果是（ ）
A、商4余3 B、商40余3 C、商40余30 D、商4余30
分析：根据商不变的性质，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，但是在有余数的除数算式中，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，余数也会扩大或缩小相同的倍数．
解：31÷7＝4…3，
310÷70＝4…30，
所以当被除数、除数同时扩大10倍，商不变，余数也会扩大10倍．
故选：D．
点评：此题主要考查的是商不变的性质在有余数的除法算式中的应用．
15．列竖式计算除法
1.除法用竖式计算时，从被除数最高位开始除起，如若除不了，那么就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。
2.列竖式的过程中要把位数对齐。
3.除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商。
4.每次除后余下的数必须比除数小。
16．表外乘加、乘减
【知识点归纳】
1、乘法的含义
乘法是求几个相同加数连加的和的简便算法。如：计算：2+2+2＝6，用乘法算就是：2×3＝6或3×2＝6。
2、乘法算式的写法和读法
⑴连加算式改写为乘法算式的方法。求几个相同加数的和，可以用乘法计算。写乘法算式时，可以用乘法计算。写乘法算式时，可以先写相同的加数，然后写乘号，再写相同加数的个数，最后写等号与连加的和；也可以先写相同加数的个数，然后写乘号，再写相同加数，最后写等号与连加的和。
如：4+4+4＝12改写成乘法算式是4×3＝12或3×4＝12
⑵乘法算式的读法。读乘法算式时，要按照算式顺序来读。如：6×3＝18读作：“6乘3等于18”。
3、乘法算式中各部分的名称及实际表示的意义
在乘法算式里，乘号前面的数和乘号后面的数都叫做“乘数”；等号后面的得数叫做“积”。
4、乘法算式所表示的意义
求几个相同加数的和，用乘法计算比较简单。一道乘法算式表示的就是几个相同加数连加的和。如：4×5表示5个4相加或4个5相加。
5、加法写成乘法时，加法的和与乘法的积相同。
【方法总结】
“几和几相加”与“几个几相加”有区别
求几和几相加，用几加几；如：求4和3相加是多少？用加法（4+3＝7）
求几个几相加，用几乘几。
如：求4个3相加是多少？（3+3+3+3＝12或3×4＝12或4×3＝12）
补充：几和几相乘，求积？用几×几。如：2和4相乘用2×4＝8
2个乘数都是几，求积？用几×几。如：2个8相乘用8×8＝64
【常考题型】
1、算一算。
答案：2；8；11；7
填一填。
（1）5个3相加的和是（ ），再加上4的结果是（ ）。
答案：15；19
（2）4乘4的积是（ ），再减去8的结果是（ ）。
答案：16；8
17．数的估算
【知识点解释】
没有经过准确计算，是对计算结果的一种估计，叫做估算．
估算方法：
①四舍五入法：
例：π（保留两位小数）≈3.14
②进一法：
例：一支笔2.6元，四支需多少钱（保留到整数）
解：2.6×4＝10.4元≈11元
如果四舍五入的话是10元，是不够的，所以是要进上去的
③去尾法：
例：有20元，买3元一支的笔，可卖多少支？
解：20÷3＝6.6666…支≈6支
如果四舍五入是7支，买不到，所以是要去掉的．
【命题方向】
常考题型：
例：估计与288.9×1.756的积最接近的数是（ ）
A、400 B、500 C、600 D、1000
分析：根据小数乘法的估算方法：把相乘的因数看成最接近它的整数来算；288.9≈290，1.756≈1.8，所以与288.9×1.756的积最接近的数是290×1.8≈500，据此选择即可．
解：因为288.9×1.756≈290×1.8≈500，
所以与288.9×1.756的积最接近的数是500．
故选：B．
点评：此题考查了小数乘法的估算方法，注意把相乘的数看成最接近它的整数．
18．整数除法的性质及简便运算
【知识点归纳】
（1）除法的运算性质：
①一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。即 a÷b÷c ＝ a÷（b×c）（b≠0，c≠0）。
②在除法中，被除数和除数同时乘或除以同一个非零数，商不变。这叫做商不变性质。
（2）0在除法中的特性：
①0除以任何非零数，商为0。
②0不能做除数。
（3）简便运算常用方法：
①利用运算性质进行简便计算：例如 300÷25÷4 ＝ 300÷（25×4）＝ 300÷100 ＝ 3。
②利用商不变性质简化计算：将被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），使计算变简便。
【命题方向】
（1）运用运算性质进行简便计算
①能运用除法运算性质将连续除以多个数转化为除以这些数的积，从而进行简便计算。
②能根据数字特点，利用商不变性质简化计算（如：一个数除以125，将被除数和除数同时乘以8，使除数变成1000）。
（2）判断商的变化
①根据除数不变，被除数乘或除以一个数（0除外），商也乘或除以相同的数。
②根据被除数不变，除数乘或除以一个数（0除外），商反而除以或乘相同的数。
19．计算器与复杂的运算
【知识点归纳】
熟悉计算器的功能，懂得操作，可以辅助计算较复杂的计算．
【命题方向】
常考题型：
例：在计算器上用来清除的键是（ ）
A、ONB、OFFC、CED、SET
分析：计算器上CE健是清除健，找出这个答案即可．
解：ON，是开机键；
OFF是关机键；
CE是清除键；
SET是设置键．
故选：C．
点评：本题考查了计算器上按键表示的功能，要记住它们英文的表示方法．
20．简单的归一应用题
【知识点归纳】
已知相互关联的两个量，其中一个量在改变，另一个量也随之改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题．
归一问题可以分为一次归一问题、两次归一问题．
一次归一问题：用一步运算就能求出单一量的归一问题，又称单归一
两次归一问题：用两步运算才能求出单一量的归一问题，又称双归一
归一问题还可以分为正归一问题、反归一问题．
正归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用乘法计算结果的归一问题
反归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用除法计算结果的归一问题
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后，以它为标准，根据题目的要求算出结果．
数量关系式：单一量×份数＝总数量（正归一）
总数量÷单一量＝分数（反归一）
【命题方向】
常考题型：
例1：计划5小时做40个零件，3小时做这批零件的（ ）
A、35 B、45 C、34
分析：先算出平均每小时做多少个零件，再算出3小时做多少个零件，把40件零件看做单位“1”，进一步求出3小时做的占40件得几分之几．
解：平均每小时做的零件数：40÷5＝8（个），
3小时做的零件数：8×3＝24（个），
3小时做的占40件的：24÷40=35．
答：3小时做这批零件的35．
故选：A．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量，进一步得出答案．
例2：3台织布机4小时织布336米，照这样计算，1台织布机8小时织布多少米？
分析：照这样计算，说明每台织布机，每小时织布量不变，先用336除以3台，求出每台4小时的织布量，再除以4小时，求出每台每小时的织布量，然后乘上8小时即可求解．
解：336÷3÷4×8，
＝112÷4×8，
＝28×8，
＝224（米）；
答：1台织布机8小时织布224米．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．
21．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
22．有余数的除法应用题
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：一根绳子长17米，剪8米做一根长跳绳，剩下的每2米做一根短跳绳，最多做几条短跳绳？
分析：先用17﹣8求出还剩下多少米，然后根据除法的意义，即可求出结果．
解：（17﹣8）÷2，
＝9÷2，
＝4（条）…1米；
答：最多做4条短跳绳．
点评：解答此题要认真分析题意，联系生活实际，剩了1米，不能再做1条绳．
例2：3位老师带着62位学生去郊游．每顶帐篷最多只能住6人．至少要搭多少顶帐篷？
分析：先用“62+3”求出总人数，求至少要搭多少顶帐篷，即求65里面含有几个6，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
解：（62+3）÷6＝10（顶）…5（人），
至少需：10+1＝11（顶）；
答：至少要搭11顶帐篷．
点评：解答此题用的知识点：根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
23．角的概念和表示
【知识点归纳】
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．
定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.
注意：由角的定义可知：
（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；
（2）顶点是这两条边的交点；
（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.
（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
角的表示方法：
（1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A
【命题方向】
常考题型：
1.从一点引出两条______所组成的图形叫做角，角的计量单位用_______来表示。
答案：射线，度。
2.组成角的两条边是两条（ ）
A．线段B．射线C．直线
答案：B
24．角的分类（锐角直角钝角）
【知识点归纳】
根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180°
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360°
（3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。
【命题方向】
常考题型：
1.钟面上9时整，时针和分针成______角；钟面上6时整，时针和分针成_______角．
解：由分析可知，钟面上9时整时针和分针所成的角是：3×30°＝90°，是一个直角；
6时整，时针指着6，分针指着12，两针成一直线，时针和分针成平角；
故答案为：直，平。
2.2022年北京冬奥会将于2022年2月4日晚上8时开幕，此时时针和分针所形成的角是______角。
答案：钝
3、1平角＝______直角 1周角＝______直角．
答案：2；4
25．垂直与平行的特征及性质
【知识点归纳】
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（ ）
A、平行 B、互相垂直 C、互相平行 D、相交
分析：根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C．
点评：此题考查了垂直和平行的特征及性质．
例2：不相交的两条直线叫平行线． × ．（）
分析：根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．所以说法错误．
解：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，所以本题成立的前提是：在同一平面内．
故答案为：×．
点评：解答此题抓住在同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交．
26．过直线外一点作已知直线的平行线
【知识点归纳】
1．画法：设直线外一点为a，在直线上任取两点b和c，以a为圆心，以bc为半径作弧；以b为圆心，以ac为半径作弧，两弧交于d点；连接ad作直线，则ad必平行于bc．
2．在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，只能画一条．如果没有在同一平面内的限制，过直线外一点画已知直线的平行线，能画无数多条．
【命题方向】
常考题型：
例1：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（ ）
A、1条 B、2条 C、无数条
分析：根据平行线的性质，过直线外一点作已知直线的平行线，能作且只能作一条．
解：过直线外的一点，画已知直线的平行线，这样的平行线可以画1条．
故选：A．
点评：此题主要考查了平行线的性质．
例2：过A点画出已知直线的平行线．
分析：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可．
解：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺沿和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线．
点评：本题考查学生利用三角板和直尺来作平行线的能力，培养学生的作图能力．
27．过直线上或直线外一点作直线的垂线
【知识点归纳】
1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点．
2、分别以A、B为圆心，以大于12AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点．
3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线．
【命题方向】
常考题型：
例1：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1 条．
分析：直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答．
解：过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1条．
故答案为：1．
点评：本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况．
例2：过A点画已知直线的垂线．
分析：用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．
解：根据分析画图如下：
点评：本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力．
28．四边形的特点、分类及识别
【知识点归纳】
1．四边形的特点：四边形就是四条线段围成的图形，有四条边，四个角，且内角和是360°．
2．四边形的分类：
任意四边形：图形没有平行的边
平行四边形：图形两组平行的边
梯形：图形只有一组平行的边
3．四边形的识别：
根据分类特地进行识别即可．
【命题方向】
常考题型：
例1：把符合要求的图形序号填在横线里．
A、正方形 B、长方形 C、平行四边形 D、梯形
①两组对边分别平行，有四个直角．A、B
②只有一组对边平行．D
③两组对边分别平行，没有直角C ．
分析：①长方形的特征是：两组对边分别平行且相等，四个角都是直角；②正方形的特征：四条边都相等，四个角都是直角；③平行四边形的特征：两组对边分别平行；④梯形的特征：只有一组对边平行，据此解答．
解：由分析可知：①两组对边分别平行，有四个直角的是正方形和长方形；
②只有一组对边平行的四边形是梯形；
③两组对边分别平行，没有直角的是平行四边形；
故答案为：①A、B，②D，③C．
点评：此题根据正方形、长方形、平行四边形、梯形的特征进行解答．
例2：正方形、长方形是特殊的平行四边形． √ ．（）
分析：四个角都为直角的平行四边形是长方形，四条边都相等的长方形是正方形；也就是说正方形和长方形都是特殊的平行四边形；由此判断即可．
解：根据长方形和正方形的含义可知：正方形和长方形都是特殊的平行四边形；
故答案为：√．
点评：解答此题应根据长方形和正方形的含义进行解答．
29．平行四边形的特征及性质
【知识点归纳】
平行四边形的概念：
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形用符号“▱ABCD”，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．
（1）平行四边形属于平面图形．
（2）平行四边形属于四边形．
（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等．
（4）平行四边形属于中心对称图形．
2．平行四边形的性质：
主要性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．
（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）
（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．
（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：两组对边分别平行没有直角的图形是（ ）
A、长方形 B、平行四边形 C、梯形
分析：平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
如果两组对边分别平行、有4个直角的四边形是长方形或正方形；
据此判断即可．
解：两组对边分别平行没有直角的图形是平行四边形．
故选：B．
点评：此题应根据平行四边形的含义进行分析、解答．
例2：一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（ ）
A、周长不变，面积变大 B、周长不变，面积也不变
C、周长变小，面积变小 D、周长不变，面积变小
分析：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
解：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长不变；
长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
故选：D．
点评：此题主要考查周长的定义及平行四边形和长方形的面积之间的变化关系．
30．平行四边形的不稳定性
【知识点归纳】
当平行四边形变长固定时，却可以改变其夹角形成无数个边长相同而夹角不同的平行四边形，而平行四边形的不稳定性就是指行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。
【命题方向】
常考题型：
1.伸缩门利用了平行四边形不稳定的特性．_______．（）
答案：√
2.下面说法不正确的是（ ）
A．伸缩门是根据平行四边形的不稳定性制作的
B．三角形具有稳定性
C．好多桌子椅子都方的，所以正方形也具有稳定性
答案：C
3.圆柱体、三角形、正方体、平行四边形中，_____、_______是立体图形，平面图形里_______具有不稳定性。
解：圆柱体、三角形、正方体、平行四边形中，圆柱体、正方体是立体图形，平面图形里平行四边形具有不稳定性。
故答案为：圆柱体、正方体；平行四边形。
31．梯形的特征及分类
【知识点归纳】
1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．
2．分类：
（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形
（3）一般梯形．
【命题方向】
常考题型：
例1：只有一组对边平行的四边形是（ ）
A、三角形 B、长方形 C、平行四边形 D、梯形
分析：根据梯形的定义可知：只有一组对边平行的四边形是梯形，由此即可选择．
解：只有一组对边平行的四边形是梯形，
故选：D．
点评：此题考查了梯形的定义．
例2：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成（ ）
A、平行四边形 B、长方形 C、三角形
分析：两个完全一样的直角梯形，可以拼成平行四边形和长方形，但不能拼成三角形；据此解答．
解：由分析可知：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成三角形；
故选：C．
点评：结合题意，根据完全一样的两个直角三角形拼组的特点，即可得出结论．
32．作梯形的高
【知识点归纳】
高是指梯形上下底的距离，在梯形的上底的任取一个端点作垂直于下底的线段，称为作高．
【命题方向】
常考题型：
例：给下面的梯形作高，并量出有关线段的长度，再求出面积．
分析：先作出高，再分别量出上底、下底和高的具体数值，代入梯形面积公式即可求解．
解：如图所示，
，
梯形面积：（1.8+5）×1.6÷2＝5.44（平方厘米）．
答：梯形的面积是5.44平方厘米．
点评：此题主要考查梯形高的画法及面积公式．
33．图形的拼组
【知识点归纳】
1．平面镶嵌的概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地拼接在一起，这就是平面镶嵌．
2．规律：
用相同的正多边形镶嵌：只用一种多边形时，可以进行镶嵌的是三角形、四边形或正六边形．
用不同的正多边形镶嵌：
（1）用正三角形和正六边形能够进行平面镶嵌；
（2）用正十二边形、正六边形，正方形能够进行平面镶嵌．
【命题方向】
常考题型：
例：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形的周长是（ ）
A、24厘米 B、36厘米 C、38厘米
分析：把9个边长是2厘米的小正方形排成一个大的正方形，这个大正方形有边长就是（3×2）厘米，根据正方形有周长公式可列式解答．
解：根据题意画图如下，
正方形的周长：
（3×2）×4，
＝6×4，
＝24（厘米）．
答：周长是24厘米．
故选：A．
点评：本题考查了学生对拼组图形周长的计算能力．画图可更好的帮助学生理解．
34．图形的密铺
【知识点归纳】
用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．
①正多边形密铺：
正六边形可以密铺，因为它的每个内角都是120°度，在每个拼接点处恰好能容纳3个内角；正五边形不可以密铺，因为它的每个内角都是108度，而360°不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象；除正三角形、正四边形和正六边形外，其它正多边形都不可以密铺平面．
②不可单独密铺的图形：a、所有任意三角形与任意四边形都可以密铺．b、正三角形、正四边形、正六边形可以单独用于平移密铺．c、三对对应边平行的六边形可以单独密铺．
【命题方向】
常考题型：
例1：下面图形中不可以密铺的是（ ）
A、正五边形 B、正六边形 C、正三边形
分析：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．
解：A、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；
B、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
C、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．
故选：A．
点评：本题考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
例2：用边长（整分米数） 1 分米、 2 分米、 4 分米的正方形都能正好铺满长16分米、宽12分米的长方形．
分析：找到16分米、12分米的公约数即可求解．
解：16的约数有：1，2，4，8，16；
12的约数有：1，2，3，4，6，12；
故16分米、12分米的公约数有1，2，4．
故答案为：1、2、4．
点评：考查了图形的密铺，本题同时是对求两个数的公约数的考查．
35．大面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方千米＝100公顷＝1000000平方米
1公顷＝10000平方米
【命题方向】
常考题型：
边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
36．角的度量
【知识点归纳】
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的1360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（ ）
A、50° B、500° C、100°
分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．
故选：A．
点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．
例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（ ）
A、1：30和2：30 B、3：30和8：30 C、9：00和3：00 D、10：30和1：30
分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．
解：A，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
2：30时针和分针中间相差3.5个大格，夹角是：30×3.5＝105度；符合题意；
B，3：30时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30＝75度，
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30°＝75度；
C，9：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度，
3：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度；
D，10：30时针和分针中间相差4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度；
所以夹角不同的是A．
故选：A．
点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
37．画指定度数的角
【知识点归纳】
三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．
【命题方向】
常考题型：
例1：画一个120°的角．
分析：画一个120°的角可据以下步骤进行：
（1）先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；
（2）在量角器120°角刻度线的地方点一个点；
（3）以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个120°的角．
解：根据角的画法，作图如下：
点评：本题考查了学生根据所给度数利用作图工具画角的动手能力．
例2：用一副三角板画一个105°的角．
分析：显然从两个三角板中，将一个等于45°的角，再加上另一个三角板中等于60°的角，即可得到105°的角．
解：让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如下图所示，
45°+60°＝105°；
．
点评：本题考查了三角板的角的度数、角的计算、角的拼图、画角的方法，较为简单，熟练掌握三角板各角的度数是解答本题的关键．
38．线段与角的综合
【知识点归纳】
1、直线、线段、射线的概念，线段中点的概念及应用
2、角平分线、线段的垂直平分线、平行线的性质
3、余角、补角、邻补角的概念，进行角度换算
4、平行线的概念、性质及判定，两点之间的距离，点到直线的距离．
【命题方向】
常考题型：
例：图中，已知∠1＝30°，那么∠2＝ 150° ，∠3＝ 30° ，∠4＝ 60° ．
分析：从图上看：
①∠1和∠2合起来是平角，即为180°，即可求得∠2的度数；
②∠3和∠2合起来是平角，即为180°，即可求得∠3的度数．
③∠1和∠4合起来是个直角，即为：∠1+∠4＝90°，根据∠1＝30°即可求得∠4；
解：
①∠1+∠2＝180°
∠1＝30°
∠2＝180°﹣30°
∠2＝150°
②∠3+∠2＝180°
∠2＝150°
∠3＝180°﹣150°
∠3＝30°
③∠1+∠4＝90°
∠1＝30°
∠4＝90°﹣30°
∠4＝60°
故答案为：150°，30°，60°．
点评：本题考查平角和直角的概念，关键是从图中看到哪些角的和是90度，哪些角的和是180度．
39．梯形的周长
【知识点归纳】
梯形的周长＝两腰长度+上底+下底．
【命题方向】
常考题型：
例：一个等腰梯形的周长是30厘米，上底和下底分别为8厘米、10厘米，每条腰长 6 厘米．
分析：因为梯形的周长＝两腰长度+上底+下底，又根据等腰梯形的特点，两腰相等，所以一条腰的长度＝（周长﹣上底﹣下底）÷2，计算即可．
解：（30﹣8﹣10）÷2，
＝12÷2，
＝6（厘米）．
答：每条腰长6厘米．
故答案为：6．
点评：解决本题的关键是明确梯形的周长＝两腰长度+上底+下底，由于两腰长度相等，所以一条腰的长度＝（周长﹣上底﹣下底）÷2．
【解题思路点拨】
理解周长概念，梯形的周长＝两腰长度+上底+下底，要求解其中的一个未知量，只要把其它的几个量求出来，代入公式即可求得．
40．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
41．统计图表的填补
【知识点归纳】
1．读懂统计图或者表．
2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：乐乐记录了爸爸妈妈两个月的电话费支出情况．
【分析】（1）运用爸爸1、2月份的总钱数减去1月份的话费即可得到2月份的话费．把妈妈1、2月份的钱数相加即可得到总钱数．
（2）把爸爸、妈妈1月份的话费相加即可得到合计，把爸爸、妈妈2月份的话费相加即可得到合计，然后再把两次的合计加在一起即可得到总合计．
解：（1）61.0﹣30.2＝30.8（元）
26.7+20.4＝47.1（元）
（2）30.2+26.7＝56.9（元）
30.8+20.4＝51.2（元）
56.9+51.2＝108.1（元）
【点评】此题主要依据加法及减法的意义解决实际问题．
42．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
43．积的变化规律
【知识点归纳】
积的变化规律：
（1）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个数．
（2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变．
【命题方向】
常考题型：
例：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于（ ）
A、原来的积乘10 B、原来的积乘20 C、原来的积乘100
分析：根据积的变比规律：一个因数乘10，另一个因数也乘10，原来的积就乘10×10．据此进行选择即可．
解：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于原来的积乘100．
故选：C．
点评：此题考查积的变化规律的运用：一个因数乘（或除以）10，另一个因数也乘（或除以）10，原来的积就乘（或除以）100．

兴趣小组
合唱组
科技组
美术组
舞蹈组
人数/人
400×70＝
330×30＝
240×20＝
250×40＝
800÷40＝
900÷30＝
283÷70≈
360÷61≈
（1）800÷25＝
（2）406×14＝
（3）450×60＝
（4）88×12＝
（5）395÷78＝
（6）377÷34＝
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
B
C
C
C
B
B
兴趣小组
合唱组
科技组
美术组
舞蹈组
人数/人
兴趣小组
合唱组
科技组
美术组
舞蹈组
人数/人
9
14
9
4
兴趣小组
合唱组
科技组
美术组
舞蹈组
人数/人
9
14
9
4
400×70＝
330×30＝
240×20＝
250×40＝
800÷40＝
900÷30＝
283÷70≈
360÷61≈
400×70＝28000
330×30＝9900
240×20＝4800
250×40＝10000
800÷40＝20
900÷30＝30
283÷70≈4
360÷61≈6
（1）800÷25＝
（2）406×14＝
（3）450×60＝
（4）88×12＝
（5）395÷78＝
（6）377÷34＝
4×1﹣2＝
2×3+2＝
3×5﹣4＝
2×2+3＝
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
合计
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
30.8
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
47.1
合计
56.9元
51.2元
108.1元