数学八年级上册（2024）17.1 用提公因式法分解因式一课一练

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题型1 提公因式法与公式法
重难点一 提公因式法与公式法因式分解
1．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式：
(1)8abc−6a2b2
(2)−x2+12x−36
【答案】(1)2ab(4c−3ab)
(2)−(x−6)2
【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键．
（1）提公因式2ab分解因式即可；
（2）先提公因式−1，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：原式=2ab×4c−2ab×3ab=2ab4c−3ab
（2）解：原式=−(x2−12x+36)=−(x−6)2．
2．（21-22七年级下·江苏镇江·期中）分解因式：
(1)3ac−9ab
(2)x2−14x+49
(3)2ax2−18a3
(4)a4−2a2b2+b4
【答案】(1)3ac−3b
(2)x−72
(3)2ax+3ax−3a
(4)a+b2a−b2
【分析】（1）利用提公因式法即可
（2）利用完全平方公式即可
（3）先提取公因式，再利用平方差公式即可
（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可
【详解】（1）3ac−9ab=3a(c−3b)
（2）x2−14x+49=(x−7)2
（3）2ax2−18a3
=2ax2−9a2
=2a(x+3a)(x−3a)
（4）a4−2a2b2+b4
=a2−b22
=(a+b)2(a−b)2
【点睛】本题考查了因式分解的相关方法，熟练运用是解题关键.
3．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）把下列各式因式分解：
(1)−3ab3+6a2b2−3a3b
(2)x2−y2−ax+ay
【答案】(1)−3abb−a2
(2)x−yx+y−a
【分析】本题考查用提公因式法，公式法和分组法进行因式分解，
（1）先提取公因式−3ab ，然后利用完全平方公式进行因式分解；
（2）首先分组，进而利用提公式法和公式法分解因式即可；
解题的关键是掌握因式分角的一般方法：提公因式法，公式法，一般步骤是先提公因式，再利用公式法分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【详解】（1）解：−3ab3+6a2b2−3a3b
=−3abb2−2ab+a2
=−3abb−a2；
（2）x2−y2−ax+ay
=x2−y2−ax−ay
=x+yx−y−ax−y
=x−yx+y−a．
4．（23-24八年级上·全国·课后作业）分解因式：
(1)16m2−9n2；
(2)a3b−ab；
(3)4a2−20ab+25b2；
(4)9a−b2+42a−b+49．
【答案】(1)4m+3n4m−3n
(2)aba+1a−1
(3)2a−5b2
(4)3a−3b+72
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）提公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用完全平方公式因式分解即可；
（4）利用完全平方公式因式分解即可；
【详解】（1）解：16m2−9n2，
=4m2−3n2，
=4m+3n4m−3n；
（2）解：a3b−ab，
=aba2−1，
=aba+1a−1；
（3）解：4a2−20ab+25b2，
=2a−5b2；
（4）解：9a−b2+42a−b+49，
=3a−b+72，
=3a−3b+72．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）分解因式：
(1)2x2−12xy2+8xy3；
(2)(2x+y)(2y−x)−2x(x−2y)；
(3)a(m−2n)+(3a+2b)(m−2n)；
(4)2(a−9)2−a+9
【答案】(1)2xx−6y2+4y3
(2)(2y−x)(4x+y)
(3)2(2a+b)(m−2n)
(4)(a−9)(2a−19)
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；
（1）根据提公因式法可分别求解即可；
（2）根据提公因式法可分别求解即可；
（3）根据提公因式法可分别求解即可；
（4）根据提公因式法可分别求解即可．
【详解】（1）解：原式=2xx−6y2+4y3；
（2）解：原式=2y−x2x+y+2x
=(2y−x)(4x+y)；
（3）解：原式=m−2na+3a+2b
=2(2a+b)(m−2n)；
（4）解：原式=a−92a−18−1
=(a−9)(2a−19)．
重难点二 整体思想的直接应用
6．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各式分解因式：
(1)−a2b3c+2ab2c3−ab2c；
(2)−2a(a−b)3+4a2(b−a)2；
(3)x−2y2x+3y−22y−x5x−y．
【答案】(1)−ab2cab−2c2+1
(2)2a(a−b)2a+b
(3)x−2y12x+y
【分析】本题考查的是提公因式分解因式，理解整体公因式是解本题的关键．
（1）提取公因式−ab2c即可；
（2）提取公因式−2a(a−b)2即可；
（3）提取公因式x−2y即可．
【详解】（1）解：−a2b3c+2ab2c3−ab2c
=−ab2cab−2c2+1
（2）−2a(a−b)3+4a2(b−a)2
=−2a(a−b)2(a−b)+2a(a−b)2⋅2a
=−2a(a−b)2−a−b
=2a(a−b)2a+b
（3）x−2y2x+3y−22y−x5x−y
=x−2y2x+3y+2x−2y5x−y
=x−2y2x+3y+25x−y
=x−2y12x+y．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）先分解因式，再求值：
(1)(a−2)2−6(2−a)，其中a=−2；
(2)4x(y+4)−x(y+4)2，其中x=2,y=5．
【答案】(1)a−2a+4，−8
(2)−xyy+4，−90
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键．
（1）利用提取公因式法分解，再代入求值；
（2）利用提取公因式法分解，再代入求值．
【详解】（1）解：(a−2)2−6(2−a)
=a−22+6a−2
=a−2a−2+6
=a−2a+4，
当a=−2时，原式=−2−2−2+4=−8
（2）解：4x(y+4)−x(y+4)2
=y+44x−xy+4
=−xyy+4
当x=2,y=5时，原式=−2×5×5+4=−90
8．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式：xx+yx−y−xx+y2．
【答案】−2xyx+y
【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答．
【详解】解：xx+yx−y−xx+y2
=xx+yx−y−x+y
=xx+yx−y−x−y
=−2xyx+y．
9．（24-25七年级下·上海·假期作业）分解因式：
(1)a1−b+b2−1+b−b2；
(2)xa−b+yb−a−3b−a；
(3)xa−b2−yb−a3；
(4)6x+y2−2x−yx+y．
【答案】(1)= (a−1)(1−b−b2)
(2)(a−b)(x−y+3)
(3)(a−b)2(x+ay−by)
(4)4(x+y)(x+2y)
【分析】本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解，注意分解因式一定要彻底．
（1）原式变形为a1−b+b2−1−b+b2，提取公因式1−b+b2分解即可；
（2）原式提取公因式a−b分解即可；
（3）原式变形为xa−b2+ya−b3，再提公因式a−b2分解即可．
（4）原式提取公因式2x+y分解，整理后再提取公因式2分解即可．
【详解】（1）解：原式=a1−b+b2−1−b+b2
=1−b+b2a−1；
（2）解：原式=xa−b−ya−b+3a−b
=a−bx−y+3；
（3）解：原式=xa−b2+ya−b3
=a−b2x+ay−by；
（4）解：原式=2x+y3x+y−x−y
=2x+y2x+4y
=4x+yx+2y．
重难点三 巧用整体换元法
10．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读以下材料：
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式x2+2x−3，原式=x2+2x−3=x2+2x+1−1−3=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)．
【材料2】因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1．
解：把x+y看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2，再将A=x+y重新代入，得：原式=(x+y+1)2．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2−6x+8；
(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：(x−y)2−16(x−y)+64．
【答案】(1)x−2x−4
(2)x−y−82
【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；
（2）利用完全平方进行因式分解．
【详解】（1）解：x2−6x+8
=x2−6x+9−9+8
=x−32−1
=x−3+1x−3−1
=x−2x−4；
（2）解：设A=x−y，
x−y2−16x−y+64
=A2−16A+64
=A−82
∴(x−y)2−16(x−y)+64 =x−y−82．
11．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）阅读材料：
上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题：
(1)因式分解：1+6x−y+9x−y2；
(2)因式分解：a2−4a+1a2−4a+7+9．
【答案】(1)1+3x−3y2；
(2)a−24．
【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
（1）将“x−y”看成整体，令x−y=A，则原式=1+6A+9A2，再通过完全平方公式分解因式即可求解；
（2）令a2−4a=A，则原式=A2+8A+16，再通过完全平方公式分解因式即可求解．
【详解】（1）解：令x−y=A，
∴原式=1+6A+9A2
=1+3A2
=1+3x−3y2；
（2）解：令a2−4a=A，
∴a2−4a+1a2−4a+7+9
=A+1A+7+9
=A2+8A+16
=A+42
=a2−4a+42
=a−24．
12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n．则可以把x2+px+q因式分解成x+mx+n，例如：
①x2+3x+2=x+1x+2；
②x2−2x−8=x−4x+2．
材料2：因式分解：x+y2+2x+y+1．
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12，再将“A”还原，得：原式=x+y+12．
上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把x2−x−2分解因式；
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：x−y2+5x−y+4；
②分解因式：m+nm+n−6+5．
【答案】(1)x−2x+1；
(2)①x−y+1x−y+4；②m+n−1m+n−5
【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式，
（1）直接根据材料1，仿照例题即可求解；
（2）①令A=x−y，仿照例题即可求解；
②令B=m+n，先计算乘法，再因式分解即可．
【详解】（1）解：x2−x−2=x−2x+1；
（2）解：①令A=x−y，
则原式=A2+5A+4=A+1A+4，
所以x−y2+5x−y+4=x−y+1x−y+4；
②令B=m+n，
则原式=BB−6+5
=B2−6B+5
=B−1B−5，
所以原式=m+n−1m+n−5．
13．（24-25八年级下·四川成都·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：x+y2+2x+y+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12；
再将“A”还原，得：原式=x+y+12．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
(1)类比应用，求9+6x−y+x−y2=______；
(2)若n为正整数，判断式子n+1n+2n+3n+4+1的值是否是某一个整数的平方，并说明理由．
【答案】(1)(x−y+3)2
(2)式子(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1的值是某一个整数的平方，理由见详解
【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想．
（1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可；
（2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可．
【详解】（1）解：将“x−y”看成整体，令x−y=A，
则原式=9+6A+A2=(A+3)2，
再将“A”还原，得：原式=(x−y+3)2，
故答案为：(x−y+3)2；
（2）证明：式子(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1的值是某一个整数的平方，
理由如下：
(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1
=(n+1)(n+4)⋅(n+3)(n+2)+1
=n2+5n+4n2+5n+6+1，
令n2+5n=A，
则上式=(A+4)(A+6)+1=A2+10A+25=(A+5)2=n2+5n+52，
∵n为正整数，
∴n2+5n+5是整数，
∴式子(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1的值是某一个整数的平方．
题型2 分组分解法
重难点一 四项式的分组分解法
14．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：4y2+25x2−1−4y4．
【答案】5x+2y2−15x−2y2+1
【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到25x2−4y4−4y2+1，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】解：4y2+25x2−1−4y4
=25x2−4y4−4y2+1
=25x2−2y2−12
=5x+2y2−15x−2y2+1．
15．（24-25八年级上·全国·单元测试）有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把a2−2ab+b2−c2分解因式
解：原式=a2−2ab+b2−c2
=a−b2−c2
=a−b+ca−b−c
请阅读理解上面解法后，解决下列问题：
(1)分解因式：
①1−m2−n2+2mn；
②a3−3a2+3a−9；
(2)已知m+n=7，m−n=1，求m2−n2+2m−2n的值．
【答案】(1)①1+m−n1−m+n；②a2+3a−3
(2)9
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题．
（1）①将后三项分为一组，后三项符合完全平方公式特征，分解后再用平方差公式分解即可；
②将一、二两项分一组，三、四两项分一组，分别用提取公因式法因式分解，再提取整体(a−3)，即得答案；
（2）先用②的方法因式分解得(m−n)(m+n+2)，再将m+n=7，m−n=1代入，即得答案．
【详解】（1）①解：1−m2−n2+2mn
=1−(m2+n2−2mn)
=1−(m−n)2
=(1+m−n)(1−m+n)；
②解：a3−3a2+3a−9
=(a3−3a2)+(3a−9)
=a2(a−3)+3(a−3)
=(a2+3)(a−3)；
（2）解：m2−n2+2m−2n
=(m2−n2)+2(m−n)
=(m+n)(m−n)+2(m−n)
=(m−n)(m+n+2)，
∵m+n=7，m−n=1，
∴(m−n)(m+n+2)=1×(7+2)=9，
∴m2−n2+2m−2n的值为9．
16．（23-24八年级上·广东汕头·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a−3ab−4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式=2a−3ab−4−6b=a2−3b−22−3b=2−3ba−2；
解法二：原式=2a−4−3ab−6b=2a−2−3ba−2=a−22−3b．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2−a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2−2ab−bx+b2因式分解；
（3）若a2+b2=9，a−b=2，请用分组分解法先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，再求值．
【答案】（1）x+ax−a+1；（2）a−ba−b+x；（3）a2+b2(a−b)2，36
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由a2+b2=9，a−b=2，整体代入得出答案即可．
此题主要考查了分组分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整体代入法求代数式的值，正确分组再运用提公因式法或公式法分解因式，是解决问题的关键．
【详解】（1）x2−a2+x+a
=x2−a2+x+a
=x+ax−a+x+a
=x+ax−a+1；
（2）ax+a2−2ab−bx+b2
=a2−2ab+b2+ax−bx
=(a−b)2+xa−b
=a−ba−b+x；
（3）a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4
=a4+2a2b2+b4−2a3b+2ab3
=a2+b22−2aba2+b2
=a2+b2a2−2ab+b2
=a2+b2(a−b)2．
当a2+b2=9，a−b=2时，原式=9×22=36．
17．（24-25八年级下·福建三明·期中）阅读材料：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：
2x+2y+x2+2xy+y2
解：原式=2x+y+x+y2=x+y+2x+y
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2−ac−b2+bc=0，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】△ABC为等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
先利用因式分解，得到a+b−ca−b=0，再根据三角形的三边关系，得到a+b−c>0，推出a−b=0，即可判断的形状．
【详解】解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
∵a2−ac−b2+bc=0，
∴a2−b2−ac−bc=0，
∴a+ba−b−ca−b=0，
∴a+b−ca−b=0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a+b>c，
∴a+b−c>0，
∴a−b=0，
∴a=b，
∴△ABC为等腰三角形．
18．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读材料】某校“数学社团”的成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如a2−ab+5a−5b和x2+2xy+y2−9．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解．
方法如下：a2−ab+5a−5b=aa−b+5a−b=a+5a−b；
x2+2xy+y2−9=x+y2−32=x+y+3x+y−3．请在这种方法的启发下，解决下列问题：
【问题解决】
（1）因式分解：x3−2x2+2x−4；
（2）因式分解：x2−6xy+9y2−1；
【方法延伸】
（3）因式分解：4a2−12ab+9b2−4a+6b+1．
【答案】（1）x3−2x2+2x−4=x2+2x−2
（2）x2−6xy+9y2−1=x−3y+1x−3y−1
（3）4a2−12ab+9b2−4a+6b+1=2a−3b−12
【分析】本题主要考查因式分解，掌握分组分解法是关键．
（1）根据分组分解法求解即可；
（2）根据分组分解法求解即可；
（3）根据分组分解法求解即可．
【详解】解：（1）x3−2x2+2x−4
=x2x−2+2x−2
=x2+2x−2；
（2）x2−6xy+9y2−1
=x2−6xy+9y2−1
=x−3y2−1；
=x−3y+1x−3y−1；
（3）4a2−12ab+9b2−4a+6b+1
=4a2−12ab+9b2−4a−6b+1
=2a−3b2−22a−3b+1
=2a−3b−12．
重难点二 五项及六项式的分组分解法
19．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：x2+xy−6y2−2x+19y−15
【答案】x−2y+3x+3y−5
【分析】先把二次三项式x2+xy−6y2利用十字相乘法进行因式分解，再利用十字相乘法继续分解即可．
本题考查的是利用分组分解法进行因式分解，把多项式进行正确的分组、灵活运用十字相乘法是解题的关键．
【详解】解：x2+xy−6y2−2x+19y−15
=x−2yx+3y+−2x+19y−15
=x−2yx+3y−5x−2y+3x+3y−15
=x−2y+3x+3y−5．
20．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式：
(1)mn2−2mn+2n−4；
(2)4x2−4x−y2+4y−3；
(3)4a2+4a−4a2b2−b2−4ab2+1．
【答案】(1)(n−2)(mn+2)
(2)(2x−y+1)(2x+y−3)
(3)(2a+1)2(1+b)(1−b)
【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先分组，再利用提公因式进行因式分解即可；
（2）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；
【详解】（1）解：mn2−2mn+2n−4
=mn2−2mn+(2n−4)
=mn(n−2)+2(n−2)
=(n−2)(mn+2)．
（2）解：4x2−4x−y2+4y−3
=4x2−4x+1−y2+4y−4
=4x2−4x+1−y2−4y+4
=(2x−1)2−(y−2)2
=(2x−1−y+2)(2x−1+y−2)
=(2x−y+1)(2x+y−3)；
（3）解：4a2+4a−4a2b2−b2−4ab2+1
=4a2+4a+1−4a2b2+b2+4ab2
=(2a+1)2−b2(2a+1)2
=(2a+1)21−b2
=(2a+1)2(1+b)(1−b)．
21．（19-20七年级下·浙江·期中）把下列多项式分解因式：
（1）a2+4ab+4b2−ac−2bc
（2）ax2+bx2+bx+ax+cx2+cx
（3）a2−b2−x2+y2−2ay+2bx
（4）1+y2−2x21−y2+x41−y2
【答案】（1）a+2b−ca+2b；（2）xx+1a+b+c；（3）−x−a−b+yx+a−b−y；（4）x2y−x2+y+12
【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；
（4）利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）a2+4ab+4b2−ac−2bc
=a+2b2−ca+2b
=a+2b−ca+2b；
（2）ax2+bx2+bx+ax+cx2+cx
=ax2+bx2+cx2+ax+bx+cx
=a+b+cx2+a+b+cx
=xx+1a+b+c；
（3）a2−b2−x2+y2−2ay+2bx
=a2−2ay+y2−b2+x2−2bx
=a−y2−b−x2
=a−y+b−xa−y−b−x
=−x−a−b+yx+a−b−y；
（4）1+y2−2x21−y2+x41−y2
=1+y2−2x21+y1−y+x41−y2
=1+y−x21−y2
=x2y−x2+y+12
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．
22．（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）若a，b，c是三角形的三边长，且满足关系式a2−2bc=c2−2ab，试判断这个三角形的形状．
（2）若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，则△ABC是什么形状？
【答案】（1）三角形是等腰三角形；（2）△ABC是等边三角形
【分析】本题考查因式分解的应用；
（1）把a2−2bc=c2−2ab通过因式分解求值即可；
（2）通过把2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0配方后根据非负数的性质判断即可．
【详解】（1）∵a2−2bc=c2−2ab，
∴a2−c2+2ab−2bc=0，
∴a+ca−c+2ba−c=0，
∴a−ca+c+2b=0．
∵a+c+2b≠0，
∴a−c=0，
即a=c，
∴这个三角形是等腰三角形．
（2）∵a2+b2+c2−ab−bc−ac=0，
∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0．
∴a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+c2+a2−2ac=0，
即(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2=0．
∴a−b=0，b−c=0，a−c=0，
∴a=b，b=c，a=c，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
题型3 十字相乘法
重难点一 二次项系数为1的十字相乘法
23．（2023八年级上·全国·专题练习）十字相乘法分解因式：
(1)x2+3x+2
(2)x2−3x+2
(3)x2+2x−3
(4)x2−2x−3
(5)x2+5x+6
(6)x2−5x−6
(7)x2+x−6
(8)x2−x−6
(9)x2−5x−36
(10)x2+3x−18
(11)2x2−3x+1
(12)6x2+5x−6
【答案】(1)x+1x+2
(2)x−1x−2
(3)x−1x+3
(4)x+1x−3
(5)x+2x+3
(6)x+1x−6
(7)x−2x+3
(8)x+2x−3
(9)x−9x+4
(10)x+6x−3
(11)2x−1x−1
(12)2x+33x−2
【分析】本题主要考查十字法因式分解的应用：
（1）2=1×2，3=1+2，从而运用十字相乘法可分解因式；
（2）2=−1×−2，−3=−1+−2，从而运用十字相乘法可分解因式；
（3）−3=−1×3，2=−1+3，从而运用十字相乘法可分解因式；
（4）−3=−3×1，−2=−3+1，从而运用十字相乘法可分解因式；
（5）6=3×2，5=3+2，从而运用十字相乘法可分解因式；
（6）−6=−6×1，−5=−6+1，从而运用十字相乘法可分解因式；
（7）−6=−2×3，1=−2+3，从而运用十字相乘法可分解因式；
（8）−6=−3×2，−1=−3+2，从而运用十字相乘法可分解因式；
（9）−36=−9×4，−5=−9+4，从而运用十字相乘法可分解因式；
（10）−18=6×−3，3=6+−3，从而运用十字相乘法可分解因式；
（11）2=2×1,1=−1×−1,−3=2×−1+1×−1，从而运用十字相乘法可分解因式；
（12）6=2×3,−6=−2×3,5=3×3+2×−2，从而运用十字相乘法可分解因式
【详解】（1）x2＋3x＋2
=x2＋1+2x＋1×2
=x+1x+2；
（2）x2−3x＋2
=x2＋−1−2x＋−1×−2
=x−1x−2；
（3）x2+2x−3
=x2+−1+3+−1×3
=x−1x+3；
（4）x2−2x−3
=x2+1−3x+1×−3
=x+1x−3；
（5）x2+5x+6
=x2+2+3x+2×3
=x+2x+3；
（6）x2−5x−6
=x2+1−6x+1×−6
=x+1x−6；
（7）x2+x−6
=x2+−2+3x+−2×3
=x−2x+3
（8）x2−x−6
=x2+2−3x+2×−3
=x+2x−3；
（9）x2−5x−36
=x2+−9+4x+−9×4
=x−9x+4；
（10）x2+3x−18
=x2+6−3x+6×−3
=x+6x−3；
（11）2x2−3x+1
=2x−1x−1
（12）6x2+5x−6
=2x+33x−2．
24．（2022八年级上·全国·专题练习）十字相乘法分解因式：
(1) x2+3x+2
(2) x2−3x+2
(3) x2+2x−3
(4) x2−2x−3
(5) x2+5x+6
(6) x2−5x−6
(7) x2+x−6
(8) x2−x−6
(9) x2−5x−36
(10) x2+3x−18
【答案】(1)x+1x+2
(2)x−1x−2
(3)x+3x−1
(4)x−3x+1
(5)x+3x+2
(6)x−6x+1
(7)x+3x−2
(8)x−3x+2
(9)x−9x+4
(10)x+6x−3
【分析】用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：x2+3x+2=x+1x+2
（2）解：x2−3x+2=x−1x−2
（3）解：x2+2x−3=x+3x−1
（4）解：x2−2x−3=x−3x+1
（5）解：x2+5x+6=x+3x+2
（6）解：x2−5x−6=x−6x+1
（7）解：x2+x−6=x+3x−2
（8）解：x2−x−6=x−3x+2
（9）解：x2−5x−36=x−9x+4
（10）解：x2+3x−18=x+6x−3
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握用十字相乘法因式分解是解题的关键．
25．（2023八年级下·全国·专题练习）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
x+2x+3=x2+5x+6；x−1x+3=x2+2x−3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6=x+2x+3；x2+2x−3=x−1x+3．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x−3分解因式．这个式子的二次项系数是1=1×1，常数项−3=−1×3，一次项系数2=−1+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x−3=x−1x+3．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1)x2+7x+10= ；
(2)x2−2x−3= ；
(3)y2−7y+12= ；
(4)x2+7x−18= ．
【答案】(1)x+2x+5
(2)x−3x+1
(3)y−3y−4
(4)x+9x−2
【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；
（2）用十字相乘法分解因式即可；
（3）用十字相乘法分解因式即可；
（4）用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：∵10=2×5，2+5=7，
∴x2+7x+10=x+2x+5；
故答案为：x+2x+5；
（2）解：∵−3×1=−3，−3+1=−2，
∴x2−2x−3=x−3x+1；
故答案为：x−3x+1；
（3）解：∵−3×−4=12，−3+−4=−7，
∴y2−7y+12=y−3y−4；
故答案为：y−3y−4；
（4）解：∵9×−2=−18，9+−2=7，
∴x2+7x−18=x+9x−2；
故答案为：x+9x−2．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是熟练掌握十字相乘法，准确计算．
重难点二 二次项系数不为1的十字相乘法
26．（23-24八年级上·山东淄博·期末）因式分解：2x2−10x+12= ．
【答案】2x−2x−3
【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：2x2−10x+12=2x2−5x+6=2x−2x−3，
故答案为：2x−2x−3．
27．（2025九年级下·北京·学业考试）多项式6x3−11x2+x+4可分解为 ．
【答案】(x−1)(3x−4)(2x+1)
【分析】根据分解因式的方法，先把11x2变成6x2+5x2，再根据提公因式法和十字相乘法分解因式即可．
【详解】解析：原式=6x3−6x2−5x2+x+4，
=6x2(x−1)−5x2−x−4，
=6x2(x−1)−(x−1)(5x+4)，
=(x−1)6x2−5x−4
=(x−1)(3x−4)(2x+1)．
【点睛】本题考查了因式分解的方法——提公因式法和十字相乘法，解决此题的关键是要想到把11x2分开用．
28．（21-22七年级下·贵州铜仁·期中）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+ca≠0分解因式呢？我们已经知道：a1x+c1a2x+c2=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+a1c2+a2c1x+c1c2．反过来，就得到：a1a2x2+a1c2+a2c1x+c1c2=a1x+c1a2x+c2．我们发现，二次三项式ax2+bx+ca≠0的二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为a1x+c1a2x+c2，其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子x2−x−6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项−6也分解为两个因数的积，即−6=2×−3；然后把1，1，2，−3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×−3+1×2=−1，恰好等于一次项的系数−1，于是x2−x−6就可以分解为x+2x−3．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： x2+x−6=__________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① 2x2+5x−7=__________；
② 6x2−7xy+2y2=__________．
(3)【探究与拓展】
对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+pj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=mx+py+jnx+qy+k，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式3x2+5xy−2y2+x+9y−4=__________；
② 若关于x，y的二元二次式x2+7xy−18y2−5x+my−24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
【答案】(1)(x+3)(x−2)
(2)(2x+7)(x−1)；(2x−y)(3x−2y)
(3)(3x−y+4)(x+2y−1)；43或−78
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项−6也分解为两个因数的积，即−6=3×（−2)，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成2=1×2，常数项写成−7=−1×7，满足1×7+(−1)×2=5，写出分解结果即可．
②把x2项系数6写成6=2×3，把y2项系数2写成2=−2×（−1），满足−2×2+(−1)×3=−7，写出分解结果即可．
（3）①把x2项系数3写成3=1×3，把y2项系数-2写成−2=2×（−1），常数项-4写成−4=（−1）×4满足条件，写出分解结果即可．
②把x2项系数1写成1=1×1，把y2项系数-18写成−18=−2×9，常数项-24写成−24=3×(−8)或−24=（−3）×8满足条件，写出分解结果，计算即可．
【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项−6也分解为两个因数的积，即−6=3×（−2)，所以x2+x−6= (x+3)(x−2)．
故答案为：(x+3)(x−2)．
（2）①把二次项系数2写成2=1×2，−7=−1×7，满足1×7+(−1)×2=5，所以2x2+5x−7= (2x+7)(x−1)．
故答案为：(2x+7)(x−1)．
②把x2项系数6写成6=2×3，把y2项系数2写成2=−1×（−2），满足−2×2+(−1)×3=−7，
所以6x2−7xy+2y2= (2x−y)(3x−2y)．
故答案为：(2x−y)(3x−2y)．
（3）①把x2项系数3写成3=1×3，把y2项系数-2写成−2=2×（−1），常数项-4写成−4=（−1）×4满足条件，
所以3x2+5xy−2y2+x+9y−4= (3x−y+4)(x+2y−1)．
故答案为：(3x−y+4)(x+2y−1)．
②把x2项系数1写成1=1×1，把y2项系数-18写成−18=−2×9，常数项-24写成−24=3×(−8)或−24=（−8）×3满足条件，
所以m=3×9+(−2)×(−8)=43或m=9×(−8)+(−2)×3=−78，
故m的值为43或-78．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
重难点三 整体应用的十字相乘法
29．（22-23七年级上·上海静安·期中）分解因式：2x2+4x2−42x2+4x−12．
【答案】4x+3x−1x+12
【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式进行因式分解即可得到答案．
【详解】解：2x2+4x2−42x2+4x−12
=2x2+4x−62x2+4x+2
=2x2+2x−3×2x2+2x+1
=4x+3x−1x+12．
【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟练掌握十字相乘法和完全平方公式是解题的关键．
30．（2022七年级上·上海·专题练习）因式分解：x2−3x−24x2−24−10x2
【答案】(x+3)(x−8)(x−4)(x+6)
【分析】先把式子化成x2−242−3xx2−24−10x2，再运用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：原式=x2−242−3xx2−24−10x2
=(x2−24−5x)(x2−24+2x)
=(x2−5x−24)(x2+2x−24)
=(x+3)(x−8)(x−4)(x+6)
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是学会用十字相乘法进行因式分解．
31．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）分解因式：
(1)(x2+3x−9)(x2+3x+1)+25；
(2)(2a+3b)2−4(2a+3b)−12．
【答案】(1)(x−1)2(x+4)2
(2)(2a+3b+2)(2a+3b−6)
【分析】该题主要考查了换元法进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的常见方法．
（1）设y=x2+3x+1，将原式变形再运用完全平方公式和十字相乘法求解即可；
（2）设y=2a+3b，将原式变形再运用十字相乘法求解即可；
【详解】（1）解：设y=x2+3x+1
原式=(y−10)y+25
=y2−10y+25
=(y−5)2
=x2+3x−42
=x+4x−12
=(x−1)2(x+4)2
（2）解：设y=2a+3b，
原式=y2−4y−12
=(y+2)(y−6)
=(2a+3b+2)(2a+3b−6)．
题型4 拆添项法
重难点一 添项法
32．（2023七年级下·全国·专题练习）因式分解：(x2−3x)2−2(x2−3x)−8．
【答案】(x−1)(x−2)(x−4)(x+1)
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式化简，再利用十字相乘进行因式分解即可．
【详解】解：原式=x2−3x2−2x2−3x+1−9
=x2−3x−12−32
=x2−3x−1+3x2−3x−1−3
=(x2−3x+2)(x2−3x−4)
=(x−1)(x−2)(x−4)(x+1)．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式以及十字相乘是解题的关键．
33．（2025八年级上·全国·专题练习）运用添项法分解因式：a2−4am−n2+4mn．
【答案】a−na−4m+n．
【分析】本题考查了分解因式.
通过添项将原式化为完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可
【详解】原式=a2−4am+4m2−4m2−n2+4mn
=a2−4am+4m2−4m2+n2−4mn
=a−2m2−2m−n2
=a−2m+2m−na−2m−2m+n
=a−na−4m+n．
34．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式．但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax−3a2
=x2+2ax+a2−a2−3a2
=x+a2−4a2
=x+a2−2a2
=x+3ax−a
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
(1)因式分解：x2+2x−3=__________；
(2)若△ABC的三边长是a，b，c，满足a2+b2−12a−6b+45=0，且c为偶数，求△ABC的周长的最小值；
(3)当x为何值时，多项式−2x2−8x+1有最大值？并求出这个最大值．
【答案】(1)x−1x+3
(2)13
(3)x=−2，9
【分析】本题考查了配方法，三角形三边关系，分解因式的应用，解题的关键是正确理解题意给出的方法，本题属于基础题型．
（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式；
（2）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，根据三角形三边关系确定c的值，由三角形周长可得结论；
（3）根据配方法即可求出答案．
【详解】（1）解：x2+2x−3
=x2+2x+1−1−3
=x+12−4
=x+1−2x+1+2
=x−1x+3；
（2）解：∵a2+b2−12a−6b+45=0，
∴a2−12a+36+b2−6b+9=0，
∴a−62+b−32=0，
∴a−6=0，b−3=0，
解得：a=6，b=3，
∵△ABC的三边长是a，b，c，
∴3b．
(1)观察图形，可以发现式子2a2+5ab+2b2可以因式分解为______．
(2)若图中阴影部分的面积为242cm2，大长方形纸板的周长为78cm，求图中空白部分的面积．
【答案】(1)2a+b2b+a
(2)120cm2
【分析】本题考查了因式分解的几何意义以及完全平方公式的应用，解决本题的关键是观察图形，找到a与b与面积的关系．
（1）通过长方形的面积表示，将长方形拆解为2块大正方形，2块小正方形，5块小长方形的面积和，由此可因式分解；
（2）根据完全平方公式结合长方形的周长，面积公式求解即可．
【详解】（1）解：观察图形可知，2a2+5ab+2b2表示的是长方形的总面积，
∴2a2+5ab+2b2=(a+2b)(2a+b)，
故答案为：(a+2b)(2a+b)；
（2）解：∵阴影部分的面积为242cm2，大长方形的周长为78cm，
∴2a2+2b2=242，22a+b+2b+a=78，
化简可得a2+b2=121，a+b=13，
∵a+b2−2ab=a2+b2，
∴ab=24，
∴空白部分的面积为5ab=120．
答：图中空白部分的面积为120cm2．
57．（24-25八年级下·山东青岛·期末）我们不仅可以用几何图形直观地解释多项式乘法，还可以用几何图形直观地将多项式因式分解．
小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系你能得到的多项式乘法公式是______；
(2)如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+4ab+3b2因式分解，其结果是a2+4ab+3b2=______；
(4)动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图把多项式a2+5ab+6b2因式分解，画出拼图的图形并写出因式分解的结果．
【答案】(1)a+b2=a2+b2+2ab
(2)2，3
(3)(a+b)(a+3b)
(4)见解析，a2+5ab+6b2=(a+2b)(a+3b)
【分析】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景、因式分解的意义，解决本题的关键运用数形结合的思想解决问题．
（1）运用数形结合的思想分解因式即可；
（2）求出大长方形的面积，就可求出2号卡片2张，3号卡片3张；
（3）根据图形可知a2+4ab+3b2=a+ba+3b；
（4）先画出图形，然后结合图形知道a2+5ab+6b2=(a+2b)(a+3b)．
【详解】（1）解：(a+b)2=a2+b2+2ab；
（2）解：1号卡片的面积是a×a=a2，
2号卡片的面积是b×b=b2，
3号卡片的面积是ab，
a+2ba+b，
=a2+ab+2ab+2b2
=a2+3ab+2b2，
所以需要2号卡片2张，3号卡片3张；
（3）解：a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b)；
故答案为：(a+b)(a+3b)；
（4）解：如图：
a2+5ab+6b2=(a+2b)(a+3b)．
58．（24-25八年级上·江西赣州·期末）综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到a+b2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若x+y=4，x2+y2=9，求xy的值．
【类比应用】（2）若x4−x=2，则x2+4−x2= ．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（∠AOB=∠COD=90°）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接AC，BD．若AD=12，S△AOC+S△BOD=40，求一块直角三角板的面积．
（4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且a>b．观察图形，分解因式2a2+5ab+2b2= ．
【答案】（1）3.5；（2）12；（3）16；（4）2a+ba+2b
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形即可求解．
（2）将x4−x=2看成ab=2，进而根据a2+b2=a+b2−2ab，即可求解；
（3）设AO=CO=x，BO=DO=y，根据S△AOC+S△BOD=12x2+12y2=40可得x2+y2=80，而2xy=(x+y)2−x2+y2=64，进而根据完全平方公式变形即可求解．
（4）结合图形由长方形的面积为2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵x+y=4
∴x+y2=x2+2xy+y2=16
又∵x2+y2=9
∴2xy=7，
∴xy=3.5；
（2）∵x4−x=2，则x2+4−x2= x+4−x2−2x4−x=16−2×2=12
故答案为：12；
（3）∵两块直角三角板全等，
∴AO=CO，BO=DO，∠AOB=∠COD=90°
点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
∴∠AOC=180°−∠COD=90°，∠BOD=∠AOC=90°．
设AO=CO=x，BO=DO=y．
∵AD=AO+OD=x+y=12，
又∵S△AOC+S△BOD=12x2+12y2=40，
∴x2+y2=80，
∴2xy=(x+y)2−x2+y2=64，
∴xy=32，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12xy=16，
答：一块直角三角板的面积为16．
（4）根据图形长方形的面积为：2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2，
则分解因式2a2+5ab+2b2=2a+ba+2b．
重难点六 整除问题
59．（25-26八年级上·全国·课后作业）317−3可以被20和25之间的整数整除，求这个数．
【答案】24
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式，将317−3分解成3×38+134+132+132−1，结合原式可以被20和25之间的整数整除，即可得出这个数为24．
【详解】解：317−3
=3×316−1
=3×38+1×38−1
=3×38+1×34+1×34−1
=3×38+1×34+1×32+1×32−1．
∵3×32−1=3×8=24，24是317−3的因数，且是20和25之间的整数，
∴这个数是24．
60．（25-26八年级上·全国·单元测试）32000−4×31999+10×31998能被7整除吗？试说明理由．
【答案】能被7整除，见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用。根据题意先分解因式得出7与一个数的乘积的形式，即可说明32000−4×31999+10×31998能被7整除．
【详解】解：因为32000−4×31999+10×31998
=31998×(32−4×3+10)=31998×7，
所以32000−4×31999+10×31998能被7整除．
61．（2025八年级上·全国·专题练习）设n为整数，用因式分解说明2n+12−25的值能被4整除．
【答案】见解析
【分析】该题考查了因式分解的应用，判断一个多项式能否被某个数整除，只需对该多项式进行因式分解，看分解后的因式中是否含有该数即可．
【详解】解：(2n+1)2−25
=2n+1+52n+1−5
=2n+62n−4
=4n+3n−2，
∵n为整数，
∴n+3和n−2均为整数，
∴(2n+1)2−25的值能被4整除．
62．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知整式A=3m+2,B=3m−2,m为任意有理数．
(1)A⋅B+4的值可能为负数吗？请说明理由；
(2)试说明：当m是整数时，A2−B2的值一定能被24整除．
【答案】(1)不可能，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，整式的混合运算．
（1）利用平方差公式，整式的混合运算计算；
（2）利用平方差公式计算．
【详解】（1）解：∵A=3m+2,B=3m−2,m为任意有理数，
∴A⋅B+4
=(3m+2)(3m−2)+4
=9m2−4+4
=9m2，
∵9m2≥0，
∴A⋅B+4的值不可能为负数；
（2）解：A2−B2
=(3m+2)2−(3m−2)2
=(3m+2+3m−2)(3m+2−3m+2)
=6m⋅4
=24m，
∵m是整数，
∴24m能被 24 整除．
∴m是整数时，A2−B2的值一定能被 24 整除．
63．（24-25八年级下·河北保定·期末）观察：
观察下列各式：7+22−22=11×7；7+42−42=15×7；7+62−62=19×7…………
发现：
比任意一个偶数大7的数与此偶数的平方差都能被7整除．
验证：
（1）7+102−102的结果是7的 倍；
（2）设偶数为2n，试说明比2n大7的数与2n的平方差都能被7整除；
延伸：
（3）请利用整数k说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3”．
【答案】（1）27；（2）见解析；（3）见解析
【分析】本题主要考查了运用平方差公式分解因式、分解因式的应用等知识点，灵活运用因式分解成为解题的关键．
（1）先运用平方差公式化简7+102−102即可解答；
（2）根据“比2n大7的数与2n的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答；
（3）根据“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差”列式，再利用平方差公式计算即可解答；
【详解】解：（1）∵7+102−102=7+10+107+10−10=27×7，
∴7+102−102的结果是7的27倍．
故答案为：27．
（2）设偶数为2n，则比2n大7的数为2n+7，
由题意得：2n+72−2n2，
=2n+7−2n2n+7+2n
=74n+7，
∵4n+7为整数，
∴74n+7能被7整除，
∴比2n大7的数与2n的平方差都能被7整除．
（3）∵比整数k大3的数为k+3，
∴k+32−k2=k+3−kk+3+k=32k+3=6k+9，
∵6k+9=6k+6+3，
∴6k+9被6整除的余数是3，
∴比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3．
因式分解：x+y2+2x+y+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12．再将“A”还原，可以得到：原式=x+y+12．
十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中.
拆项是把多项式中的某项拆成两项或者几项的和或差，而添项是把多项式添上两个互为相反数的项.进行拆项或者添项以后，需要能够应用分组分解法进行因式分解.分组分解后，提出每一组的公因式.
配方法因式分解
一般的，我们将形如a2±2ab+b2的多项式叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用．
例如，我们可以用配方法将多项式x2+2x−3因式分解：
x2+2x−3=x2+2x+1−4=x+12−22=x+1+2x+1−2=x+3x−1．
x2−36y2+2x−12y．
解：原式=x2−36y2+2x−12y 第一步
=x−6yx+6y+2x−6y 第二步
=x−6yx+6y+2． 第三步