数学八年级上册（2024）18.1.2 分式的基本性质同步训练题

这是一份数学八年级上册（2024）18.1.2 分式的基本性质同步训练题，文件包含培优01分式章节难点突破4种题型14种重难点突破专项训练原卷版八年级数学上册同步培优备课系列人教版20242025-2026docx、培优01分式章节难点突破4种题型14种重难点突破专项训练解析版八年级数学上册同步培优备课系列人教版20242025-2026docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。

题型1 分式的化简求值
重难点一 见比设k法
解题方法：如果已知条件中存在多个未知数之比时，可以令未知数之比等于k，用含k的式子表示出未知
数的值，代入求解.
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读下面例题解法：
例：已知x2=y4=z3，求分式x+yx−2y+3z的值．
解：方法一：由x2=y4，得y=2x①，由x2=z3，得z=32x②，把①和②代入原式，得
原式=x+2xx−2×2x+3×3x2=3x32x=2．
方法二：设x2=y4=z3=k，则x=2k，y=4k，z=3k，把它们代入原式，得
原式=2k+4k2k−2×4k+3×3k=6k3k=2．
根据以上解题方法解答下题：
已知x:y=2:3，y:z=1:2，试求分式2x2+3xy+5y2x2−2xz+z2的值．
【答案】7116
【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：y=32x，z=2y=3x，再代入计算即可．方法二：由条件可得x:y:z=2:3:6，设x=2k，则y=3k,z=6k，再代入计算即可．
【详解】解：方法一：∵x:y=2:3，y:z=1:2，
∴y=32x，z=2y=3x，
∴2x2+3xy+5y2x2−2xz+z2
=2x2+3x⋅32x+5×94x2x2−2x⋅3x+9x2
=714x24x2
=7116；
方法二：∵x:y=2:3，y:z=1:2=3:6，
∴x:y:z=2:3:6，
设x=2k，则y=3k,z=6k，
∴2x2+3xy+5y2x2−2xz+z2
=2×4k2+3×2k×3k+5×9k24k2−2×2k×6k+36k2
=71k216k2
=7116．
2．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知2x−y3=2y−z4=2z−x5，则x+y+z2x−y= ．
【答案】4
【分析】本题考查了利用等比性质和等式的性质化简求分式的值，明确等比性质和等式的性质是解题的关键．
设2x−y3=2y−z4=2z−x5=k，利用等比性质和等式的性质化简，可得x+y+z=12k，2x−y=3k，再代入要求得式子计算即可．
【详解】解：设2x−y3=2y−z4=2z−x5=k k≠0，
则2x−y+2y−z+2z−x3+4+5=k，
∴x+y+z=12k，2x−y=3k，
∴x+y+z2x−y=12k3k=4，
故答案为：4．
3．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如果x+32=y−13=z−24，且x+y+z=18，则2x−y−z的值为 ．
【答案】−15
【分析】此题考查了比例的性质，设x+32=y−13=z−24=k，得出x=2k−3，y=3k+1，z=4k+2，再根据x+y+z=18，求出k的值，从而得出x，y，z的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：设x+32=y−13=z−24=k，
则x=2k−3，y=3k+1，z=4k+2，
∵x+y+z=18，
∴2k−3+3k+1+4k+2=18，
∴k=2，
∴x=1，y=7，z=10，
∴2x−y−z=2−7−10=−15；
故答案为−15．
4．（23-24六年级上·上海·阶段练习）已知13x:14y=1:2, y:27z=4，则3z2x+y= ．
【答案】32
【分析】本题考查了比的应用，先根据已知条件，利用比的性质化简得x:y:z=3:8:7，设x=3k（k≠0），y=8k，z=7k， 再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵13x:14y=1:2, y:27z=4，
∴14y=23x，y=87z，
∴8x=3y，7y=8z，
∴x:y=3:8，y:z=8:7，
∴x:y:z=3:8:7，
设x=3k（k≠0），y=8k，z=7k，
∴3z2x+y=21k6k+8k=21k14k=32，
故答案为：32．
5．（山东省威海市文登区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题（五四制））若zx+y=xy+z=yx+z=k，则k= ．
【答案】12或−1
【分析】本题考查比例的性质，运用整体思想是解决本题的关键，需要注意的是：由于x+y+z可能为0，因此求k的过程中，要分两种情况求解．
由xy+z=yx+z=zx+y=k可得，x=ky+kz①，y=kx+kz②，z=kx+ky③，然后把三个式子相加，整理可得x+y+z=2k(x+y+z)，然后分两种情况求解即可．
【详解】解：由xy+z=yx+z=zx+y=k可得，x=ky+kz①,y=kx+kz②,z=kx+ky③，
①+②+③得，x+y+z=ky+kz+kx+kz+kx+ky，
整理可得x+y+z=2k(x+y+z)，
当x+y+z=0时，y+z=−x，
∴k=xy+z=−1；
当x+y+z≠0时，2k=1，
∴k=12．
故答案为：12或−1．
6．（20-21九年级上·全国·课后作业）阅读下面的解题过程，然后解题：
题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，
则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）
于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，
依照上述方法解答下列问题：
已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．
【答案】−13．
【分析】设y+zx=z+xy=x+yz=k，根据比例的性质得到x=y=z，计算即可．
【详解】解：设y+zx=z+xy=x+yz=k，
则y+z=xk，z+x=yk，x+y=zk，
∴2（x+y+z）=k（x+y+z），
解得，k=2，
∴y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z，
解得，x=y=z，
则x−y−zx+y+z=−13．
【点睛】本题考查的是比例的性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
7．（18-19八年级下·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x，y，z满足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x−y−z的值”时，采用了引入参数法k，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x，y，z之间的关系，从而解决问题.过程如下：
解；设y+zx=z+xy=x+yz=k，则有：
y+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，
将以上三个等式相加，得2x+k+z=kx+y+z.
∵ x，y，z都为正数，
∴ k=2，即y+zx=2，.
∴ 2x−y−z=0.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数x，y，z满足x2y+z=y2z+x=z2x+y=k，求k的值；
（2）已知a+ba−b=b+c2b−c=c+a3c−a，a，b，c互不相等，求证：8a+9b+5c=0.
【答案】（1）k=13；（2）见解析．
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．
【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足x2y+z=y2z+x=z2x+y=k，
∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），
∴x+y+z=3k（x+y+z），
∵x、y、z均为正数，
∴k=13；
（2）证明：设a+ba−b=b+c2(b−c)=c+a3(c−a)=k，
则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），
∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），
∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，
∴8a+9b+5c=0．
故答案为（1）k=13；（2）见解析．
【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
重难点二 整体代入法
解题方法：可以使用整体代换法的题目，往往需要建立已知条件与目标式子之间的联系，用已知条件变形
后在目标式子中进行代换求值.
8．（2025·四川成都·三模）已知a+3b=−2，则3ba−3b+1⋅a2−9b2a的值为 ．
【答案】−2
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通过分式的运算化简代数式，再代入已知条件求值．
先对括号内的分式进行通分相加，再将分子因式分解，通过约分简化代数式；最后将已知条件整体代入化简后的式子计算结果．
【详解】解：原式=3ba−3b+a−3ba−3b⋅(a+3b)(a−3b)a
=3b+a−3ba−3b⋅(a+3b)(a−3b)a
=aa−3b⋅(a+3b)(a−3b)a
=a+3b.
∵a+3b=−2，
∴原式的值为−2．
故答案为：−2．
9．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）已知1x−1y=3，则分式2x+3xy−2yx−2xy−y的值为 ．
【答案】35/0.6
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键．
由1x−1y=3可得xy≠0，再根据分式的基本性质将2x+3xy−2yx−2xy−y化为−21x−1y+3−1x−1y−2，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵1x−1y=3，
∴x≠0，y≠0，
∴xy≠0．
∴2x+3xy−2yx−2xy−y=2x+3xy−2yxyx−2xy−yxy=2y−2x+31y−1x−2=−21x−1y+3−1x−1y−2=−3×2+3−3−2=35．
故答案为：35．
10．（25-26八年级上·全国·单元测试）若x−3y=0，且x≠0，则x+2xy+y2x⋅xx2−y2的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式的通分与化简、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
先化简式子，然后根据条件式计算即可．
【详解】解：x+2xy+y2x⋅xx2−y2
= x2+2xy+y2x·xx2−y2
=x+y2x·xx+yx−y
=x+yx−y，
∵x−3y=0，且x≠0，
∴x=3y，
∴原式=3y+y3y−y
=4y2y
=2．
故答案为：2 ．
11．（22-23八年级上·河南南阳·期中）阅读下列文字，并解决问题．
已知x2y=3，求2xy(x5y2−3x3y−4x)的值．
分析：考虑到满足x2y=3的x，y的可能值较多，不可能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入．
解：2xy(x5y2−3x3y−4x)
=2x6y3−6x4y2−8x2y
=2(x2y)3−6(x2y)2−8x2y
=2×33−6×32−8×3
=−24．
请你用上述方法解决问题：
(1)已知ab=2，求(2a3b2−3a2b+4a)⋅(−2b)的值；
(2)已知x−1x=3，求x2+1x2的值．
【答案】(1)−24
(2)11
【分析】（1）根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据题目中的整体代入思想，把已知代入，可得答案；
（2）利用完全平方公式将(x2+1x2)变形为(x−1x)2+2，然后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：∵ab=2，
∴(2a3b2−3a2b+4a)⋅(−2b)
=−4a3b3+6a2b2−8ab
=−4(ab)3+6(ab)2−8ab
=−4×23+6×22−8×2
=−24；
（2）∵x−1x=3，
∴x2+1x2
=x2−2+1x2+2
=(x−1x)2+2
=32+2
=11．
【点睛】本题主要考查了整式和分式的运算以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握单项式乘以多项式法则、完全平方公式，并运用整体代入解决问题．
12．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题：
×年×月×日，星期日
整体代入法求分式的值
今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知1x−1y=2xy≠0求分式3x−5xy−3yx+6xy−y的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法：
方法1：1x−1y=2，∴y−xxy=2∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy，
∴原式＝3x−y−5xyx−y+6xy=3×−2xy−5xy−2xy+6xy=−11xy4xy=−114
方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得，
原式＝3x−5xy−3y÷xyx+6xy−y÷xy=...
(1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 ．
(2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整．
(3)若b=ab+a（a，b都不为0），请直接写出5b−7ab−5aa−ab−b的值．
【答案】(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）根据分式的基本性质求解；
（2）将分式的分子、分母同时除以xy得原式=3(1y−1x)−51y−1x+6，然后利用整体代入的方法计算；
（3）把a﹣b＝﹣ab代入分式中化简即可．
【详解】（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）∵xy≠0，
∴原式＝(3x−5xy−3y)÷xy(x+6xy−y)÷xy
＝3y−5−3x1y+6−1x
＝3(1y−1x)−51y−1x+6，
∵1x −1y=2，
∴1y ﹣1x=−2，
∴原式=3×(−2)−5−2+6 =−114；
（3）∵b=ab+a，
∴a﹣b=﹣ab，
∴5b−7ab−5aa−ab−b =−5(a−b)−7aba−b−ab= −5×(−ab)−7ab−ab−ab= −2ab−2ab=1．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：灵活运用分式的基本性质是解决问题的关键．也考查了整体代入的方法．
重难点三 直接代入法
13．（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：x+1x−2+1÷2x2−xx2−4．其中x=−3．
【答案】x+2x，13
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=x+1x−2+x−2x−2÷x2x−1x+2x−2
=2x−1x−2·x+2x−2x2x−1
=x+2x．
当x=−3时，原式=−3+2−3=13．
14．（2024·四川广安·中考真题）先化简a+1−3a−1÷a2+4a+4a−1，再从−2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
【答案】a−2a+2，a=0时，原式=−1，a=2时，原式=0.
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可.
【详解】解：a+1−3a−1÷a2+4a+4a−1
=a2−1a−1−3a−1÷(a+2)2a−1
=(a+2)(a−2)a−1⋅a−1(a+2)2
=a−2a+2
∵a≠1且a≠−2
∴当a=0时，原式=−1；
当a=2时，原式=0.
15．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）先化简，再求值：8a+3+a−3÷a2+2a+1a+3−aa+1，其中a为不等式组a−1≤−2−2≤a2−14的整数解．
【答案】−1a+1；1
【分析】先通分，利用平方差公式，完全平方公式计算，然后进行除法运算，最后进行减法运算可得化简结果，解一元一次不等式组得整数解，根据分式有意义的条件确定a值，最后代入求解即可．
【详解】解：8a+3+a−3÷a2+2a+1a+3−aa+1
=8+a−3a+3a+3÷a+12a+3−aa+1
=a+1a−1a+3×a+3a+12−aa+1
=a−1a+1−aa+1
=−1a+1；
a−1≤−2−2≤a2−14，
解a−1≤−2，得，a≤−1，
解−2≤a2−14，得，a≥−3.5，
∴−3.5≤a≤−1，
∴整式解为−3，−2，−1，
∵a+3≠0，a+1≠0，
∴a≠−3，a≠−1，
∴a=−2，
当a=−2时，原式=−1−2+1=1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件等知识．熟练掌握分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件是解题的关键．
16．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：mm−3+7m−49−m2÷4−2mm+3，再求值．
【答案】m−26−2m，−25．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出m的值，把m的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出m的值是解题的关键．
【详解】解：mm−3+7m−49−m2÷4−2mm+3
=mm−3−7m−4m2−9÷22−mm+3，
=mm+3m+3m−3−7m−4m+3m−3×m+322−m，
=m2+3mm+3m−3−7m−4m+3m−3×m+322−m，
=m2−4m+4m+3m−3×m+322−m，
=m−22m+3m−3×m+3−2m−2，
=m−2−2m−3，
=m−26−2m，
∵32−5=4，
∴32−5的平方根为±2，
∵4−2m≠0，
∴m≠2，
又∵m为32−5的平方根，
∴m=−2，
∴原式=−2−26−2×−2=−25．
17．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：a2−b2a2−2ab+b2+1−a−ba−b，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）

【答案】1a−b；−15
【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计算即可．
【详解】解：依题意，a=−3，1