数学八年级上册（2024）18.1.2 分式的基本性质一课一练

这是一份数学八年级上册（2024）18.1.2 分式的基本性质一课一练，文件包含培优02分式章末12种题型归类专项训练原卷版八年级数学上册同步培优备课系列人教版20242025-2026docx、培优02分式章末12种题型归类专项训练解析版八年级数学上册同步培优备课系列人教版20242025-2026docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。

题型1 分式有无意义/值为0的条件
1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）当x 时，分式2x2x−5有意义．当 时，分式x−5x2−4x−5的值为0．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）若(x+1)0−3(2x−1)−1有意义，则x的取值范围为 ．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式32a−3有意义，则分母2a−3 0，则a应满足 ；
（2）若分式24x+1没有意义，则分母4x+1 0，则x应满足 ．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）x取何值时，下列分式的值是零？
(1)x2−1x+1x+2；
(2)x−2x+1x+2．
题型2 分式的基本性质
5．（2020·河北·中考真题）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．a+2b+2=abB．a−2b−2=abC．a2b2=abD．12a12b=ab
6．（24-25八年级上·广西南宁·期中）把分式x2+y2xy中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的13B．不变
C．扩大为原来的6倍D．扩大为原来的3倍
7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不改变分式的值，将分式x−+3b中各项系数均化为整数，结果为（ ）．
A．x−2x22a+3bB．50x−x210a+150bC．50x−2x210a+3bD．x−2x210a+150b
8．（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）若3a−2x2−3a2−x=xx−2成立，则a的取值范围是 ．
9．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
(1)−3b−5a；
(2)−−3m−5n；
(3)−3x−3−2x；
(4)−2−3x+2．
题型3 最简分式与最简公分母的识别
10．（23-24八年级下·广东深圳·期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A．x2y2B．x2+y2x2−y2C．a+2a−3D．2x+y2xy+y2
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式12c4a、a2+b23(a+b)、4a2−b22a−b、a−bb−a中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（22-23八年级下·江苏常州·期中）有下列分式：①a+2a2−4；②5xyx2−xy；③14a21(a−b)；④x+3x2−6x+9；⑤a2+b2a2−b2．其中是最简分式的有 ．（填序号）
13．（22-23七年级·上海·假期作业）下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式．
(1)x2−4x+4x2−4；
(2)3aa−b64b−a3．
14．（2024八年级下·江苏·专题练习）分式1x2+5x与1x2−25的最简公分母是( )
A．xx+5B．x+5x−5C．xx−5D．xx+5x−5
15．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式23a，a−1−2a2，24a3的最简公分母是（ ）
A．24a2B．24a3C．12a3D．6a3
16．（21-22八年级上·河南三门峡·期末）1a+1−1a2−2a+1+11−a的最简公分母是( )
A．a+1a−1B．a+1a2−2a+1a−1C．a−1a2−2a+1D．a+1a−12
题型4 约分与通分
17．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算．
(1)约分：a2+4ab+4b2a2−4b2 ；
(2)通分：ba2−ab，a−ba2+ab．
18．（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）通分：2xy(x+y)2和xx2−y2；（2）约分：m2−n2m2+2mn+n2
19．（23-24八年级上·全国·课堂例题）约分：
(1)−12ab2c38a2b2c；
(2)x−y(x−y)2；
(3)−x2+362x+12．
20．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）（1）化简分式：x2−4x2−4x+4．
（2）通分：aa2−1，12a−2．
21．（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）通分：
(1)xx−y，yx2+2xy+y2，2x2−y2；
(2)12x+2，3x2−1，xx2+2x+1．
题型5 分式的混合运算
22．（2022·江西·中考真题）以下是某同学化简分式x+1x2−4−1x+2÷3x−2的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
23．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算：
(1)xy−yx+x2+y2xy；
(2)x−2x−1⋅x2−1x2−4x+4−1x−2．
24．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）计算：
(1)3x−61−x−x+5x2−x
(2)x−yx+3y÷x2−y2x2+6xy+9y2−2yx+y
25．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）计算：
(1)x+2⋅2xx2−4−4x−2​；
(2)1−1x−1÷x2−4x+4x2−1​
26．（24-25八年级上·山东烟台·期中）计算：
(1)a2a−1−a+1；
(2)−a2bc3⋅−c2a22÷−bca4；
(3)3−m2m−4÷m+2−5m−2．
题型6 分式的化简求值问题
27．（2025·重庆·中考真题）先化简，再求值：x+13x−1−x3x+1+x2−xx2+2x+1÷1x−2x+1，其中x=−3+(π−4)0．
28．（2022·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：3x−1−x−1÷x2−4x+4x−1，其中x=3．
29．（24-25八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：−6xx−3−x+3÷x2+9x÷3xx2−9，请从−3、−2、0、3中选取合适的x的值代入．
30．（2025·北京·中考真题）已知a+b−3=0，求代数式4a−b+8ba2+2ab+b2的值．
31．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】
阅读下面的解题过程：已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值；
解：由xx2+1=13知x≠0，∴ x2+1x=3，即x+1x=3①
∴ x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7②，故x2x4+1的值为17．
（1）第②步x2+1x2=x+1x2−2运用了公式：________；（要求：用含a、b的式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知：xx2−3x+1=−2，求x2x4+5x2+1的值．
【拓展延伸】
（3）已知：aba+b=115，bcb+c=117，aca+c=116．求abcab+bc+ac的值．
32．（23-24八年级上·山东烟台·期中）用数学的眼光观察：
同学们，在学习中，你会发现“x+1x”与“x−1x”有着紧密的联系，请你认真观察等式：x+1x2=x2+2+1x2，x−1x2=x2−2+1x2．
用数学的思维思考并解决如下问题：
(1)填空：a+1a2−a−1a2=______；
(2)计算：
①若a+1a2=20，求a−1a的值；
②若a2+a−1=0，求a+1a的值；
③已知1a−a=1，求1a+a的值．
题型7 零指数幂与负指数幂
33．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2 30．（选填＞，＝，＜）
34．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）若x满足(x−2)x+1=1，则整数x的值为 ．
35．（2023·湖南·中考真题）已知实数a，b满足a−22+b+1=0，则ab= ．
36．（23-24八年级上·广东广州·期末）已知△ABC的三边分别为3，a−2，7，且a为偶数，则代数式4a2b−3⋅−a−1b3的值为 ．
题型8 用科学记数法表示较小的数
37．（23-24八年级上·湖南永州·期中）2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A．2.8×10−10B．2.8×10−8C．2.8×10−6D．2.8×10−9
38．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学计数法表示这个数（ ）
A．1.6×10−12米B．1.6×10−13米C．16×10−12厘米D．1.6×10−13厘米
39．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）用科学记数法表示的数5.12×10−3，用小数表示为 ．
40．（2020·江苏南京·中考真题）纳秒(ns)是非常小的时间单位，1ns=10−9s，北斗全球导航系统的授时精度优于20ns，用科学记数法表示20ns是 ．
41．（21-22六年级下·山东烟台·期中）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
(3)在（2）的条件下，若P=4×1012，求QP的值．（结果用科学记数法表示）
题型9 解分式方程
42．（24-25八年级上·新疆和田·期末）解方程：
(1)3x−2=1−x2−x−3；
(2)3x−1+2x+1=6x2−1．
43．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程1x2+9x+20+1x2+11x+30+1x2+13x+42+1x2+15x+56=4x2+28．
44．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）用你发现的规律解答下列问题．11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14
(1)计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=_______．
(2)探究11×2+12×3+13×4+……+1n(n+1)=_______．（用含有n的式子表示）
(3)若11×3+13×5+15×7+……+1(2n−1)(2n+1)的值为1735，求n的值．
(4)解方程：1x(x+3)+1(x+3)(x+6)+1(x+6)(x+9)=32x+18
45．（2025八年级上·全国·专题练习）换元法解方程：x−1x+2−9x+2x−1=0．
46．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小红计算2xx−2+3−x2−x和小明解方程2xx−2+3−x2−x=1的过程如下：
(1)在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是 （填写“小红”或“小明”)；
(2)请你写出正确的解答过程．
题型10 含参问题
47．（23-24八年级上·全国·课后作业）若关于x的分式方程3−2xx−2−mx−22−x=−1无解，求m的值．
48．（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程a3x+4−b−xx−2=1．
(1)当a=2，b=1时，求分式方程的解；
(2)当a=1时，求b为何值时分式方程a3x+4−b−xx−2=1无解；
(3)若a=2b，且a，b为正整数，当分式方程a3x+4−b−xx−2=1的解为非负整数时，求b的值．
49．（21-22八年级上·山东济南·期中）已知关于x的分式方程x−ax−2−5x=1
(1)若分式方程的根是x=5，求a的值
(2)若分式方程有增根，求a的值
(3)若分式方程有无解，求a的值
50．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于x的方程xx−3−2=mx−3的解是正数，求m的取值范围．
51．（24-25八年级上·山东威海·期中）关于x的分式方程ax−3x−2+1=3x−12−x的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组3y−22≤y−1y+3>a有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？
52．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x的分式方程mx−2+32−x=1的解是非负数，求m的取值范围．
53．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知关于x的分式方程2xx+1−kx2+x=x+1x只有一个实数解，求k值．
题型11 分式方程与实际问题
54．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度．
55．（2023·广东·中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．
56．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦·时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量．
57．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
58．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
题型12新定义问题
59．（24-25八年级上·广东湛江·期末）我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
例如分式A=2xx+1，B=−2x+1，A−B=2xx+1−−2x+1=2x+2x+1=2x+1x+1=2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
(1)已知分式C=1x+2，D=x2+5x+6x2+4x+4，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”；
(2)已知分式P=E9−x2，Q=2x3−x，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式．
60．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即A−B=AB，则称分式B是分式A的“友好分式”．如1x+1与1x+2．因为1x+1−1x+2=1x+1x+2，1x+1×1x+2=1x+1x+2．所以1x+2是1x+1的“友好分式”．
(1)填空：分式1x+4______分式1x+3的“友好分式”．（填“是”或“不是”）
(2)已知分式2x+23x+2是分式A的“友好分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(3)若关于x的分式n+2mx+m2+n是关于x的分式m−2mx+n2的“友好分式”，求m−nx2+2xx2+m+nx+2的最小值．
61．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）对a，b定义一种新运算M，规定Ma,b=3aba−b，这里等式右边是通常的四则运算，例如：M1,2=3×1×21−2=−6，如果M1,2x=M4,−1，求实数x的值；
62．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）观察下列方程及其解的特征：
①x−1x=32的解为x1=2，x2=−12；
②x−1x=83的解为x1=3，x2=−13；
③x−1x=154的解为x1=4，x2=−14；
……
解答下列问题：
(1)第4个方程x−1x=245的解为________．
(2)请猜想第n个方程为_______；第n个方程的解为_______．
(3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性．
63．（20-21八年级下·江苏宿迁·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式3x+1与3x1+x为“3阶分式”．
(1)当x满足条件______时，分式10x3+2x与153+2x为“5阶分式”；
(2)设正数x，y互为倒数，求证：分式2xx+y2与2yy+x2为“2阶分式”；
(3)若分式aa+4b2与2ba2+2b为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值．
64．（24-25八年级上·吉林·期末）定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a⊗b=1a−a−ba，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2⊗3=12−2−32=12+12=1．
(1)求(−2)⊗3的值；
(2)若x⊗2=1，求x的值．
65．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程ax+1=b的解是x=1a+b成立，那么我们就把实数a，b组成的数对a,b称为关于x的分式方程ax+1=b的一个“关联数对”．例如：a=2，b=−5使得关于x的分式方程2x+1=−5的解是x=12+(−5)=−13成立，所以数对2,−5就是关于x的分式方程ax+1=b的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程ax+1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．
①3,−5（ ）；
②1,−2（ ）．
(2)若数对−n,−12+n是关于x的分式方程ax+1=b的“关联数对”，求n的值．
(3)若数对2m+k,−k（m≠±12，且m≠0，k≠−1）是关于x的分式方程ax+1=b的“关联数对”，且关于x的方程kx−2m+1=−4m2m+1x有整数解，求整数m的值．
1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零.
2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可.
利用分式的基本性质，可以做到既改变分子，又改变分母，但不改变分式的值.由此可以将一个形式复杂的分式整理得简洁一些，便于后续计算或应用.
确定最简公分母的方法：
运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.
解：原式=x+1(x+2)(x−2)−1x+2×x−23①
=x+1(x+2)(x−2)−x−2(x+2)(x−2)×x−23②
=x+1−x−2(x+2)(x−2)×x−23③
…
解：
分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化.
1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误.
2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．
小红计算：2xx−2+3−x2−x
解：原式=2x−3−x
=x−3．
小明解方程：2xx−2+3−x2−x=1
解：方程两边同乘x−2
得2x−(3−x)=x−2
化简得x=12
经检验，x=12是原方程的解．
1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根.
2）分式方程无解，说明： ①原方程去分母后的整式方程无解；
②原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.
3）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的分母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根.
分式方程的应用主要就是列方程解应用题，这已成为近几年考试的热点内容之一，在列方程之前，应先弄清问题中的已知量与未知量，以及它们之间的数量关系，用含未知数的式子表示相关量，然后用题中的主要相等关系列出方程，求出解后，必须进行检验，既要检验是不是所列分式方程的根，又要检验是否符合题意.