初中数学解直角三角形学案设计

这是一份初中数学解直角三角形学案设计，文件包含专题72解直角三角形举一反三讲义数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题72解直角三角形举一反三讲义数学苏科版九年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共59页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc2240" 【题型1 已知两边解直角三角形】 PAGEREF _Tc2240 \h 2
\l "_Tc23002" 【题型2 已知一锐角和一边解直角三角形】 PAGEREF _Tc23002 \h 3
\l "_Tc24763" 【题型3 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形】 PAGEREF _Tc24763 \h 3
\l "_Tc22910" 【题型4 解一图多三角形的直角三角形】 PAGEREF _Tc22910 \h 4
\l "_Tc4916" 【题型5 解非直角三角形】 PAGEREF _Tc4916 \h 6
\l "_Tc21890" 【题型6 四边形中解直角三角形】 PAGEREF _Tc21890 \h 7
\l "_Tc28153" 【题型7 网格中解直角三角形】 PAGEREF _Tc28153 \h 8
\l "_Tc15713" 【题型8 坐标系中解直角三角形】 PAGEREF _Tc15713 \h 9
\l "_Tc8177" 【题型9 解直角三角形与函数】 PAGEREF _Tc8177 \h 10
\l "_Tc29784" 【题型10 解直角三角形解决动点问题】 PAGEREF _Tc29784 \h 12
知识点1 解直角三角形的概念
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
知识点2 解直角三角形的依据
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）；
（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（两角互余）；
（3）边角之间的关系：sinA=ac，csA=bc，tanA=ab．
知识点3 解直角三角形的基本类型及解法
解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下：
【题型1 已知两边解直角三角形】
【例1】（24-25九年级上·福建漳州·期末）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则csα等于（ ）
A．35B．45C．34D．54
【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=23，解这个直角三角形．
【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，解这个直角三角形．
【变式1-3】在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则csC的值为（ ）
A．12或235B．12或255C．32或255D．32或235
【题型2 已知一锐角和一边解直角三角形】
【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形OABC中，∠A=∠OBC=90°，若AB=BC=1，∠AOB=α，则OC2的值为（ ）
A．1sin2α+1B．sin2α+1C．1cs2α+1D．cs2α+1
【变式2-1】（2025·广东云浮·一模）如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且BC=10米，则树高度AB为（ ）米．
A．10tanαB．10tanα C．10sinα D．10sinα
【变式2-2】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（ ）
A．2sinαB．2sinαC．2csαD．2csα
【变式2-3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，点D在线段AC上，且∠A=30°，∠BDC=60°，AD=2，则BC= ．
【题型3 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形】
【例3】（2025九年级下·河北石家庄·专题练习）如图，在等边△ABC中，点E，F在边BC上，∠EAF=30°，AH是BC边上的高，若AH=53，tan∠BAE=15，则CF=( )
A．53−1B．10−3C．10−23D．5−3
【变式3-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC的中点，连接DE．若AB=26,CD=6,sinB=513，则DE的长为（ ）
A．34B．234C．4D．8
【变式3-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，AP⊥DP，CD⊥DP，若BC=18，AB=4，tanC=12，则DP的长是 ．
【变式3-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，过点A作CD的垂线，分别交BC、CD于点E、F．若tan∠CAE=23，AE=26，则CD的长为（ ）
A．39B．813C．613D．19.5
【题型4 解一图多三角形的直角三角形】
【例4】（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形．如图，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的余弦值为（ ）
A．3−17B．12C．17D．437
【变式4-1】如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作DE//AC交BC于点E，那么DE的长为 ．

【变式4-2】（2025·四川绵阳·三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，点D为AB中点，过点D作DE⊥AB，与AC交于点E，连接CD，且sin∠CDE=725，则DE的长度是（ ）
A．3345B．154C．3D．4
【变式4-3】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，若A′E∥BC，则AE的长为（ ）

A．53B．7C．52D．5
【题型5 解非直角三角形】
【例5】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在△ABC中，csC=14，CA=CB=4，则sinB的值为（ ）
A．102B．153C．64D．104
【变式5-1】（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，△ABC的底边BC上的高为ℎ1，△PQR的底边QR上的高为ℎ2，则有（ ）
A．ℎ1=ℎ2B．ℎ1ℎ2D．以上都有可能
【变式5-2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点D是△ABC外一点，DB=DC，AB与CD相交于点E，∠BDC=∠BAC，连接DA，若AC=4，DA=13，tan∠DBA=12，则DB= ．
【变式5-3】如图，在△ABC中，AB=AC=4，csB=14，BD是中线，将△ABC沿直线BD翻折后，点A落在点E，那么CE的长为 ．
【题型6 四边形中解直角三角形】
【例6】（2025·广东深圳·三模）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC=132∘，点D在伞柄AP上，AE=AF=DE=DF=m，则AD的长度可表示为（ ）
A． msin66∘ B． mcs66∘ C．2msin66∘D．2mcs66∘
【变式6-1】（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC=60°，BD=43，则OE=（ ）
A．4B．26C．2D．3
【变式6-2】（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CG的长是（ ）
A．2B．2C．2+1D．22−1
【变式6-3】（2025·湖南娄底·三模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=8,E,F分别为AD,BC边上的点，且BF=3，将矩形ABCD沿直线EF折叠，得到四边形EFNM，点A,B的对应点分别为点M,N（点M落在AD上方），连接CN，当C,N,M三点共线时，AE的长为（ ）
A．2B．43C．163D．1
【题型7 网格中解直角三角形】
【例7】（2025·湖北·三模）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．若每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ）
A．2B．23C．4D．43
【变式7-1】在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么sin∠ACB的值为（ ）​
A．52B．55C．255D．13
【变式7-2】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为（ ）
A．55B．255C．25D．35
【变式7-3】如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin(α+β)=（ ）
A．277B．77C．22D．32
【题型8 坐标系中解直角三角形】
【例8】（2025·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，D为边BC上一点，且BD=2CD，M为边OA上一点，将四边形ABDM沿DM折叠，点B的对应点恰好与原点重合，若OC=3，则A的对应点N的坐标为（ ）
A．32,−32B．32,−32C．2,−1D．62,−62
【变式8-1】（2025·辽宁盘锦·三模）如图，直线y=12x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接BC，过点C作CD⊥BC，与线段AB交于点D，若CD=CB，则点D的坐标为（ ）
A．−13,1B．−143,53C．−5,32D．−163,43
【变式8-2】（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，连接对角线OB，P是OB上一点，已知点C的坐标为3,4，若将线段BP绕点P顺时针旋转90°，点B恰好落在x轴上，则点P的坐标为（ ）

A．43,83B．83,43C．83,163D．163,83
【变式8-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO=90°，∠AOB=30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA=1，将Rt△OAB绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍即（OA1=2OA）．得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到三角形Rt△OA2024B2024，则B2025的坐标为 ．
【题型9 解直角三角形与函数】
【例9】（2025·河北沧州·模拟预测）如图是一个正六边形轨道示意图，机器人P（看成点）从顶点B出发，沿着轨道按逆时针方向匀速移动，其路线为B→C→D→E→F→A．若移动时间为x，由A，B，P三个点围成的三角形（阴影部分）的面积为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-1】（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发，沿折线A−D−C向点C匀速运动．过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q．设点P运动的路程为x,AQ的长为y．其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（ ）
A．3B．11C．13D．15
【变式9-2】（2025·河南焦作·一模）如图（1），在矩形ABCD中，AC是对角线，动点P从点C出发，沿折线CAB运动到点B停止，过点P作PE⊥BC于点E．设点P运动的路程为x，PE−CE=y（当点P，E或C，E重合时，设PE=0或 CE=0），y与x 的函数关系的图象如图（2）所示，则m的值为 ．
【变式9-3】如图1，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线B−C−D运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是 ．
【题型10 解直角三角形解决动点问题】
【例10】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，已知点A从点1,0出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=60°，点P的坐标为0,3，设点A运动了ts，则在点A的运动过程中，当t= 时，△OCP为等腰三角形．
【变式10-1】（2025·河北廊坊·一模）如图，直线AB∥CD，E为AB上的一定点，P为CD上的一动点，Q为平面内直线AB与CD之间的一点（点Q不在直线AB和直线CD上），连接EQ，PQ．在点P的运动过程中，若始终有∠BEQ=∠DPQ=α（α为定值），则下列说法正确的是（ ）
结论I：EQ+PQ为定值．
结论II：△EPQ的面积为定值．
A．只有结论I正确B．只有结论II正确
C．结论I、II都正确D．结论I、II都不正确
【变式10-2】（2025·安徽合肥·三模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=103，点E在线段BC上运动（含B，C两点），连接AE，以点A为旋转中心，将线段AE逆时针旋转60∘到AF，连接EF，DF，则线段DF的最小值为（ ）
A．6B．9C．53D．93
【变式10-3】（2025·安徽合肥·三模）在△ABC中，BC=6，AB=AC，∠BAC=120°，动点P从点B出发，沿BC运动到点C停止，∠PAQ=60°，AP=AQ，点Q与点C位于AP的同一侧，连接PQ．
（1）当BP=2时，PQ= ．
（2）连接CQ，则在点P运动的整个过程中，线段CQ长的最小值为 ．
已知类型
已知条件
解法步骤
图示
两边
斜边c、一直角边（如a）
（1）b=c2−a2；
（2）由sinA=ac，求∠A；
（3）∠B=90°−∠A
Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如图所示：
两直角边（a，b）
（1）c=a2+b2；
（2）由tanA=ab，求∠A；
（3）∠B=90°−∠A
一边
一角
斜边c、一锐角（如∠A）
（1）∠B=90°−∠A；
（2）由sinA=ac，得a=c⋅sinA；
（3）由csA=bc，得b=c⋅csA
一直角边、一锐角（如a、∠A）
（1）∠B=90°−∠A；
（2）由tanA=ab，得b=atanA；
（3）由sinA=ac，得c=asinA