初中数学苏科版（2024）九年级下册用锐角三角函数解决问题课后测评

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级下册用锐角三角函数解决问题课后测评，文件包含专题01用锐角三角函数解决问题真题演练40题举一反三专项训练数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题01用锐角三角函数解决问题真题演练40题举一反三专项训练数学苏科版九年级下册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。

考卷信息：
本套训练卷共40题，覆盖面广，选题有深度，都是2024、2025年各种中考真题,可加强学生对解直角三角形的应用的理解！
1．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度．（参考数据：sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈25，sin42°≈2740，cs42°≈34，tan42°≈910）
【答案】博学楼DE的高度为9米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
过点E作EF⊥AB于点F，则可得四边形FBDE是矩形，解Rt△AFE中，得到AFEF=25，设AF=2x,EF=5x，则CD=5x−15，BF=ED=19−2x，解Rt△EFD，得到910=19−2x5x−15，求解x，再代入ED=19−2x即可．
【详解】解：过点E作EF⊥AB于点F，由题意得，∠1=∠2=22°，∠3=42°，BC=15m，AB=19m，
∵∠D=∠EFB=∠B=90°，
∴四边形FBDE是矩形，
∴FB=DE,EF=BD，
在Rt△AFE中，∵tan∠2=AFEF，
∴AFEF=25，
∴设AF=2x,EF=5x，
则CD=BD−BC=EF−BC=5x−15，BF=ED=AB−AF=19−2x，
在Rt△EFD中，∵tan∠3=EDCD，
∴910=19−2x5x−15，
解得：x=5，
∴DE=19−2×5=9m，
答：博学楼DE的高度为9米．
2．（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，3≈1.73）
【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得，∠CAB=∠ACD=90°,∠ABC=30°，CD=60米，分别解Rt△ACD,Rt△ABC，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：∠CAB=∠ACD=90°,∠ABC=30°，CD=60米，
在Rt△ACD中，AC=CD⋅tan63.4°≈120米；
在Rt△ABC中，AB=ACtan30°=1203≈207.6米；
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
3．（2025·四川广安·中考真题）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为30°，A，C两点的距离为24m．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（结果精确到0.1m）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，3≈1.73）
【答案】无人机从A点到B点的上升高度AB为3.6m
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解Rt△AOC，求出AO,OC的长，解Rt△BOC，求出BO的长，利用线段的和差关系求出AB的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键．
【详解】解：由题意得：∠AOC=90°，∠ACO=30°，∠BCO=36.9°，AC=24．
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AC=24，
∴AO=12AC=12，OC=AC2−AO2=242−122=123，
在Rt△BOC中，∠BCO=36.9°，
∴BO=CO⋅tan∠BCO=CO⋅tan36.9°≈123×0.75=93，
∴AB=BO−AO=93−12≈9×1.73−12=3.57≈3.6m
答：无人机从A点到B点的上升高度AB为3.6m．
4．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知BD=28m,CD=21m，该地冬至正午太阳高度角α为35°．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：sin35°≈0.57,cs35°≈0.82,tan35°≈0.70．结果保留小数点后一位）
【答案】任务一：AB=1.4m，任务二：该活动中心移动了2米；
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用；
任务一：如图，过A作AE⊥CD于E，结合题意可得：四边形AEDB为矩形，∠AEC=90°，可得AE=BD=28m，AB=DE，求解CE=AE⋅tanα=28×0.7=19.6，进一步可得答案；
任务二：如图，过B作AC的平行线，过C作BD的平行线，两线交于点Q，BQ,AE交于点T，过Q作QK⊥BD于K，可得∠QBK=∠ATB=∠CAE=35°，四边形CDKQ为矩形，CD=QK=21，求解BK=QKtan35°=210.7=30m，进一步可得答案.
【详解】解：任务一：如图，过A作AE⊥CD于E，
结合题意可得：四边形AEDB为矩形，∠AEC=90°，
∵BD=28m,CD=21m，
∴AE=BD=28m，AB=DE，
∵∠CAE=α=35°，
∴CE=AE⋅tanα≈28×0.7=19.6，
∴AB=DE=21−19.6=1.4m；
任务二：如图，过B作AC的平行线，过C作BD的平行线，两线交于点Q，BQ,AE交于点T，过Q作QK⊥BD于K，
∴∠QBK=∠ATB=∠CAE=35°，四边形CDKQ为矩形，
∴CD=QK=21，
∴BK=QKtan35°=210.7=30m，
∴DK=30−28=2m；
∴该活动中心移动了2米.
5．（2025·四川遂宁·中考真题）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α=37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β=50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°=0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】62.5m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先根据三个角都是直角的四边形是矩形得四边形DEBA,DAFH都是矩形，则ED=AB=30m，HF=AD=1.6m，然后分别在Rt△CDH中，tan∠CDH=CHDH，在Rt△CDH中，tan∠CDH=CHDH，代入数值化简得r1.19=43r−30，解得r≈60.85，即可作答．
【详解】解：延长DE交CF于H，则有EH⊥CF，
∵∠EHF=∠EBA=∠BFC=90°，
∴四边形EBFH是矩形，
同理得四边形DEBA,DAFH都是矩形，
∴ED=AB=30m，HF=AD=1.6m，
设CH=rm，
∴DH=EH+ED=EH+30，
在Rt△CDH中，tan∠CDH=CHDH，
即tan37°=r30+EH，
∴30+EH×0.75=r，
整理得EH=43r−30，
在Rt△CEH中，tan∠CEH=CHEH，
即tan50°=rEH，
∴1.19EH=r
整理得EH=r1.19，
∴r1.19=43r−30，
解得r≈60.85，
则CF=CH+HF=60.85+1.6≈62.5m．
6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1:3,AB=1010米，CD⊥BN．（点A,B,C,D在同一竖直平面内）．
(1)求平台BN的水平高度；
(2)求建筑物的高度（即CD的长）．
【答案】(1)10米
(2)153−15米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质．
（1）过点B作BE⊥AM于点E，则∠AEB=90°，根据斜坡AB的坡度i=BEAE=13，得到AE=3BE，从而在Rt△ABE中，根据勾股定理构造方程，求解即可；
（2）延长CD交AM于点F，得到四边形BDFE是矩形，因此DF=BE=10米，BD=EF，设CD=x米，则CF=CD+DF=x+10（米），通过解直角三角形在Rt△ACF中，求得AF=CFtan∠CAF=3x+10（米），在Rt△BCD中，求得∴BD=CDtan∠CBD=33x（米），进而根据AF=AE+EF列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：过点B作BE⊥AM于点E，则∠AEB=90°
∵斜坡AB的坡度i=BEAE=13，
∴AE=3BE，
∵在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
即3BE2+BE2=10102，
∴BE=10米，
∴平台BN的高度是10米．
（2）解：延长CD交AM于点F，
∵CD⊥BN，BN∥AM，
∴CD⊥AM，
∴四边形BDFE是矩形，
∴DF=BE=10米，BD=EF，
设CD=x米，则CF=CD+DF=x+10（米），
∵在Rt△ACF中，∠CAF=30°，
∴AF=CFtan∠CAF=x+10tan30°=3x+10（米），
∵在Rt△BCD中，∠CBD=60°，
∴BD=CDtan∠CBD=xtan60°=33x（米），
∴EF=BD=33x米，
由（1）有AE=3BE=3×10=30（米），
∵AF=AE+EF，
∴3x+10=30+33x，
解得x=153−15，
∴CD=153−15（米），
即建筑物的高度（即CD的长）为153−15米．
7．（2025·青海·中考真题）数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷．
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为65°．
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F，AB=CD=1.8 m，BE=DF=0.3 m，∠AEF=∠CFE=65°，EF=0.6 m，求OE的长度．（结果精确到0.1，参考数据：sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【模型求解】
【问题总结】
交叉点O距顶端A的长度即OA为______m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律．
【答案】OE≈0.7m，OA=0.8m
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过O作OH⊥EF于H，根据等腰三角形的性质可得EH=FH=0.3m，结合cs65°≈0.42=EHOE可得答案；最后由OA=AB−OE−BE即可得到答案.
【详解】解：数学抽象：如图，过O作OH⊥EF于H，
∵∠AEF=∠CFE=65°，
∴OE=OF，
∵EF=0.6 m，
∴EH=FH=0.3m，
∴cs65°≈0.42=EHOE，
∴OE=≈0.7m，
问题总结：∵AB=CD=1.8 m，BE=DF=0.3 m，
∴OA=1.8−0.3−0.7=0.8m.
8．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）
【答案】无人机离湖面的高度为153+15米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，根据题意得出BD=x，AD=30+x，在Rt△ACD中，根据tan∠CAD=CDAD，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
依题意∠CAD=30°,∠CBD=45°
设CD=x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°
∴BD=CDtan45°=x，
∵AB=30
∴AD=AB+BD=30+x，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=CDAD
∴33=xx+30
解得：x=153+15
答：无人机离湖面的高度为153+15米
9．（2025·湖北·中考真题）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°,A到地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据：tan35°≈0.7）
【答案】乙楼的高为39m
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键．
由题意得，四边形AEDC为矩形，∠BAC=35°，AE=18m，DE=30m，则∠ACB=90°，CD=AE=18m，AC=DE=30m，然后解Rt△ABC求出BC，再由BD=BC+CD即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得，四边形AEDC为矩形，∠BAC=35°，AE=18m，DE=30m
∴∠ACB=180°−∠ACD=180°−90°=90°，CD=AE=18m，AC=DE=30m，
∵在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC，
∴BC=AC⋅tan∠BAC=30×tan35°=30×0.7=21m，
∴BD=BC+CD=21+18=39m，
答：乙楼的高为39m．
10．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
【答案】该城市规划展览馆AB的高度为77m；3D打印模型的高度约为19cm
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，比例的基本性质，正确理解题意是解题的关键．
任务二：先由矩形BECD得到BE=CD=1.4m，CE=BD=42m，然后解Rt△AEC即可；
任务三：由比例尺等于图上距离比上实际距离求解即可．
【详解】解：任务二：由题意得BECD为矩形，
∴BE=CD=1.4m，CE=BD=42m，
∵在Rt△AEC中，tan∠ACE=AECE
∴AE=CE×tan61°=42×1.804≈76m，
∴AB=AE+BE=76+1.4≈77m，
答：该城市规划展览馆AB的高度为77m；
任务三：设3D打印模型的高度约为xcm，
则由题意得：x7700=1400，
解得：x≈19cm，
答：3D打印模型的高度约为19cm．
11．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB=800m．
(1)求∠ACB的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)30°
(2)1200−4003m
【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）由题意可得∠CBE=60°,∠CAF=30°,∠BDM=45°,BM⊥DM，BE∥AF∥DM．从而得出∠BCM=∠CBE=60°,∠ACM=∠CAF=30，根据∠ACB=∠BCM−∠ACM即可求解．
（2）根据∠CBE=60°，得出∠CBM=30°．由（1）得∠ACB=30°．则∠ABC=∠ACB=30°，故AB=AC=800．在Rt△ACM中，解直角三角形求出AM，CM，从而求出BM．再根据∠BDM=45°,BM⊥DM，求出DM=BM=1200，即可求解．
【详解】（1）解：如图，由题意可得∠CBE=60°,∠CAF=30°,∠BDM=45°,BM⊥DM，BE∥AF∥DM．
∴∠BCM=∠CBE=60°,∠ACM=∠CAF=30°．
∴∠ACB=∠BCM−∠ACM=60°−30°=30°．
（2）解：∵∠CBE=60°，
∴∠CBM=90°−∠CBE=90°−60°=30°．
由（1）得∠ACB=30°．
∴∠ABC=∠ACB=30°．
又∵AB=800，
∴AB=AC=800．
在Rt△ACM中，sin∠ACM=AMAC，cs∠ACM=CMAC，
∴AM=AC⋅sin∠ACM=800×sin30°=800×12=400，
CM=AC⋅cs∠ACM=800×cs30°=800×32=4003．
∴BM=BA+AM=800+400=1200．
∵∠BDM=45°,BM⊥DM，
∴DM=BM=1200．
∴DC=DM−CM=1200−4003m．
∴景点C与景点D之间的距离为1200−4003m．
12．（2025·甘肃兰州·中考真题）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如下表：
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25′37.43″≈100.00，tan89°22′38.09″≈92.00，sin89°25′37.43″≈0.99995，sin89°22′38.09″≈0.99994，cs89°25′37.43″≈0.00999，cs89°22′38.09″≈0.01087）
【答案】月球与地球之间的近似距离PH=38万千米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设PH=x万千米．在Rt△PAH和Rt△PBH中，分别用x表示AH和BH的长，再根据AB≈0.8万千米，列式计算即可求解．
【详解】解：设PH=x万千米．
在Rt△PAH中，∠BAP=89°22′38.09″，
∴tan∠BAP=tan89°22′38.09″=PHAH，
∴AH≈x92，
在Rt△PBH中，∠ABP=89°25′37.43″，
∴tan∠ABP=tan89°25′37.43″=PHBH，
∴BH≈x100，
∵AB≈0.8万千米，
∴x92+x100=0.8，
整理得100x+92x=7360，
解得x≈38，
∴月球与地球之间的近似距离PH为38万千米．
13．（2025·广东·中考真题）综合与实践
【阅读材料】
如图，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有asinA=bsinB=csinC．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点C；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341 m，AC≈388.5 m．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．
（参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
【答案】（1）499m；（2）见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．
（1）利用三角形内角和定理求出∠C=180°−∠A−∠B=86°，根据题意可得BCsinA=ABsinC，代入数据求出AB的长，即可解答；
（2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可．
【详解】解：（1）∵∠A≈43°，∠B≈51°，
∴∠C=180°−∠A−∠B≈180°−43°−51°=86°，
由题意得，BCsinA=ABsinC，
又∵BC≈341 m，
∴AB=BCsinCsinA=BCsin86°sin43°≈341×，
答：A，B两岛间的距离为499m．
（2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点C，使得△ABC是锐角三角形；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=am，AC=bm．
计算过程：
过点A作AD⊥BC，则∠ADC=∠ADB=90°，
∵在Rt△ACD中，sinC=ADAC，csC=CDAC，
∴AD=bsinCm，CD=bcsCm，
∴BD=BC−CD=a−bcsCm，
∵在Rt△ACD中，AD2+BD2=AB2，
∴AB=bsinC2+a−bcsC2m．
答：A，B两岛间的距离为bsinC2+a−bcsC2m．
14．（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB=19分米，CD>AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE=13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l．
(1)如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度；
(2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE=76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cs76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04）
【答案】(1)14分米
(2)2分米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）可证明四边形BNEG是矩形，得到EN=BG；在Rt△AEG中，利用勾股定理求出AG的长，进而求出BG的长即可得到答案；
（2）过点E作EH⊥AB于H，延长EN交BD于T，则四边形BTEH是矩形，可得ET=BH；解Rt△AEH求出AH的长，进而求出BH的长，据此求出NT的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵EG⊥AB，AB⊥BD，EN⊥BD，
∴四边形BNEG是矩形，
∴EN=BG；
在Rt△AEG中，AE=13分米，EG=12分米，
∴AG=AE2−EG2=132−122=5分米，
∴BG=AB−AG=14分米，
∴EN=14分米，
答：该连衣裙MN的长度为14分米；
（2）如图所示，过点E作EH⊥AB于H，延长EN交BD于T，
∵AB⊥BD，EH⊥AB，ET⊥BD，
∴四边形BTEH是矩形，
∴ET=BH；
在Rt△AEH中，AE=13分米，∠HAE=76.1°，cs76.1°≈0.24，
∴AH=AE⋅cs∠HAE=13×cs76.1°≈13×0.24=3.12分米，
∵AB=19分米，
∴BH=AB−AH=15.88分米，
∴ET=15.88分米，
∵EN=14分米，
∴NT=ET−EN=15.88−14=1.88≈2分米；
答：此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米．
15．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC=6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DC=52BD．
(1)求岛A与港口B之间的距离；
(2)求tanC．
（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34）
【答案】(1)4km
(2)821
【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据DC=52BD作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）过点B作BM⊥AD，垂足为M，证明△BDM∽△CDA，得出BMCA=BDCD，结合DC=52BD，AC=6km，求出BM=125，再在Rt△ABM中利用三角函数即可求解；
（2）在Rt△ABM中，利用三角函数求出AM，利用△BDM∽△CDA，得出DMAD=BDCD=25，则可求出AD，再在Rt△ADC中利用三角函数即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M，
∵AC⊥AD，
∴BM∥AC，
∴△BDM∽△CDA，
∴BMCA=BDCD，
∵DC=52BD，AC=6km，
∴BM6=25，
得：BM=125，
在Rt△ABM中，由sin∠BAD=sin37°=BMAB=125AB≈35，
得AB≈4．
答：岛A与港口B之间的距离为4km；
（2）解：在Rt△ABM中，AM=AB×cs37°≈4×45=165，
∵△BDM∽△CDA，
∴DMAD=BDCD=25，
∴AD=57AM=165×57=167，
在Rt△ADC中，tanC=ADAC=1676=821．
16．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物AD, BC，其中BC=18m．从A, B之间的E点（A, E, B在同一水平线上）测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°．
(1)求∠CDE的度数；
(2)求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
【答案】(1)45°
(2)27+93m
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
（1）过点C作CH⊥AD于H，则∠DHC=90°，利用三角形内角和定理分别求出∠CDH，∠ADE的度数即可得到答案；
（2）过点E作ET⊥CD于T，则∠ETD=∠ETC=90°，求出∠DET=45°，则可求出∠CET=30°；解Rt△BCE得到CE=36m，解Rt△CTE得到CT=18m，ET=183m，则解Rt△DET可得DT=183m，则CD=DT+CT=18+183m，解Rt△DCH可得DH=9+93m；再证明四边形ABCH是矩形， 得到AH=BC=18m ，则AD=AH+DH=27+93m.
【详解】（1）解：如图所示，过点C作CH⊥AD于H，则∠DHC=90°，
由题意得，∠DCH=30°，∠AED=75°，∠DAE=90°，
∴∠CDH=180°−∠DCH−∠DHC=60°，∠ADE=180°−∠AED−∠DAE=15°，
∴∠CDE=∠CDH−∠ADE=45°；
（2）解：如图所示，过点E作ET⊥CD于T，则∠ETD=∠ETC=90°，
∴∠DET=90°−∠EDT=45°，
∴∠CET=180°−∠AED−∠DET−∠BEC=30°；
在Rt△BCE中，CE=BCsin∠BEC=18sin30°=36m，
在Rt△CTE中，CT=CE⋅sin∠CET=36⋅sin30°=18m，
ET=CE⋅cs∠CET=36⋅cs30°=183m，
在Rt△DET中，DT=ETtan∠EDT=183tan45°=183m，
∴CD=DT+CT=18+183m，
在Rt△DCH中，DH=CD⋅sin∠DCH=18+183⋅sin30°=9+93m；
∵CH⊥AD，AD⊥AB，BC⊥AB，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AH=BC=18m ，
∴AD=AH+DH=27+93m；
答：建筑物AD的高度为27+93m
17．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．
【答案】2.02m
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键．
由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，则FG=AB=AD+BD=14m，NG=AH=AD+DB+BH=27.5m，然后分别解Rt△EFG求出EG，解Rt△MNG求出MG，再由EM=EG−MG即可求解．
【详解】解：由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，
∴FG=AB=AD+BD=10+4=14m，NG=AH=AD+DB+BH=4+10+13.5=27.5m，
∵在Rt△EFG中，tan∠EFG=EGFG，
∴tan43°=EG14≈0.93，
∴EG=14×0.93=13.02m，
在Rt△MNG中，tan∠MNG=MGNG，
∴tan21.8=MG27.5≈0.40，
∴MG=11m，
∴EM=EG−MG=13.02−11=2.02m，
答：校徽的高度为2.02m．
18．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠2的度数，大楼底部点A的俯角∠1的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1=45°，∠2=52°，∠3=65°，CD=10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）．参考数据：sin52°≈0.8，cs52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1）
【答案】大楼的高度AB约为29m．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，根据矩形的性质得到GH=CD=10m,CG=DH，根据等腰直角三角形的性质得到CG=AG，设CG=AG=DH=xm，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，
∴GH=CD=10m,CG=DH，
∵∠1=45°，
∴CG=AG，
设CG=AG=DH=xm，
在Rt△BCG中，∠2=52°，
∴BG=CG⋅tan52°≈1.3xm，
在Rt△BDH中，∠3=65° ，
∴BH=DH⋅tan65°≈2.1xm，
∴GH=BH−BG=2.1x−1.3x=10，
∴x=12.5，
∴AB=BG+AG=1.3×12.5+12.5≈29m，
答：大楼的高度AB约为29m．
19．（2025·山西·中考真题）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米．参考数据：
sin8.5°≈0.15，cs8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【答案】内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，则EF=AD=26，AD∥EF，所以∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5°，设BE=CF=x米，则CE=(26−x)米，BC=(26−2x)米，然后通过AE=BE⋅tan∠ABE=x⋅tan37°， AE=CE⋅tan∠ACE=26−x⋅tan8.5°， 列出方程x⋅tan37=26−x⋅tan8.5°， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，
∴EF=AD=26，AD∥EF，
∴∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5°，
设BE=CF=x米，则CE=(26−x)米，BC=(26−2x)米，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠AEB=90°，tan∠ABE=AEBE，
∴AE=BE⋅tan∠ABE=x⋅tan37°，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=AECE，
∴AE=CE⋅tan∠ACE=26−x⋅tan8.5°，
∴x⋅tan37=26−x⋅tan8.5°，解得x≈133，
∴BC=26−2×133≈17（米），
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．
20．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE=1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，cs72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）
【答案】信号杆的高AB为16m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出∠DBH=∠BDE=72.5°，再在Rt△DBH中，运用HD=BD×sin72.5°，BH=BD×cs72.5°，代入数值进行计算，得出HD,BH的值，然后证明四边形EDHI是矩形，故EI=HD=20.9m，根据∠AEI=45°，∠AIE=90°，得∠EAI=45°，AI=EI=20.9m，把数值代入AB=AI+IH−BH进行计算，即可作答．
【详解】解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：
∵AB，DE均与水平线FC垂直．
∴DE∥AC,
∴∠DBH=∠BDE=72.5°，
∵DH⊥AC
∴∠DHI=90°
在Rt△DBH中，BD=22m,sin72.5°=DHBD，
则HD=BD×sin72.5°=22×0.95=20.9m，
在Rt△DBH中，BD=22m,cs72.5°=BHBD，
则BH=BD×cs72.5°=22×0.30=6.6m，
∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H，DE∥AC,
∴∠EDH=∠DHI=∠HIE=90°，
∴四边形EDHI是矩形
∴EI=HD=20.9m，
∵∠AEI=45°，∠AIE=90°，
∴∠EAI=45°，
∴AI=EI=20.9m，
∴AB=AI+IH−BH=20.9+1.7−6.6=16m，
信号杆的高AB为16m．
21．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里
(2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；
（1）过点B作BE⊥AC于点E，设BE=x，根据题意得出EC=ED+DC=x+5，解Rt△BCE，得出EC=43x，建立方程，即可求解；
（2）求得AE的距离，计算AC的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
设BE=x，
依题意，∠EBC=53°，∠EBD=45°，CD=10×12=5，
∴∠C=90°−∠EBC=37°，ED=x，
∴EC=ED+DC=x+5，
在Rt△BCE中，EC=BEtanC=xtan37°≈x0.75=43x，
∴43x=x+5，
解得：x=15，
∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里；
（2）解：在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15，
∴AE=BEtan14°≈15×0.25=3.75，
∴AC=AE+DE+DC=15+3.75+5=23.75，
23.75÷10=2.375小时=142.5分钟，
从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17:30之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A．
22．（2025·四川凉山·中考真题）某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM=3米，∠BOM=18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31,cs18.17°≈0.95,tan18.17°≈0.33,sin36°≈0.59,cs36°≈0.81,tan36°≈0.73，结果精确到1米）
(1)求直吊臂OB的长；
(2)如图2，直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM=36°时，货物M上升了多少米？
【答案】(1)直吊臂OB的长为10米
(2)上升了5米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，矩形的性质与判定，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键．
（1）根据OB=MBsin∠BOM，即可解Rt△BOM，即可求解；
（2）记旋转后的点B,M的对应点为B′,M′，延长BM′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E，可得四边形EFMB为矩形，则BM=EF=3米，在Rt△B′OF中，由B′F=OB′×cs∠OB′M求出B′F，再由M′F=B′F−B′M′，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，BM⊥OM，
∵∠BOM=18.17°，BM=3米，
∴在Rt△BOM中，OB=MBsin∠BOM=30.31≈10（米），
答：直吊臂OB的长为10米；
（2）解：记旋转后的点B,M的对应点为B′,M′，延长BM′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E，则∠BEF=90°，
由题意得：B′M′=BM=3米，OB′=OB=10米，
∴∠BEF=∠EFM=∠BMF=90°，
∴四边形EFMB为矩形，
∴BM=EF=3米，
在Rt△B′OF中，B′F=OB′×cs∠OB′M=10×0.81=8.1米，
∴M′F=B′F−B′M′=8.1−3=5.1≈5（米），
∴货物M上升了5米．
23．（2025·四川自贡·中考真题）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
(1)制作工具
如图2，在矩形木板HIJK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G，过点O画射线QM∥HK．测量时竖放木板，当重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标N，测量∠MOB可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，QM是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为OG始终垂直于水平面，满足OG⊥QM就行．”求证：OG⊥QM．
(2)获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台P处测得塔底U的仰角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶T的仰角为14.5°．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个Rt△VWZ，∠W=90°，∠WVZ=14.5°，VW=10.0cm．在边WZ上取两点X，Y，使∠YVW=5.1°，∠XVY=4.0°，量得YW=0.91cm，XY=0.70cm，ZX=0.94cm，则tan5.1°≈___________，tan9.1°≈ ___________，tan14.5°≈ ___________（结果保留小数点后两位）．
(3)计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
(4)反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
【答案】(1)见解析
(2)0.09，0.16，0.26
(3)50米
(4)见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
（2）根据正切的定义计算即可得解；
（3）延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP=EF，DF=PE，由题意可得DP=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，设EU=x米，则FU=30−x米，解直角三角形得出30−x0.16=x0.09，求出FU=19.2米，PE=DF=120米，再解直角三角形得出TF=31.2米，即可得解；
（4）结合题意提出合理的建议即可．
【详解】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，
∴∠H=90°，
∵QM∥HK，
∴∠IQM=∠H=90°，
又∵OG∥HI，
∴∠MOG=∠IQM=90°，
∴OG⊥QM；
（2）解：∵在Rt△VWY中，∠W=90°，∠YVW=5.1°，VW=10.0cm，YW=0.91cm，
∴tan5.1°=tan∠YVW=YWVM=0.9110≈0.09；
∵∠XVY=4.0°，∠YVW=5.1°，XY=0.70cm，YW=0.91cm，
∴∠XVW=∠XVY+∠YVW=9.1°，XW=XY+YW=1.61cm，
∵在Rt△VWX中，∠W=90°，∠XVW=9.1°，VW=10.0cm，XW=1.61cm，
∴tan9.1°=tan∠XVW=XWVM=1.6110≈0.16；
∵YW=0.91cm，XY=0.70cm，ZX=0.94cm，
∴ZW=ZX+XY+YW=2.55cm，
∵在Rt△VWZ中，∠W=90°，∠ZVW=14.5°，VW=10.0cm，ZW=2.55cm，
∴tan14.5°=tan∠ZVW=ZWVM=2.5510≈0.26；
（3）解：如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，
，
则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°，
∴四边形DPEF为矩形，
∴DP=EF，DF=PE，
由题意可得：DP=25−15×3=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，
设EU=x米，则FU=EF−EU=30−x米，
∵tan∠EPU=EUPE=xPE=tan5.1°≈0.09，tan∠FDU=FUDF=30−xDF=tan9.1°≈0.16，
∴PE=x0.09，DF=30−x0.16，
∴30−x0.16=x0.09，
解得：x=10.8，
∴FU=30−10.8=19.2米，PE=DF=米，
∵tan∠TDF=TFDF=TF120=tan14.5°≈0.26，
∴TF=31.2米，
∴TU=TF+UF=19.2+31.2≈50米，
即该塔高度为50米；
（4）解：提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数．
24．（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，7≈2.65）
(1)求BD的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
【答案】(1)26.5千米
(2)3.8千米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
（1）过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，由题意得，∠DAE=30°，解Rt△ADE得到AE=103千米，DE=10千米，证明四边形AEFB是矩形， 得到EF=AB=10千米，BF=AE=103千米，得到DF=DE+EF=20千米，再利用勾股定理即可求出BD的长；
（2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN=20千米．过点M作MT⊥CD于T，由题意得，∠BCF=90°−30°=60°，解Rt△FBC得到BC=20千米，CF=10千米，则CD=DF+CF=30千米，设BM=x千米，则DN=2x千米，CM=20−x千米，解Rt△CMT得到CT=10−12x千米，MT=103−32x千米，则TN=20−32x千米，由勾股定理得202=103−32x2+20−32x2，解方程即可得到答案。
【详解】（1）解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，
∴∠AED=∠BFC=90°，
由题意得，∠DAE=30°，
在Rt△ADE中，AE=AD⋅cs∠DAE=20⋅cs30°=103千米，
DE=AD⋅sin∠DAE=20⋅sin30°=10千米，
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴AB∥CD，
∴AE⊥AB，BF⊥AB，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF=AB=10千米，BF=AE=103千米，
∴DF=DE+EF=20千米，
∴BD=DF2+BF2=202+1032=107≈26.5千米，
答：BD的长度约为26.5千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN=20千米．过点M作MT⊥CD于T，
由题意得，∠BCF=90°−30°=60°，
在Rt△FBC中，BC=BFsin∠BCF=103sin60°=20千米，
CF=BFtan∠BCF=103tan60°=10千米，
∴CD=DF+CF=30千米，
设BM=x千米，则DN=2x千米，CM=20−x千米，
在Rt△CMT中，CT=CM⋅cs∠MCT=20−x⋅cs60°=10−12x千米，
MT=CM⋅sin∠MCT=20−x⋅sin60°=103−32x千米，
∴TN=CD−DN−CT=30−2x−10−12x=20−32x千米，
在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2=MT2+NT2，
∴202=103−32x2+20−32x2，
∴x=15−55或x=15+55（此时大于BC的长，舍去），
∴BM=15−55≈3.8千米，
答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
25．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm,BE=13AB，试管倾斜角∠ABG为12°．
(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=147°，求线段DN的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【答案】(1)8cs12°cm
(2)8cs12°+20−8sin12°cm
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键．
（1）先求出BE=8cm，再在Rt△BEG中，利用余弦的定义求解即可得；
（2）过点B作BP⊥CF于点P，过点M作MQ⊥BP于点Q，先解直角三角形可得EG的长，从而可得DP,BQ的长，再判断出Rt△BMQ是等腰直角三角形，从而可得QM,PN的长，最后根据DN=DP+PN求解即可得．
【详解】（1）解：∵AB=24cm,BE=13AB，
∴BE=8cm，
由题意可知，BG⊥DE，
在Rt△BEG中，∠ABG=12°，
∴BG=BE⋅cs∠ABG=8cs12°cm，
答：试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度8cs12°cm．
（2）解：如图，过点B作BP⊥CF于点P，过点M作MQ⊥BP于点Q，
则四边形BPDG和四边形MNPQ都是矩形，
∴∠PBG=90°,DP=BG=8cs12°cm,BP=DG,PQ=MN=8cm,PN=QM，
在Rt△BEG中，∠ABG=12°，BE=8cm，
∴EG=BE⋅sin∠ABG=8sin12°cm，
∵DE=28cm，
∴BP=DG=DE−EG=28−8sin12°cm，
∴BQ=BP−PQ=20−8sin12°cm，
∵∠ABM=147°，∠ABG=12°，∠PBG=90°，
∴∠MBQ=45°，
∴Rt△BMQ是等腰直角三角形，
∴QM=BQ=20−8sin12°cm，
∴DN=DP+PN=DP+QM=8cs12°+20−8sin12°cm，
答：线段DN的长度为8cs12°+20−8sin12°cm．
26．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求点C到地面DE的距离；
(2)求顶部线段BC的长．（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cs15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993,cs83°≈0.122,tan83°≈8.144）
【答案】(1)点C到地面DE的距离为6.65m；
(2)顶部线段BC的长为7.14m．
【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，由∠CDE=97°得∠CDN=83°，在Rt△CDN中，解直角三角形即可得解；
（2）过点B作BP⊥CF，垂足为P ，由平行线的性质得∠FCD=∠CDN=83°，进而得∠BCP=∠BCD−∠FCD=15°，根据平行线间的距离处处相等得EF=CN=6.65，从而得BP=AF=AE−EF=8.5−6.65=1.85，最后在Rt△BCP中，解直角三角形即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，
∵∠CDE=97°
∴∠CDN=83°
在Rt△CDN中，
sin∠CDN=sin83°=CNCD=0.993,CD=6.7
∴CN=CDsin83°=6.7×0.993≈6.65
答：点C到地面DE的距离为6.65m
（2）解：如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P ，
∵CF ∥ DE，
∴∠FCD=∠CDN=83°
∵∠BCD=98°，
∴∠BCP=∠BCD−∠FCD=15°
∵平行线间的距离处处相等
∴EF=CN=6.65，
∵AE=8.5，
∴BP=AF=AE−EF=8.5−6.65=1.85
在Rt△BCP中，
sin∠BCP=sin15°=BPBC=0.259
∴BC=BPsin15°=≈7.14
答：顶部线段BC的长为7.14m．
27．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73）
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．
【答案】(1)6.1m
(2)66.7m
【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用：
（1）先由矩形的性质得到∠Q=∠P=90°，再解Rt△ABQ得到AQ=27310m，接着解直角三角形得到BC=835m，进而求出AP=435m，据此可得答案；
（2）解Rt△BCE得到BE=3.2m，解Rt△ABQ得到BQ=2.7m，再根据有20个停车位计算出QM的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q=∠P=90°，
在Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m，
∴AQ=AB⋅sin∠ABQ=27310m，∠QAB=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°，
∴∠CBE=30°，
∴BC=CEtan∠CBE=835m，
∴AD=835m；
∵∠PAD=180°−30°−90°=60°，
∴AP=AD⋅cs∠PAD=435m，
∴PQ=AP+AQ=35310≈6.1m

（2）解：在Rt△BCE中，BE=CEsin∠CBE=3.2m，
在Rt△ABQ中，BQ=AB⋅cs∠ABQ=2.7m，
∵该充电站有20个停车位，
∴QM=QB+20BE=66.7m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PN=QM=66.7m．
28．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．
(1)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用m,n等表示，测出的角用α,β等表示），并对设计进行说明；
(2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度（用字母表示）．
【答案】(1)见解析
(2)mtanα+tanβ
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到AB的距离为m，用测角仪测出A的仰角为α，测出B的俯角为β即可；
（2）过C作CE⊥AB于E，分别在Rt△BCE和Rt△ACE中，利用正切的定义求出BE、AE，即可求解．
【详解】（1）解：如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到AB的距离为m，用测角仪测出A的仰角为α，测出B的俯角为β；
（2）解：如图，过C作CE⊥AB于E，
则四边形CDBE是矩形，∠ACE=α，∠BCE=β，
∴CE=BD=m，BE=CD，
在Rt△BCE中，BE=CE⋅tan∠ECB=mtanβ，
在Rt△ACE中，BE=CE⋅tan∠ECA=mtanα，
∴AB=AE+BE=mtanα+tanβ，
答：教学楼AB的高度为mtanα+tanβ．
29．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且csα=74，β=30°，求该介质的折射率；
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知α=60°，CD=10cm，求截面ABCD的面积．
【答案】(1)32；
(2)1002cm2．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，
（1）根据csα=74，设b=7x，则c=4x，利用勾股定理求出a=(4x)2−(7x)2=3x，进而可得sinα=ac=3x4x=34，问题即可得解；
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为32，根据sinαsinβ=sin60°sinβ=32，可得sinβ=33，则有sin∠OCD=sinβ=33，在Rt△ODC中，设OD=3x，OC=3x，问题随之得解．
【详解】（1）∵csα=74，
∴如图，
设b=7x，则c=4x，由勾股定理得，a=(4x)2−(7x)2=3x，
∴sinα=ac=3x4x=34，
又∵β=30°，
∴sinβ=sin30°=12，
∴折射率为：sinαsinβ=3412=32．
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为32，
∵α=60°，
∴sinαsinβ=sin60°sinβ=32，
∴sinβ=33．
∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点，
∴AD=2OD，∠D=90°，
又∵∠OCD=β，
∴sin∠OCD=sinβ=33，
在Rt△ODC中，设OD=3x，OC=3x，
由勾股定理得，CD=(3x)2−(3x)2=6x，
∴tanβ=ODCD=3x6x=12．
又∵CD=10cm，
∴OD10=12，
∴OD=52cm，
∴AD=102cm，
∴截面ABCD的面积为：102×10=1002cm2．
30．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC=20cm，∠A=45°，折射角∠DON=32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.52，cs32°≈0.84，tan32°≈0.62）
【答案】(1)20cm
(2)3.8cm
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出DN长，然后根据BD=BN−DN计算即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠A=45°，
∴∠B=45°，
∴BC=AC=20cm，
（2）解：由题可知ON=EC=12AC=10cm，
∴NB=ON=10cm，
又∵∠DON=32°，
∴DN=ON⋅tan∠DON=10×tan32°≈10×0.62=6.2cm，
∴BD=BN−DN=10−6.2=3.8cm．
31．（2024·湖南·中考真题）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
(1)求线段CE和BC的长度：
(2)求底座的底面ABCD的面积．
【答案】(1)7米；3米
(2)18平方米
【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）根据题意得tan∠CFE=tan60.3°=CEEF≈1.75，即可确定CE长度，再由∠BFG=45°得出BE=EF=4米，即可求解；
（2）过点A作AM⊥GH于点M，继续利用正切函数确定AB=ME=6米，即可求解面积．
【详解】（1）解：∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG=60.3°，
∴tan∠CFE=tan60.3°=CEEF≈1.75，
∴CE=7米；
∵∠BFG=45°，
∴BE=EF=4米，
∴CB=CE−BE=3米；
（2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示：
∵∠AFG=21.8°，
∴tan∠AFG=tan21.8°=AMMF≈0.4，
∵AM=BE=4米，
∴MF=10米，
∴AB=ME=10−4=6米，
∴底座的底面ABCD的面积为：3×6=18平方米．
32．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m，点P到BQ的距离PQ=2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
(1)求β的大小及tanα的值；
(2)求CP的长及sin∠APC的值．
【答案】(1)45°，14
(2)2 m，33434
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；
（1）根据题意先求解CE=PE=1 m，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解CP=2 m，如图，过C作CH⊥AP于H，结合tanα=tan∠PAE=CHAH=14，设CH=x m，则AH=4x m，再建立方程求解x，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：PQ⊥AE，PQ=2.6 m，AB=CD=EQ=1.6 m，
AE=BQ=4 m，AC=BD=3 m，
∴CE=4−3=1 m，PE=2.6−1.6=1 m，∠CEP=90°，
∴CE=PE，
∴β=∠PCE=45°，tanα=tan∠PAE=PEAE=14；
（2）解：∵CE=PE=1 m，∠CEP=90°，
∴CP=12+12=2 m，
如图，过C作CH⊥AP于H，
∵tanα=tan∠PAE=CHAH=14，设CH=x m，则AH=4x m，
∴x2+4x2=AC2=9，
解得：x=31717，
∴CH=31717 m，
∴sin∠APC=CHCP=317172=33434．
33．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB=10cm，BC=20cm，AD=50cm．
(1)如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；
(2)如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα=34（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)CD=1010cm
(2)CD=205cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过点C作CE⊥AD，垂足为E，判断四边形ABCE为矩形，可求出CE，DE，然后在Rt△CED中，根据勾股定理求出CD即可；
（2）过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD′于点G．判断四边形ABFG为矩形，得出∠AGD=90°．在Rt△AGD中，利用正切定义求出DG=34AG．利用勾股定理求出AD=54AG，由AD=50，可求出BF=AG=40，FG=AB=10，CF=20，DF=40．在Rt△CFD中，根据勾股定理求出CD即可．
【详解】（1）解：如图，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
由题意可知，∠B=∠A=90°，
又∵CE⊥AD，
∴四边形ABCE为矩形．
∵AB=10，BC=20，
∴AE=20，CE=10．
∵AD=50，
∴ED=30．
∴在Rt△CED中，CD=CE2+ED2=102+302=1010．
即可伸缩支撑杆CD的长度为1010cm；
（2）解：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD′于点G．
由题意可知，四边形ABFG为矩形，
∴∠AGD=90°．
∵在Rt△AGD中，tanα=DGAG=34，
∴DG=34AG．
∴AD=AG2+DG2=54AG，
∵AD=50，
∴AG=40，DG=30．
∴BF=AG=40，FG=AB=10，
∴CF=20，DF=40．
∴在Rt△CFD中，CD=CF2+DF2=202+402=205．
即可伸缩支撑杆CD的长度为205cm．
34．（2024·江西·中考真题）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量ME=FN=20.0m，EF=40.0m，BE=2.4m，∠ABE=152°．（结果精确到0.1m）
(1)求“大碗”的口径AD的长；
(2)求“大碗”的高度AM的长．（参考数据：sin62°≈0.88，cs62°≈0.47，tan62°≈1.88）
【答案】(1)“大碗”的口径AD的长为80.0m；
(2)“大碗”的高度AM的长为40.0m．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）证明四边形AMND是矩形，利用AD=ME+EF+FD，代入数据计算即可求解；
（2）延长EB交AD于点H，求得∠HAB=62°，利用正切函数的定义得到BHAH=tan62°≈1.88，求得BH的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵AD∥EF，AM⊥MN，DN⊥MN，
∴四边形AMND是矩形，
∴AD=ME+EF+FD=20.0+40.0+20.0=80.0m，
答：“大碗”的口径AD的长为80.0m；
（2）解：延长EB交AD于点H，如图，
∵矩形碗底BEFC，
∴EH⊥AD，
∴四边形AMEH是矩形，
∵∠ABE=152°，
∴∠ABH=180°−∠ABE=28°，∠HAB=90°−28°=62°，
∴BHAH=tan62°≈1.88，
∴BH=20.0×1.88≈37.6m，
∴AM=EH=BH+BE=37.6+2.4=40.0m，
答：“大碗”的高度AM的长为40.0m．
35．（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．
（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73）

【答案】32m
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，先求解CH=CD⋅cs60°=10m，DH=CDsin60°≈17.3m，再证明BH=BC+CH=40m，再利用锐角的正切可得AF=FD⋅tan20°=14.4m，从而可得答案.
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H

由题意得：DC=20m，∠DCH=60°
在Rt△DCH中，
∵ cs60°=CHCD，sin60°=DHCD
∴ CH=CD⋅cs60°=10m，
DH=CDsin60°=103m≈17.3m
∵ ∠DFB=∠B=∠DHB=90°，
∴四边形DFBH为矩形，
∴ BH=FD，BF=DH，
∵ BH=BC+CH=(30+10)m=40m，
∴ FD=40m
在△AFD中.
∵AFFD=tan20°，
∴AF=FD⋅tan20°≈40×0.36=14.4m
∴AB=AF+BF≈(17.3+14.4)m=31.7m≈32m
答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m.
36．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为22km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上．
(1)∠CA1A2=__________°，∠CA2A1=__________°；
(2)求点A1到道路BC的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
【答案】(1)∠CA1A2=90°，∠CA2A1=76°
(2)2.0千米
(3)2.4km
【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质：
（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）过点A1作A1D⊥BC，垂足为D，解Rt△CA2A1，求出CA1=A1A2⋅tan76°≈22×4.00=22，解Rt△CA1D，求出A1D=CA1⋅cs45°=22×22=2.0km，即可；
（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC，垂足为F，解Rt△A7A8G，求出A8G，证明Rt△CA8F∽Rt△CEB，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：360°8=45°，
∴∠CA1A2=45°+45°=90°，∠CA2A1=180°−45°−59°=76°；
故答案为：90,76；
（2）过点A1作A1D⊥BC，垂足为D．
在Rt△CA2A1中，A2A1=22，∠CA2A1=76°，
∴CA1=A1A2⋅tan76°≈22×4.00=22．
在Rt△CA1D中，∠CA1D=90°−45°=45°，
∴A1D=CA1⋅cs45°=22×22=2.0km．
答：点A1到道路BC的距离为2.0千米．
（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC，垂足为F．
∵正八边形的外角均为45°，
∴在Rt△A7A8G中，A8G=12．
∴FB=A8G=12．
又∵A8F=A1D=CD=2，DF=A1A8=22，
∴CB=CD+DF+FB=5+22．
∵∠CFA8=∠B,∠FCA8=∠BCE，
∴Rt△CA8F∽Rt△CEB，
∴CFCB=A8FEB，即2+225+22=2EB，
∵2≈1.41，
∴EB≈2.4km．
答：小李离点B不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
37．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB=60米，∠PAB=79°，∠PBA=64°．画出示意图，如图
【问题解决】（1）计算A，P两点间的距离．
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD=DE，∠DEF=∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
【答案】（1）A，P两点间的距离为89.8米；（2）②
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键；
（1）如图，过B作BH⊥AP于H，先求解AH=AB⋅cs79°≈60×0.19=11.4，BH=AB⋅sin79°≈60×0.98=58.8，再求解∠APB=37°及PH即可；
（2）由全等三角形的判定方法可得△ADP≌△EDFASA，可得AP=EF，从而可得答案.
【详解】解：如图，过B作BH⊥AP于H，
∵AB=60米，∠PAB=79°，sin79°≈0.98，cs79°≈0.19，
∴AH=AB⋅cs79°≈60×0.19=11.4，
BH=AB⋅sin79°≈60×0.98=58.8，
∵∠PAB=79°，∠PBA=64°，
∴∠APB=180°−79°−64°=37°，
∴tan∠APB=tan37°=BHPH≈0.75，
∴PH≈，
∴AP=AH+PH=11.4+78.4=89.8（米）；
即A，P两点间的距离为89.8米；
（2）∵AD=DE，∠DEF=∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，
∴∠ADP=∠EDF，
∴△ADP≌△EFDASA，
∴AP=EF，
∴只需测量EF即可得到AP长度；
∴乙小组的方案用到了②；
38．（2024·四川成都·中考真题）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺．在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD．已知∠ACB=73.4°，∠ADB=26.6°，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，cs73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35）

【答案】9.2尺
【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得BC和BD，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度．
【详解】解：∵∠ACB=73.4°，杆子AB垂直于地面，AB长8尺．
∴tan∠ACB=ABBC，即BC≈83.35≈2.39，
∵∠ADB=26.6°，
∴tan∠ADB=ABBD，即BD≈80.50=16，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．
∴春分和秋分时日影长度为2.39+162≈9.2．
答：春分和秋分时日影长度9.2尺．
39．（2024·四川达州·中考真题）“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，AB是彩婷的中轴、甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩婷中轴的距离BC=6米．乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的仰角∠AEF=45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩婷的中轴AB=6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC=1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据3≈1.73，2≈1.41）

【答案】中轴上DF的长度为1.5米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点M作MN⊥AB于点N，分别求得DN,AF的长，根据DF=AF+DB−AB，即可求解．
【详解】解：如图，过点M作MN⊥AB于点N，

依题意，四边形MCBN是矩形，∠DMN=30°,∠AEF=45°
∴DN=MN⋅tan30°=6×33=23，AF=EF⋅sin45°=4×22=22
∴DF=AF+DB−AB
=22+23+1.5−6.3
=2×1.41+2×1.73+1.5−6.3
≈1.5米
答：中轴上DF的长度为1.5米．
40．（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB=100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cs18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cs21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）
【答案】长江口的宽度CD为1200米.
【分析】如图，过C作CH⊥AB于H，过A作AG⊥CD于G，过B作BK⊥CD于K，而AB∥CD，可得四边形AHCG，ABKG都是矩形，由题意可得：∠CAG=∠DBK=18.17°，∠GAD=∠CBK=21.34°，证明△AGC≌△BKD，可得CG=DK，设AH=x，CH=y，再利用三角函数建立方程组求解即可.
【详解】解：如图，过C作CH⊥AB于H，过A作AG⊥CD于G，过B作BK⊥CD于K，而AB∥CD，
∴四边形AHCG，ABKG都是矩形，
∴GK=AB=100，CG=AH，CH=AG=BK，CH∥AG∥BK，
∵由题意可得：∠CAG=∠DBK=18.17°，∠GAD=∠CBK=21.34°，
∴∠ACH=∠CAG=18.17°，∠BCH=∠CBK=21.34°，
∵∠AGC=∠BKD=90°，
∴△AGC≌△BKD，
∴CG=DK，
设AH=x，CH=y，
∴AHCH=xy=tan∠ACH=tan18.17°≈0.33，即x=0.33y，
HBCH=x+100y=tan∠BCH=tan21.34°≈0.39，即x+100=0.39y，
∴0.33y+100=0.39y，
∴y=50003，
∴x=0.33×50003=550，
∴CG=DK=550，
∴CD=550×2+100=1200m；
∴长江口的宽度CD为1200米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定于性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.项目分析
活动目标
测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度
测量工具
测角仪、皮尺
项目实施
任务一测量数据
以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图．
1．测出测角仪的高CD=1.4m．
2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE=61°．
3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB=42m．
任务二计算实际高度
根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精确到1m）（参考数据：sin61°=0.875，cs61°=0.485，tan61°=1.804）
任务三换算模型高度
将该城市规划展览馆AB的高度按1:400等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为________cm．（结果精确到1cm）
项目结果
为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据
问题
月球与地球之间的距离约为多少？
工具
天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明
为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数．根据实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据
AB≈0.8万千米，∠ABP=89°25′37.43″，∠BAP=89°22′38.09″．
实验主题
测量校徽的高度
工具准备
测角仪，卷尺等
实验过程
1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）；
2．测量A，D两点和B，D两点间的距离；
3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG；
4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离；
5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG．
实验图示
测量数据
1．AD=4m
2．BD=10m
3．BH=13.5m
4．∠EFG=43°
5．∠MNG=21.8°
备注
1．图上所有点均在同一平面内；
2．AE,CD,FB,NH均与地面垂直．
参考数据：sin21.8°≈0.37，cs21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；
sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°≈0.93．
项目主题
景物的测量与计算
驱动问题
如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
图1为该景，点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径图中点A、B、C、D在同一条直线上．
图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于，点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF．BE，CF均表示步道的宽，BE=CF．图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量
在点A处测得，点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米．图中墙的厚度均忽略不计
计算
……
交流展示
……
位置信息
码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警
受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．
综合实践活动记录表
活动内容
测量轻轨高架站的相关距离
测量工具
测倾器，红外测距仪等
过程资料
相关数据及说明：图中点A,B,C,D，E,F在同平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD=98°，∠CDE=97°,AE=8.5m,CD=6.7m．
成果梳理
……
活动主题
测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具
皮尺、测角仪、计算器等
活动过程
模型抽象
某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：
测绘过程与数据信息
①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米；
③在点F处用测角仪测得∠CFG=60.3°，∠BFG=45°，∠AFG=21.8°；
④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cs60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75．sin21.8°≈0.37，cs21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40．