苏科版（2024）九年级下册用相似三角形解决问题学案

这是一份苏科版（2024）九年级下册用相似三角形解决问题学案，文件包含专题63相似三角形的判定举一反三讲义数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题63相似三角形的判定举一反三讲义数学苏科版九年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共43页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc23644" 【题型1 利用平行判定相似】 PAGEREF _Tc23644 \h 2
\l "_Tc2667" 【题型2 利用两角相等判定相似】 PAGEREF _Tc2667 \h 4
\l "_Tc20443" 【题型3 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 PAGEREF _Tc20443 \h 7
\l "_Tc168" 【题型4 利用三边对应成比例判定相似】 PAGEREF _Tc168 \h 10
\l "_Tc23317" 【题型5 选择或补充条件使两三角形相似】 PAGEREF _Tc23317 \h 13
\l "_Tc29888" 【题型6 裁剪使两三角形相似】 PAGEREF _Tc29888 \h 16
\l "_Tc7835" 【题型7 尺规作图使两个三角形相似】 PAGEREF _Tc7835 \h 19
\l "_Tc10081" 【题型8 数相似三角形的对数】 PAGEREF _Tc10081 \h 23
\l "_Tc31037" 【题型9 存在相似三角形】 PAGEREF _Tc31037 \h 26
知识点1 相似三角形
1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．△ABC和△A1B1C1相似，记作△ABC∽△A1B1C1．
2. 全等三角形与相似三角形的比较
知识点2 三角形相似的判定
如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．
1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似．
已知△ABC和和△A′B′C′和，若∠A=∠A′，∠B=∠B′，则△ABC∽△A′B′C′．
2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
已知△ABC和和△A′B′C′，若ABA′B′=ACA′C′，∠A=∠A′，则△ABC∽△A′B′C′．
3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．
已知△ABC和和△A′B′C′，若ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′，则△ABC∽△A′B′C′．
直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
4. 有关三角形相似的常见图形
【题型1 利用平行判定相似】
【例1】如图，AB //CD //EF，则图中相似三角形的对数为( )
A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对
【答案】B
【分析】此题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似．解题的关键是注意识图，注意做到不重不漏．
由AB//CD//EF，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE.所以图中共有3对相似三角形．
【详解】
解：∵AB//CD//EF，
∴△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE．
∴图中共有3对相似三角形．
故选B．
【变式1-1】如图，AB，CD相交于点O，AC//BD.求证：△OAC∽△OBD．
【答案】证明：AC//BD，
∴△OAC∽△OBD．
【解析】本题考查相似三角形的判定．根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由此即可证明问题．
【变式1-2】如图，在△ABC中，点D、M在AB上，点E、N分别在BC、AC上，且DE/​/AC，MN/​/BC，DE交MN于点O.图中与△ABC相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由．
【答案】解：图中与△ABC相似的三角形有3个，△AMN∽△ABC，△DBE∽△ABC，△DM∽△ABC，
理由：∵MN//BC，
∴△AMN∽△ABC，△DBE∽△DMO，
∵DE//AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴△DMO∽△ABC．
【解析】本题考查了对相似三角形的判定的应用，注意：平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似．
根据相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，即可推出答案．
【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连结BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有 对.
【答案】3
【分析】
此题考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质．注意相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得△BCE∽△FDE，△FDE∽△FAB，则可得△BCE∽△FAB．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△BCE∽△FDE，△FDE∽△FAB，
∴△BCE∽△FAB．
故相似三角形共有3对．
【题型2 利用两角相等判定相似】
【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是△ABC边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点F，则在下列给出的三角形中，与△BDF相似的是（ ）
A．△BFAB．△BAEC．△BECD．△AEF
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
由三角形角平分线的定义可得∠CBE=∠ABE，即∠DBF=∠ABE，由三角形外角的性质可推出∠BFD=∠BEA，于是可证得△BDF∽△BAE，且依据已知条件，无法证明△BFA、△BEC、△AEF与△BDF相似，综上，即可得出答案．
【详解】解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE=∠ABE，
即：∠DBF=∠ABE，
又∵∠BAD=∠C，
∴∠BFD=∠BAD+∠ABE=∠C+∠CBE=∠BEA，
∴△BDF∽△BAE，
且依据已知条件，无法证明△BFA、△BEC、△AEF与△BDF相似，
故选：B．
【变式2-1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（ ）
A．△BCD∽△ACDB．△BCD∽△ABC
C．△ACD∽△ABCD．以上都不对
【答案】C
【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定．
根据作图可知∠ACD=∠ABC，即可证明△ACD∽△ABC．
【详解】解：根据作图可知∠ACD=∠ABC，
又∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
故选：C．
【变式2-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，AB⊥BC，BD⊥CD，∠ACD=90°，求证：△ABC∽△CDB．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出∠A=∠BCD．根据∠ABC=∠CDB=90°，即可证明结论．
【详解】证明：∵∠ACD=90°，AB⊥BC，
∴∠A+∠ACB=90°，∠BCD+∠ACB=90°，
∴∠A=∠BCD．
∵AB⊥BC，BD⊥CD，
∴∠ABC=∠CDB=90°．
∴△ABC∽△CDB．
【变式2-3】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC=135°．求证：△CPA∽△APB．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点．结合题意，可得∠CAB=45°，从而可得出∠CAP+∠PAB=45°，又∠APC=135°，得出∠ACP=∠PAB，即可证明△CPA∽△APB．
【详解】证明：∵ ∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°．
即∠CAP+∠PAB=45°．
∵∠APC=135°，
∴∠CAP+∠ACP=45°．
∴∠ACP=∠PAB．
∵ ∠APB=∠APC=135°，
∴ △CPA∽△APB．
【题型3 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】
【例3】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，连接AC、DG，求证：△AFC∽△AGD．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，
先根据正方形的性质得△ADC和△AGF都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得∠DAC=∠GAF=45°，ADAC=AGAF=22，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
【详解】证明：∵AC，AF分别是正方形ABCD和正方形AEFC的对角线，
∴△ADC和△AGF都是等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠GAF=45°，ADAC=AGAF=22，
∴∠DAG+∠CAG=∠CAF+∠CAG，
∴∠DAG=∠CAF，
∴△AFC∽△AGD．
【变式3-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点E,F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，连接BE和EF，AB=9，AE=3，DF=2．求证：△ABE∽△DEF．
【答案】见解析
【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出DE，再证明ABDE=AEDF，又由正方形的性质，得∠A=∠D，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，AB=9，
∴AD=AB=9，∠A=∠D，
∵AE=3，
∴DE=AD−AE=9−3=6，
∴ ABDE=96=32，
∵DF=2，
∴ AEDF=32，
∴ ABDE=AEDF，
∴△ABE∽△DEF．
【变式3-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB=4．求证：△ACP∽△PDB．
【答案】见解析
【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD=2，根据两边成比例夹角相等证得△ACP∽△PDB．
【详解】证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD=2．
∴∠PCA=∠PDB=120°．
又∵AC=1，BD=4，
∴ACPD=PCBD=12，
∴△ACP∽△PDB．
【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G．
(1)若AC=8，求AG的长；
(2)如果AB=AC，求证：△AFG∽△ACF．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理得EF∥BD，由平行线分线段成比例定理得AGGO=AFFB=1，继而得到AG=GO，根据平行四边形性质得AO=OC，推出AG=14AC，可得结论；
（2）根据中点的定义及已知得AFAC=12，由（1）知AG=14AC，推出AGAF=12，即可得证．
【详解】（1）解：如图，连接BD交AC于点O，
∵点E和点F分别为边AD，AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，AF=FB
∴EF∥BD，
∴AGGO=AFFB=1，
∴AG=GO，
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=8，
∴AO=OC，
∴AG=12AO=12×12AC=14×8=2，
∴AG的长为2；
（2）证明：∵F为边AB的中点，
∴AF=12AB，
∵AB=AC，
∴AFAC=12，
∵AG=14AC
∴AGAF=14AC12AB=AC2AC=12，
∴AFAC=AGAF，
∵∠FAG=∠CAF，
∴△AFG∽△ACF．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键．
【题型4 利用三边对应成比例判定相似】
【例4】24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE=1，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想．
【答案】△ACD∽△ECA；见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出AC=2,AD=5,AE=10，得出ACEC=DCAC=ADEA，根据三条边对应成比例的两个三角形相似，得出△ACD∽△ECA．
【详解】证明：△ACD∽△ECA．
由勾股定理AC=2,AD=5,AE=10，
ACEC=22,DCAC=12=22,ADEA=510=22，
∴ACEC=DCAC=ADEA，
∴△ACD∽△ECA．
【变式4-1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知△ABC和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是（ ）
A．AB=4，BC=8，AC=10； DE=20，EF=16，DF=8
B．AB=3，BC=4，AC=6； DE=6，EF=8，DF=9
C．AB=12，BC=15，AC=24； DE=16，EF=30，DF=20
D．AB=3k，BC=4k，AC=5k； DE=6k，EF=7k，DF=8kk>0
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、∵ABDF=12=BCEF=12=ACDE=12，
∴两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似；
B、∵ABDE=12=BCEF=12≠ACDF=23，
∴两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；
C、∵ABDE=34=BCDF=34≠ACEF=45，
∴两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；
D、∵ABDE=12≠BCEF=47≠ACDF=58，
∴两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；
故选：A．
【变式4-2】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可．
【详解】解：连接BF，如图，
网格的特点可知AB=2，BC=12+12=2，AC=12+32=10，
CF=1,BF=5
∴BCCF=ABBC=ACBF=2
∴△ABC∽△BCF
故选：C．
【变式4-3】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④
【答案】D
【分析】本题考查网格中的相似三角形，观察图形可知小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为a，则小长方形的长为2a，正方形的边长为4a，分别求出每个三角形的边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】解：观察图形可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为a，则小长方形的长为2a，正方形的边长为4a，
图①三角形的三条边长分别为：2a,2a2+2a2=22a,2a2+4a2=25a，
图②三角形的三条边长分别为：2a,2a2+3a2=13a,3a2+4a2=5a，
图③三角形的三条边长分别为：2a,2a2+4a2=25a,4a2+4a2=42a，
图④三角形的三条边长分别为：2a2+a2=5a,a2+3a2=10a,3a2+4a2=5a，
∵2a5a=22a10=25a5a=25，
∴图①和图④的两个三角形相似；
故选D．
【题型5 选择或补充条件使两三角形相似】
【例5】如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2=∠A；②∠1=∠CBA；③BCAC=CDBC；④BCAC=DBAB中的一个，能得出△ABC和△BCD相似的是： （填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】解：①∠2=∠A，∠C=∠C时，△ABC∽△BDC，故①符合题意；
②∠1=∠CBA，∠C=∠C时，△ABC∽△BDC，故②符合题意；
③BCAC=CDBC，∠C=∠C时， △ABC∽△BDC，故③符合题意；
④BCAC=DBAB，∠C=∠C时，不能推出△ABC∽△BDC，故④不符合题意，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．
【变式5-1】（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB=9，AC=6，则要使△ABC∽△ACD，只要AD= ．
【答案】4
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【详解】解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
当ABAC=ACAD时，△ABC∽△ACD，
即：AC2=AB⋅AD，
∵AB=9，AC=6，
∴62=9AD，
∴AD=4，
故答案为：4．
【变式5-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，要使△BAD与△DBC相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 （只需填一个条件）．
【答案】∠A=∠BDC（答案不唯一）
【分析】本题考查平行线的性质，三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．根据题意可证∠ADB=∠DBC，结合三角形相似的判定定理添加条件即可．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴当∠A=∠BDC或∠ABD=∠DCB时或ADBD=BDBC时，△BAD与△DBC相似．
故答案为：∠A=∠BDC（答案不唯一）．
【变式5-3】（2025·河北·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（ ）
A．∠B+∠4=180° B．CD∥AB C．∠1=∠4 D．∠2=∠3
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当∠B+∠4=180°时，可证明CD∥BM，由平行线的性质得到∠CDN=∠AME，∠AEM=∠CND，则可证明△MAE∽△DCN，据此可判断A、B；由平行线的性质可得∠1+∠B=180°，则∠B+∠4=180°，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明△MAE∽△DCN．
【详解】解：A、∵∠B+∠4=180°，
∴CD∥BM，
∴∠CDN=∠AME，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠CND，
∴△MAE∽△DCN，故A不符合题意；
B、∵CD∥AB，
∴∠CDN=∠AME，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠CND，
∴△MAE∽△DCN，故B不符合题意；
C、∵AE∥BC，
∴∠1+∠B=180°，
∵∠1=∠4，
∴∠B+∠4=180°，
∴CD∥BM，
∴∠CDN=∠AME，
∵AE∥BC，
∴∠AEM=∠CND，
∴△MAE∽△DCN，故C不符合题意；
D、根据∠2=∠3结合已知条件不能证明△MAE∽△DCN，故D符合题意；
故选：D．
【题型6 裁剪使两三角形相似】
【例6】如图，在△ABC纸片中，∠A=72°,∠B=38°，将△ABC纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与△ABC相似的是（ ）

A．①②B．②④C．③④D．①③
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：图①中，∵∠B=∠B，∠A=∠BDE=72°，
∴△BDE∽△BAC相似；
图②中，只有∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，
∴△CDE∽△CAB；
图④中，只有∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，
不能推出△CDE和△ABC相似；
综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故D正确．
故选：D．
【变式6-1】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；
B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；
C、6−39−7=32=96=ACAB，∠A=∠A，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；
D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意．
故选：D．
【变式6-2】数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（ ）
A．都相似B．只有图①相似C．只有图②相似D．都不相似
【答案】A
【分析】此题考查了相似三角形的判定．图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得各自的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知数据即可证得OAOC=ODOB，又有对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似．
【详解】解：图（1）由35°和75°得另一个角为180°−35°−75°=70°，由75°和70°得另一个角为180°−70°−75°=35°，则两三角形全等；
图（2）∵OA=4，OD=3，OC=8，OB=6，
∴OAOC=ODOB=12，
∵∠AOC=∠DOB，
∴△AOC∽△DOB．
故选：A．
【变式6-3】如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，AC=4，BC=8．
A．因为DCAC=24=12,ACBC=48=12，则DCAC=ACBC，又由∠C=∠C，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；
B．因为ADAB=36=12 ，ABAC=68=34，34≠12，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
C．因为BDAB=23 ，ABBC=68=34，即：23≠34，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
D、因为BDBC=12 ，BCAB=43， 43≠12，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
故选：A．
【题型7 尺规作图使两个三角形相似】
【例7】（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理．分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断．
【详解】解：B、由作图知，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；
C、由作图知，四边形BDEC是圆内接四边形，
∴∠ADE=180°−∠BDE=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、由作图知，点D和点E分别是AB和AC的中点，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；
A、由作图知，CD和BE分别是△ABC的角平分线，不能说明△ADE和△ABC相似，故本选项符合题意；
故选：A．
【变式7-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰△ABC中，BA=BC，∠B=108°，请用尺规在AC上求作一点D，使得△ABD∽ △ACB．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
作AB的垂直平分线，交AC于点D，连接BD，由此即可得．
【详解】解：如图，点D即为所求．

理由：由线段垂直平分线的性质得：AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ABD=∠C，
在△ABD和△ACB中，
∠ABD=∠C∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB．
【变式7-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，ABCD，连接BD，请用尺规作图法在BD上找一点P，使得△ABD∽△PCB．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，相似三角形的判定，先在∠BCD的内部作∠ABP=∠BCP，再结合平行线的性质可得△ABD∽△PCB．
【详解】解：如图，点P即为所求．
理由：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
由作图可得：∠ABP=∠BCP，
∴△ABD∽△PCB．
【变式7-3】在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当BD是AC的垂线时，即BD⊥AC时，△BAD∽△CBD，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：当BD是AC的垂线时，即BD⊥AC时，△BAD∽△CBD，理由如下：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠BAD=∠CBD，
∴△BAD∽△CBD，
根据作图痕迹可知：
A选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，故选项A不符合题意；
B选项中，BD是AC的垂线，故选项B符合题意；
C选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，故选项C不符合题意；
D选项中，BD不与AC垂直，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质1，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键．
【题型8 数相似三角形的对数】
【例8】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则图中相似三角形有（ ）
A．5对B．6对C．10对D．20对
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键；
根据相似三角形的判定定理分析即可求解；
【详解】解：图中有个三角形，分别是：△ABC、△BDE、△DEC、△ADC和△BDC；
∵AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，
∴∠BED=∠CED=∠BDC=∠ADC=∠ACB=90°，
∴AC∥DE，
∴△ABC∽△BDE；
∵∠B=∠B，∠BED=∠BDC，
∴△BDE∽△BDC；
∴△ABC∽△BDC；
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△ADC；
∵AC∥DE，
∴∠CDE=∠DCA，
∵∠CED=∠ADC，
∴△DEC∽△ADC；
综上所述：△ABC∽△DBE∽△CDE∽△ACD∽△CBD，
即：△ABC∽△DBE，△ABC∽△CDE，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，
△DBE∽△CDE，△DBE∽△ACD，△DBE∽△CBD，△CDE∽△ACD，△CDE∽△CBD，△ACD∽△CBD，故图中相似三角形有10对；
故选：C．
【变式8-1】如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（ ）
A．1B． 2C．3D．)4
【答案】C
【详解】FD=k,CF=3k,DE=AE=2k
在Rt△BCF 中，CF=3k,BC=4k,BF=5k
在Rt△DEF 中，DF=k,DE=2k,EF=5k
在Rt△ABE 中，AE=2k,AB=4k,BE=25k
在Rt△BEF 中，EF=5k,BE=25k,BF=5k
根据相似三角形的判定，RtΔDEF∼RtΔABE∼RtΔEBF,故选C.
【变式8-2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知△ABC、△DEF都是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，图中的相似三角形共有（ ）对．
A．3对B．4对C．6对D．7对
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，三角形内角和定理，根据相似三角形的判定定理即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
∵△ABC、△DEF都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=∠DEF=∠EFD=∠FDE=60°，
∴△ABC∽△DEF，
∵∠A=∠F，∠AGD=∠FGH，
∴△ADG∽△FHG，
∵∠F=∠C，∠FHG=∠CHE，
∴△FHG∽△CHE，
∴△ADG∽△CHE，
∵∠ADG+∠AGD=180°−∠A=120°，
∠ADG+∠BDE=180°−∠EDF=120°，
∴∠AGD=∠BDE，
又∵∠A=∠B，
∴△ADG∽△BED，
∴△BED∽△FHG，
△BED∽△CHE，
综上，相似三角形共有7对，
故选：D．
【变式8-3】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，E是矩形ABCD的边CD的中点，连接BE,AF⊥BE于点F,AF的延长线交BC于点G，连接DF，则图中相似三角形有（ ）
A．4对B．6对C．8对D．5对
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的判定，矩形的性质．根据矩形的性质以及AF⊥BE得到∠ABC=∠C=∠AFB=∠BFG=90°，而∠1=∠1，∠2=∠2，∠1=∠2，即可证明△AFB∽△ABG,△AFB∽△BFG,△AFB∽△BCE,△ABG∽△BFG,△ABG∽△BCE,△BFG∽△BCE．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，AF⊥BE，
∴∠ABC=∠C=∠AFB=∠BFG=90°，
∵∠1=∠1，∠2=∠2,
∴△AFB∽△ABG,△BFG∽△BCE，
∵∠1+∠ABF=90°=∠2+∠ABF，
∴∠1=∠2
∴△AFB∽△BFG，
∴△AFB∽△ABG∽△BFG∽△BCE，
∴根据相似的传递性可得：△AFB∽△ABG,△AFB∽△BFG,△AFB∽△BCE,△ABG∽△BFG,△ABG∽△BCE,△BFG∽△BCE，
∴有6对相似三角形，
故选：B．
【题型9 存在相似三角形】
【例9】如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB=4，CD=6，BC=14，P为直线BC上一点，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、D为顶点的三角形相似，则这样的P点有 个．
【答案】6
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
分3种情况求解即可：①当点P在线段BC上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时．
【详解】解：∵AB⊥DB,CD⊥DB，
∴∠C=∠B=90°，设BP=x，
①当点P在线段BC上运动时，
当PB:DC=AB:PC时，△PAB∽△DPC，
∴x6=414−x ，
∴x1=2，x2=12；
当PB:PC=AB:DC时，△PAB∽△PDC，
∴x14−x=46，
解得：x=5.6；
②当点P在B的左侧运动时，
当PB:DC=AB:PC时，△PAB∽△DPC，
∴x6=414+x ，
∴x1=−7+72，x1=−7−72（舍去）；
当PB:PC=AB:DC时，△PAB∽△PDC，
∴x14+x=46，
解得：x=28；
③当点P在点C的右侧运动时，
当PB:DC=AB:PC时，△PAB∽△DPC，
∴x6=4x−14 ，
∴x1=7+72，x1=7−72（舍去）；
当PB:PC=AB:DC时，△PAB∽△PDC，
∴xx−14=46，
解得：x=−28（舍去）；
综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的P点有6个．
故答案为：6．
【变式9-1】在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（ ）
A．6条B．3条C．4条D．5条
【答案】C
【分析】△AOB是直角三角形，所作的以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，OC与AD可能是对应边，这样就可以求出CD的长度，以C为圆心，以所求的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与BD是对应边时，又有两条满足条件的直线，共有四条．
【详解】解：以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，
当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．
同理，当OC与BO是对应边时，又有两条满足条件的直线，
所以共有四条．
故选C．
【变式9-2】如图，在矩形ABCD中，AB=7.5,BC=8，点E是AB上一点，BE=2，点P是边BC上的一个动点，若使得以P、C、D为顶点的三角形与△EBP相似，则这样的点P有 个．
【答案】3
【详解】设BP=x．
在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，
当EBPC=BPCD时，△EBP∽△PCD．
即28−x=x7.5,x1=3,x2=5．
当EBDC=BPCP时，△EBP∽△DCP，
即27.5=x8−x,x=3219．综上所述，
使得以P、C、D为顶点的三角形与△EBP相似，这样的点P有3个．
【易错点分析】两个三角形已经有一对角相等，夹这个角的两边对应关系应该考虑两种情况，有的同学可能只考虑了一种，还有的同学考虑两种情况之后，会认为既然是两种情况，就应该有两个点P，实际解出来却不一定．所以不求出最后结果是很难判断准确的．
【变式9-3】如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，平面内点P使得△ABP与△ABO相似，则不与点O重合的点P有 个．
【答案】11
【分析】本题考查相似三角形的判定．根据平面内点P使得△ABP与△ABO相似，即可得到不与点O重合的点P的个数．
【详解】解：如图所示，当∠ABP=∠AOB时，△ABP∽△AOB（当点P在AB另一侧时，也符合题意，下同）；
如图所示，当∠BAP=∠AOB，∠ABP=∠BAO时，△ABP∽△OAB；
如图所示，当∠P=∠AOB，∠ABP=∠BAO时，△ABO∽△BAP；
如图所示，当∠BAO=∠BAP，∠AOB=∠P时，△ABO∽△ABP（点P与点O重合时不合题意）．
如图所示，当∠P=∠BAO，∠ABO=∠PBA时，△ABO∽△PBA；
如图所示，当∠BAP=∠ABO，∠ABP=∠AOB时，△ABO∽△PAB；
综上所述，符合题意的点P的位置有11个．
故答案为：11．全等三角形
相似三角形
定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形
特征
形状相同且大小相等
形状相同但大小不一定相等
图形表示
对应边
相等
成比例
对应角
相等
相等
相似比
1
可以是1，也可以是其他正实数
图形特征
所需条件
证明方法
平行线型
已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等
两角分别相等的两个三角形相似．△ADE∽△ABC
斜交型
有公共角或对顶角，∠B=∠AED
两角分别相等的两个三角形似．△ADE∽△ACB
公共角的两边对应成比例，ABAD=ACAE
两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△ACB∽△AED
母子型
∠1=∠2
两角分别相等的两个三角形相似．△ACD∽△ABC
旋转型
有一组角对应相等，
公共角（对应角）的两边对应成比例，∠1=∠2，ABA′B′=ACA′C′
两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△ABC∽△A′B′C′