苏科版（2024）九年级下册用锐角三角函数解决问题导学案

这是一份苏科版（2024）九年级下册用锐角三角函数解决问题导学案，文件包含专题73用锐角三角函数解决问题举一反三讲义数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题73用锐角三角函数解决问题举一反三讲义数学苏科版九年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共67页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc31821" 【题型1 仰角俯角问题】 PAGEREF _Tc31821 \h 2
\l "_Tc7614" 【题型2 方向角问题】 PAGEREF _Tc7614 \h 7
\l "_Tc4209" 【题型3 坡度坡角问题】 PAGEREF _Tc4209 \h 14
\l "_Tc21297" 【题型4 实物建模问题】 PAGEREF _Tc21297 \h 20
\l "_Tc6803" 【题型5 物理实验问题】 PAGEREF _Tc6803 \h 25
\l "_Tc13563" 【题型6 方案设计问题】 PAGEREF _Tc13563 \h 31
\l "_Tc30157" 【题型7 临界值问题】 PAGEREF _Tc30157 \h 38
\l "_Tc7722" 【题型8 其它问题】 PAGEREF _Tc7722 \h 44
知识点 解直角三角形在实际问题中的应用
1. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤：
（1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；
（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
2. 常见类型
（1）仰角、俯角
当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角．
如图（1）所示，OC 为水平线，OD为铅垂线，OA，OB 为视线，我们把∠AOC称为仰角，∠BOC称为俯角．
图（1）
图（2）
（2）方位角
正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角．
如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB 所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°．
（3）坡度、坡角
坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=hl，坡度通常写成ℎ∶l的形式．
坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作α，于是有i=tanα．
【题型1 仰角俯角问题】
【例1】（2025·贵州遵义·二模）2024年9月28日，中国人民解放军南部战区位中国黄岩岛附近海空域组织例行性演训活动，检验任务部队侦察监视、警巡待战、联合打击等能力一切搅局南海、制造热点的行动企图，尽在掌握．战区部队时刻高度戒备，坚决挫败破坏地区和平稳定的勾连行径．如图，一艘核潜艇在海面DF下500米A点处测得俯角为28°正前方的海底C点处有一可疑物，继续在同一深度直线航行1500米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：tan28°≈0.53）．
【答案】海底C点处距离海面DF的深度约为2191米．
【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，先过点C作CE⊥AB，垂足为E，延长CE交DF于G，整理得AE=AB+BE=1500+x米，把数值代入CE=AE⋅tan28°进行计算，得x≈1691，则CG=CE+GE≈2191（米），即可作答．
【详解】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，延长CE交DF于G，
设CE=x米，
∵∠CBE=45°, ∠CEB=90°，
∴BE=CE=x米，
∴AE=AB+BE=1500+x米，
在△AEC中，∠AEC=90°, ∠EAC=28°，
∴CE=AE⋅tan28°，
即x=1500+xtan28°，
∴x≈1691，
∵EG=AD=500米，
∴CG=CE+GE≈2191（米），
答：海底C点处距离海面DF的深度约为2191米．
【变式1-1】（2025·河南驻马店·模拟预测）汝南县古称汝宁，城墙始建于明代，主要用于防御北城门（如图①）是古城墙的北人口，曾是进出县城的主要通道之一．城门建筑风格古朴，体现了明代的建筑特色．某数学兴趣小组想要用无人机测量汝南北城门PQ的高度（PQ垂直于水平地面），测量方案如图②所示，先将无人机垂直上升至距水平地面25m高的点A处，在此处测得汝南北城门顶端P的俯角为25°，再将无人机沿水平方向向汝南北城门飞行6.06m到达点B，此时测得妆南北城门底端Q的俯角为45°，若A, B, P, Q在同一平面内，求汝南北城门PQ的高度．（结果精确到0.1m参考数据：sin25°=0.42, cs25°≈0.91, tan25°≈0.47）
【答案】10.4m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握相关知识点，能构造直角三角形求解是解题的关键；
延长QP交AB延长线于C，先证明BC=PC=25m，然后在△ACP中，利用tan∠PAC求出PC的长，再求PQ的长即可．
【详解】如图，延长QP交AB延长线于C，
由题知，CQ=25m，AB=6.06m，QC⊥AC，∠PAC=25°,∠CBQ=45°，
∵QC⊥AC,∠CBQ=45°，
∴∠BCQ=90°，∠CQB=∠CBQ=45°，
∴BC=CQ=25m，
∴AC=AB+BC=6.06+25=31.06m，
在△ACP中，∠ACP=90°，
∵tan∠PAC=PCAC≈0.47，
∴PC≈31.06×0.47≈14.6m，
∴PQ=QC−PC=25−14.6=10.4m，
答：汝南北城门PQ的高度约为10.4m．
【变式1-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）近年来，遵义已成为全国红色旅游关注度最高的城市之一、红军山是“红城遵义”一张靓丽的名片．如图，小刚驻足于红军山烈士陵园D处，瞻仰着高高耸立的红军烈士纪念碑AC．小刚想测量纪念碑AC的高度（不含纪念碑顶端镰刀锤子标志），现可使用的测量工具有：卷尺、测角仪．已知小刚眼睛离地面的距离是1.6米．若小刚站在水平地面D处用测角仪测得纪念碑顶端A的仰角为65.6°，径直向后退6米到F处，又用测角仪测得纪念碑顶端A的仰角为56.5°．
(1)请你帮助小刚在图2上补全他设计的测量平面图，将所测角度标记在图上（测角仪高度不计）；
(2)根据小刚测量的数据，请你计算纪念碑AC的高度．（结果精确到1米）（参考数据：tan56.5°≈1.5，tan65.6°≈2.2，sin56.5°≈0.8，sin65.6°≈0.9）
【答案】(1)见解析
(2)纪念碑AC的高度大约是30米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题意，补全图形即可；
（2）设AG=x米，分别解Rt△AGB和Rt△AGE，求出x的值，利用线段的和差进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意，补全图形如图所示：
（2）据题意，CG=EF=1.6米，EB=6米．
设AG=x米，
在Rt△AGB中，tan65.6°=AGBG=xBG≈2.2，
∴BG≈511x．
在Rt△AGE中，tan56.5°=AGEG=AGEB+BG=x6+511x≈1.5，
解得，x≈28.3，符合题意．
∴AC=AG+GC≈28.3+1.6≈30（米）
答：纪念碑AC的高度大约是30米．
【变式1-3】（2025·陕西西安·模拟预测）陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，某数学兴趣小组计划在假期前往照金纪念馆学习，并测量塑像高度，测量方案如下：
如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，先在点E处放置平面镜，小明从点E处沿DE方向移动到点B处，视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，再在点F处安装测倾器GF，测得塑像顶端C的仰角为51.3∘．测得眼睛离地面高度AB=1.6米，BE=2米，EF=4米，GF=1.4米，AB⊥BD，GF⊥BD，CD⊥BD.求塑像CD的高度.(平面镜大小忽略不计，参考数据：sin51.3∘≈0.78，cs51.3∘≈0.63，tan51.3∘≈1.25)
【答案】塑像CD的高度约为6.4米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用．
过点G作GH⊥CD，垂足为H，根据题意可得：∠AEB=∠CED，FG=DH=1.4米，GH=DF，然后设GH=DF=x米，则DE=x+4米，在Rt△CGH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，从而求出CD的长，再根据垂直定义可得∠B=∠D=90∘，从而可证△ABE∽△CDE，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：过点G作GH⊥CD，垂足为H，
由题意得：∠AEB=∠CED，FG=DH=1.4米，GH=DF，
设GH=DF=x米，
∵EF=4米，
∴DE=EF+DF=x+4米，
在Rt△CGH中，∠CGH=51.3∘，
∴CH=GH⋅tan51.3∘≈1.25x(米)，
∴CD=CH+DH=1.25x+1.4米，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90∘，
∴△ABE∽△CDE，
∴ABBE=CDDE，
∴1.62=1.25x+1.4x+4，
解得：x=4，
经检验：x=4是原方程的根，
∴CD=1.25x+1.4=6.4(米)，
∴塑像CD的高度约为6.4米．
【题型2 方向角问题】
【例2】（2025·河北邯郸·二模）淇淇家位于学校正东方向200m处，周末她和同学约好去学校附近的体育馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西53°方向，距离学校500m．
(1)请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图；
(2)求体育馆到淇淇家的直线距离；
(3)若淇淇步行从家出发，先以50m/min的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球，于是立即以60m/min的速度原路返回家中．取到篮球后，为了赶时间，她以80m/min的速度从家直接走到体育馆，求淇淇全程所用的时长．（计算结果保留整数．参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，5≈2.2）
【答案】(1)见解析
(2)660m
(3)16min
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，方位角，解题的关键是熟练掌握方位角定义和三角形函数定义．
（1）根据题意画出图形即可；
（2）连接BC，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则∠DCA=53°，根据三角形函数定义解直角三角形，结合勾股定理求出结果即可；
（3）根据时间=路程÷速度，求出时间即可．
【详解】（1）解：画出示意图如图1．
（2）解：如图2，连接BC，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则∠DCA=53°，
∴CD=AC⋅cs∠DCA≈500×0.6=300m，AD=AC⋅sin∠DCA≈500×0.8=400m，
∴BD=AD+AB≈400+200=600m，∴BC=CD2+BD2≈3005≈660m，
∴体育馆到淇淇家的直线距离约为660m．
（3）解：淇淇全程所用的时长为：
200÷50+200÷60+660÷80=16min．
【变式2-1】（2025·河南信阳·三模）我国古代数学著作蕴含着璀璨的智慧结晶，如《周髀算经》中以日影测天；《海岛算经》里以立表测望．如今，让我们沿着古人的智慧足迹，尝试解决这样一个实际问题：如图，为了估算一条东西向河流（两岸互相平行）的宽度，兴趣小组在河的对岸l选定一个目标点A，在近河岸m取点B，用测角仪测得点A位于点B的北偏东 53°方向；从点B出发向南走15米到达点C，用测角仪测得点A位于点C的北偏东 45°方向．请你根据以上测量结果求出此河流的宽度．（参考数据： sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
【答案】河流的宽度约为45米
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角和三角函数是解题的关键．延长CB交直线l于点D．设AD=x米，得到CD=AD=x米，BD=xtan53°米，由BC=15米得到CD−BD=15米，列方程即可求出答案．
【详解】解：延长CB交直线l于点D．
由题意得：BC=15米，∠ABD=53°，∠ACD=45°，CD⊥直线l．
设AD=x米，
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，
∴CD=AD=x米，
在Rt△ABD中，∠ABD=53°，
∴BD=ADtan53°=xtan53°米，
∵BC=15米，
∴CD−BD=15米，
即x−xtan53°=15．
解得x≈60，
∴BD≈60−15=45（米）．
答：河流的宽度约为45米．
【变式2-2】（2025·重庆·模拟预测）2025年春晚重庆分会场的主舞台位于两江交汇处的南岸区弹子石广场，对面就是朝天门，小明同学想把“半城烟水半城山，一城灯火若星河”的春晚无人机表演尽收眼底，决定在江北嘴的A点或者弹子石的D点观看演出．小明根据所学知识画了如图所示的方位图，B为朝天门，C为春晚主舞台所在地弹子石广场，C在A的北偏东60°方向，B在A的东南方向的1200米处，C在B的北偏东15°方向，D在C的北偏西30°方向的6002米处，且D在B的正北方向，AC与BD交于点E．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
(1)求B，C两地间的距离；
(2)小明查资料得知，当观看地点到B，C的距离之和越小，观看效果越佳，请通过计算说明小明应在A，D两处中选择哪一处观看？
【答案】(1)B，C两地间的距离约为1638米
(2)应选择A地观看演出，详见解析
【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是构造直角三角形，并利用锐角三角函数求解．
（1）过点A作AF⊥BC于点F，分别利用锐角三角函数和直角三角形的性质求出BF,CF的长度即可；
（2）过点A作AG⊥BD于点G，分别求出A地与D地到B，C两地的距离之和，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∵ C在A的北偏东60°方向，B在A的东南方向，
∴∠BAC=75°．
∵ B在A的东南方向，C在B的北偏东15°方向，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAF=30°，∠CAF=45°．
∵AB=1200米，
∴ BF=12AB=600米，AF=3BF=6003米．
∵∠CAF=45°，AF⊥BC，
∴ △AFC是等腰直角三角形，
∴ CF=AF=6003米，
∴BC=BF+CF=600+6003≈1638（米），
答：B，C两地间的距离约为1638米；
（2）解：如图，过点A作AG⊥BD于点G．
由（1）可知AF=6003米，△AFC是等腰直角三角形，
∴AC=2AF=6006米，
∴ A地到B，C两地的距离之和为AB+AC=1200+ 6006≈2670（米）．
由题意得∠BAG=45°，
∴ △ABG为等腰直角三角形．
∵ AB=1200米，
∴AG=BG=22AB=6002米，
∵∠BAC=75°，
∴∠EAG=30°，
∴在Rt△EAG中，∠AEG=60°，EG=2006米．
∵ ∠CED=∠AEG=60°，D在C的北偏西30°方向的6002米处，
∴∠CDE=30°，
∴ △CDE是直角三角形，
∴DE=4006米，
∴ D地到B，C两地的距离之和为
DB+DC=6002 +2006+4006+6002≈3162（米），
∵2670