数学九年级下册相似三角形的性质学案设计

这是一份数学九年级下册相似三角形的性质学案设计，文件包含专题64相似三角形的性质举一反三讲义数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题64相似三角形的性质举一反三讲义数学苏科版九年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共78页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc19743" 【题型1 利用相似三角形的性质求值】 PAGEREF _Tc19743 \h 1
\l "_Tc23934" 【题型2 利用相似三角形的判定与性质求值】 PAGEREF _Tc23934 \h 2
\l "_Tc6093" 【题型3 利用相似三角形的判定与性质证明】 PAGEREF _Tc6093 \h 3
\l "_Tc20870" 【题型4 利用相似三角形的判定与性质探究线段间关系】 PAGEREF _Tc20870 \h 5
\l "_Tc10649" 【题型5 利用相似三角形的判定与性质解决翻折问题】 PAGEREF _Tc10649 \h 6
\l "_Tc5144" 【题型6 利用相似三角形的判定与性质解决尺规作图问题】 PAGEREF _Tc5144 \h 7
\l "_Tc13608" 【题型7 利用相似三角形的判定与性质解决函数问题】 PAGEREF _Tc13608 \h 9
\l "_Tc17985" 【题型8 利用相似三角形的判定与性质解决动态问题】 PAGEREF _Tc17985 \h 11
\l "_Tc13383" 【题型9 利用相似三角形的判定与性质解决多结论问题】 PAGEREF _Tc13383 \h 12
\l "_Tc19374" 【题型10 利用相似三角形的判定与性质解决最值问题】 PAGEREF _Tc19374 \h 13
知识点1 相似三角形中对应高、角平分线、中线的比
1. 相似三角形对应高的比等于相似比．
2. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
3. 相似三角形对应中线的比等于相似比．
知识点2 相似三角形的周长比、面积比
1. 相似三角形的周长比等于相似比．
2. 相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【题型1 利用相似三角形的性质求值】
【例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（ ）
A．14cmB．18cmC．30cmD．34cm
【变式1-1】若ΔABC∼ΔDEF,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB:DE=1:4，则这两个三角形的对应中线之比为（ ）
A．1:2B．1:4C．1:8D．1:16
【变式1-2】（24-25九年级上·江西上饶·期末）若△ABC∽△DEF，AB=6,DE=4，则下列说法错误的是（ ）
A．∠B=∠EB．DF=23AC
C．S△ABC=94S△DEFD．BC=94EF
【变式1-3】（2025·安徽合肥·二模）如图，已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，且AD=AC，点E为△ABC外一点，连接DE、AE，若△ADE∽△CDB，则∠CDE的度数是（ ）
A．45°B．36°C．30°D．22.5°
【题型2 利用相似三角形的判定与性质求值】
【例2】在△ABC中，D，E分别为AB，AC上一点，BE，CD交于点F．

(1)设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2，且S1=S2．
①如图①，连接DE．若∠A=90°，求证：DE∥BC；
②如图②，若∠FBC=45°，∠FCB=30°，求EFDF的值．
(2)如图③，若∠A=90°，CE=kAB，BD=kAE，DC=2BE，直接写出k的值．
【变式2-1】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，CE:EF:FD=1:2:3，AE，BF相交于点G．设△EFG和△ABG的面积分别为S1，S2，若S1=3，则S2=（ ）
A．6B．9C．18D．27
【变式2-2】如图，在正方形网格中，△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．75°B．60°C．55°D．45°
【变式2-3】如图①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．
(1)若AE=2BE，求证：AF=2CF；
(2)如图②，若AB=2，DE⊥BC，求BEAE的值．
【题型3 利用相似三角形的判定与性质证明】
【例3】（2025·安徽六安·三模）O为四边形ABCD内一点，OA=OD，OB=OC，∠AOD+∠BOC=180°．
(1)如图1，∠AOB=90°，求证：AB=CD．
(2)如图2，E为CD的中点，且∠OED=∠AOB．
（i）求OCCD的值；
（ii）求证：ABCD=ODOC．
【变式3-1】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2=EF⋅EC．
求证：
(1)△ABD∼△FCB；
(2)BD⋅BE=AD⋅CE．
【变式3-2】（24-25九年级下·甘肃陇南·期中）如图，矩形ABCD中P为对角线BD上一动点，过P点作PE∥CD交AC于于点E，作PF∥AC交AD于点F，连接DE、BE．

(1)若FP=EP，
①求证：DE平分∠BDC；
②求证： 1AB+1AO=1FP；
(2)已知DO=DE=4， 且P为DO的中点， 求矩形ABCD的周长．
【变式3-3】（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知A,E,B三点共线，且∠A=∠DEC=∠B的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？
(1)【特例探究】如图，已知A,E,B三点在同一条直线上，∠A=∠B=∠DEC=90°，求证：Rt△ADE∽Rt△BEC
(2)【规律总结】如果∠A=∠B=∠DEC，你还能证明这两个三角形相似吗？求证：△ADE∽△BEC
(3)【实例应用】如果∠A=∠B=∠DEC，若点E是AB的中点，求证：DE2=AD⋅DC
【题型4 利用相似三角形的判定与性质探究线段间关系】
【例4】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=21，AB=7， AE=3，AD=1，将△DAE绕点A在平面内顺时针旋转α0°≤α≤360°，连接CE，BD．
(1)求证：△ADB∽△AEC；
(2)请判断线段CE和BD的关系，并说明理由；
(3)当点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段CE的长；
【变式4-1】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图1，在ΔABC中，∠A=46°，CD是ΔABC的完美分割线，且AD=CD，求∠ACB的度数．
(2)如图2，在ΔABC中，AC=3，BC=2，CD是ΔABC的完美分割线，且ΔACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
【变式4-2】如图，把矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．不妨令AD=m、AB=n，请写出m、n之间的等量关系 ．
【变式4-3】综合实践课上，小聪把一张长方形纸片ABCD沿着虚线EB剪开，如图①所示，纸片Rt△CB′E′较小锐角的顶点E′在DE上，较长直角边与斜边分别交边AB于点G，且B′E′⊥AB为初始位置，把Rt△CB′E′沿着DE方向平移，当点E′到达点E后立刻绕点E逆时针旋转，如图③，直到点H与点B重合停止．为了探求BH与AG之间的变化关系，设AG=m，请用含m的代数式表示BH．
（1）在平移过程中，BH= ，
（2）在旋转过程中，BH= ．
【题型5 利用相似三角形的判定与性质解决翻折问题】
【例5】（2025·湖北黄冈·模拟预测）在矩形ABCD的对角线BD上取一点E，使得DE=2BE，连接CE，将△CEB沿CE翻折得到△CEF，连接AF,BF．
（1）∠AFB= ；
（2）若AB=6,BC=9，则AF= ．
【变式5-1】（2025·江苏宿迁·一模）如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△DEF的面积为（ ）
A．5cm2B．10cm2C．20cm2D．40cm2
【变式5-2】（2025·湖北襄阳·一模）如图，矩形ABCD中，AB