苏科版（2024）九年级下册用相似三角形解决问题导学案

这是一份苏科版（2024）九年级下册用相似三角形解决问题导学案，文件包含专题65用相似三角形解决问题举一反三讲义数学苏科版九年级下册原卷版docx、专题65用相似三角形解决问题举一反三讲义数学苏科版九年级下册解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共61页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc21129" 【题型1 灯光下的测量问题】 PAGEREF _Tc21129 \h 1
\l "_Tc28621" 【题型2 标杆测量问题】 PAGEREF _Tc28621 \h 3
\l "_Tc30635" 【题型3 利用镜子进行测量】 PAGEREF _Tc30635 \h 5
\l "_Tc12864" 【题型4 利用视线进行测量】 PAGEREF _Tc12864 \h 7
\l "_Tc30818" 【题型5 古典文化中的测量问题】 PAGEREF _Tc30818 \h 9
\l "_Tc16142" 【题型6 光学成像中的测量问题】 PAGEREF _Tc16142 \h 10
\l "_Tc28608" 【题型7 裁剪问题】 PAGEREF _Tc28608 \h 11
\l "_Tc8120" 【题型8 三角形中内接矩形】 PAGEREF _Tc8120 \h 13
\l "_Tc6423" 【题型9 实物抽象出相似问题】 PAGEREF _Tc6423 \h 14
知识点 相似三角形的应用
利用影长测量物体的高度
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决；
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长，再计算出被测量物的长度.
利用相似测量河的宽度(测量距离)
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上,必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形；
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度.
借助标杆或直尺测量物体的高度
利用杆或直测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.
【题型1 灯光下的测量问题】
【例1】如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的E处和F处，且BF=FE=DE，AE与CF相交于点O．
(1)若AE⊥CF，求路灯AB的高度；
(2)连接OB，若AB=8米，求OB的值．
【变式1-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明想利用相关数学知识测量这个路灯的高．如图，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为EF（点A、D、E在一条直线上，点A、C、F在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度DO=1m，窗高CD=1.5m，OE=1m，EF=4m，其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且AB⊥BE，CO⊥OE．求出路灯的高度AB．
【变式1-2】如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行12m到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两路灯的高度都是9.6m．
(1)当AP=QB=xm时，求x的值；
(2)当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由．
【变式1-3】（24-25九年级上·四川成都·期末）在成都未来科技城福田TOD地铁站台，以银杏为设计元素的“科技树”，像一个个超大雨伞，兼具集雨水收集、灯光联动等功能，实现站台整体的绿色低碳（如图1）．在数学活动课中，小明利用硬纸板自制Rt△CHM测量“科技树”的高度，即AG的长（如图2）：已知，在Rt△CHM中，CH=1.2米，HM=0.5米，E，F是树干上两点，目测点C到地面的距离CD=EF=2米，到树干的水平距离CE=108.2米，他通过调整位置，使斜边CM与点E在同一直线上，另一条直角边CH与“科技树”左侧最高点A在同一直线上，树冠A的正投影点G到树干底端F距离即GF=17米．求“科技树”AG的高度．
【题型2 标杆测量问题】
【例2】（2025·河南周口·一模）南阳解放纪念碑位于中国历史文化名城南阳市白河游览区，是南阳一处重要的爱国主义和革命传统教育基地．某综合实践学习小组在学习了《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动．他们把“测量南阳解放纪念碑的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告．
根据活动报告，求南阳解放纪念碑AB的高度（结果精确到0.1 m）．
【变式2-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个阳光明媚的午后，莹莹游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，莹莹不能到达信号塔的正下方，于是她决定利用太阳光线来进行测量．如图，她在地面上的点D处竖立一根长为4.5米的标杆CD，此时发现标杆CD与塔AB在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点E处，已知B、D、E三点在一条直线上，AB⊥BE，CD⊥BE，用测距仪测得BD=49.5米．
(1)请在图中画出标杆CD与塔AB在太阳光下的影子末端E；
(2)若测得此刻DE=5.5米，请你求出信号塔的高度AB．
【变式2-2】（24-25九年级上·山西晋中·期中）太谷鼓楼位于山西省晋中市太谷区旧城十字街中心，始建于明万历四十三年，是晋汾地区鼓楼建筑中的代表作品，鼓楼是太谷的象征，有风眼之称．某校数学兴趣小组决定采用如下方法来测量鼓楼的高度．如图2，该小组成员选取与底端B在同一水平地面上的E，G两点，分别垂直地面竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG约为13.5m．从标杆EF后退1.5m到点D处（即ED=1.5m），从点D处观察顶端A处，使A、F、D三点共线；从标杆GH后退3m到点C处（即CG=3m），从点C处观察顶端A处，使A、H、C三点共线，其中点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内．请根据上述测量数据，求鼓楼AB的高度．
【变式2-3】如图1，AB为路灯主杆，BC为路灯的悬臂，AB=4.6m，BC=0.5m．MN为足够长的标杆，标杆垂直地面且挂有若干个灯筑．已知BC⊥AB于点B，AM=4.5m，高度为1.6m的小艺同学沿地面AM走着去看灯笼与路灯C，GD=2m，绘制示意图（如图2），G，D，H三点共线，GH∥AM，∠CDE=90°且∠DFH=∠EDH，连结CH能满足△CDH与点D、E、F为顶点的三角形相似，此时所看到的灯笼F与H点的距离为 m．
【题型3 利用镜子进行测量】
【例3】塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度．
【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角；
【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔CD的高度，他先在地面点P处平放一面镜子，然后沿直线CP退至点A处，此时眼睛B恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端D．经测量，小明的眼睛到地面的距离AB=1.6m，AP=1.2m，CP=57.0m，求北寺塔CD的高度；
【解决问题】小明再将镜子移至直线AC上的点Q处，当他回到点A处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部E．
①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点Q（不写作法，保留作图痕迹）；
②经测量，AQ=1.5m，求塔刹DE的高度（精确到0.1m）．
【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）为了测量物体AB的高度，小小带着工具进行测量．方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿BC方向移动，当移动2米到D处时（即CD=2米），恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离ED为1.5米．然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得FH为6米，DF为8米．已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算物体AB的高度．
【变式3-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为建筑造型设计立意，配以天圆地方的设计理念．安安和明明想利用所学的几何知识测量榆林人民大厦的高度，测量方案如下：如图，安安位于明明和大厦之间，在直线BM上的点C处放置一个平面镜，镜子不动，安安来回走动，走到点D时，恰好在镜子中看到大厦顶端A的像，此时测得安安眼睛与地面的高度ED=1.6米，CD=0.8米，同时，在阳光下，大厦AB的影子顶端与明明的影子顶端恰好重合于H，测得明明身高FG为1.8米、影长FH为1.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，DF=14.5米，C、D、F、H均在BM上，图中所有点均在同一平面内，请你根据上述信息，求该大厦AB的高度．（平面镜的大小忽略不计）

【变式3-3】为了测量路灯EP的长度，小明从灯杆底部N沿人行道拉一皮卷尺到B处，在BN之间水平放置一平面镜，移动镜子的位置分别到C，D两点时，小明恰好能在镜中分别看到两灯全貌，其视线如图所示，已知点B，C，D，N在同一水平直线上，且AB，MN均垂直于BN，D、P、F三点共线，且EP⊥MN，FM⊥MN．已知小明眼睛离地面的高度AB=1.8m，BC=1.2m，CD=0.6m，DN=10m，MF=3m．求路灯EP的长．（平面镜的大小忽略不计，结果精确到0.1）

【题型4 利用视线进行测量】
【例4】（24-25九年级下·陕西西安·期中）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN=M′N′，露台的宽CD=GE，测得GE=2.5米，EN′=3米，N′N=3.9米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.1米）
【变式4-1】（2025·河南郑州·二模）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果较好．如图，一副展览画悬挂 在墙上，展览画的宽AB=0.6m，画框的下边缘紧贴在墙上，上边缘与墙壁的距离BC=0.2m，为了使观赏者欣赏画作时的视觉效果最佳，视线DE需落在展览画中心位置E处，且与AB垂直，已知观赏者眼睛D 与展览画底端A在同一水平线上（即DA⊥AC）， 求达到最佳 视觉效果时，观赏者与墙壁的距离AD的长 ．
【变式4-2】（2025·广东佛山·二模）【项目主题】测量距离
【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）．
【实践工具】皮尺，测角仪等工具．
【实践操作】
方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过180°，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得CE=am，BC=bm．
同学们还设计了方案二、方案三……
【问题解决】
(1)根据方案一，求A、B两点间的距离；
(2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求A、B两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用∠1、∠2、∠3等表示）．
【变式4-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD．小明在距离树0.3m的B处AB=0.3m，看树的顶端D的视线为ED，原地再看爸爸的头部，视线为EF，爸爸经过移动调整位置，当EF⊥ED时爸爸停止移动，这时测得AC=1.1m．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，小明的眼睛到地面的距离EB=1.6m，爸爸的身高CF=1.8m，求树的高度AD．
【题型5 古典文化中的测量问题】
【例5】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．
【变式5-1】《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问：竿长几何？”其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于15尺，另外再有一根标杆，杆长1.5尺，量得标杆的影子为0.5尺，则木杆的长为（ ）
A．5尺B．15尺C．30尺D．45尺
【变式5-2】（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）《周髀算经》中记载∶“偃矩以望高”，是指把“矩”(图中ABC)的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边AB紧贴地面，BC和旗杆EF均垂直地面．测得AB长0.5m，BD长0.2m，BE长17m，则旗杆EF的高度为 m．
【变式5-3】《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何．”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立高都是3丈(1丈=53步）的标杆CD和EF，D，F相隔1000步，并且AB，CD和EF在同一平面内，从D处后退123步到G处时，A，C，G在一条直线上；从F处后退127步到H处时，A，E，H在一条直线上，则山峰的高度AB为 步．
【题型6 光学成像中的测量问题】
【例6】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，爸爸拿的光源与小明手的距离为1米，如图2．在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（ ）
A．增加0.5米B．增加1米C．增加2米D．减少0.5米
【变式6-1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了小孔成像的实验、并在《墨经》中有这样记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为9cm，像距为14cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是7cm，则蜡烛火焰的高度是 cm．
【变式6-2】（2025·山西长治·三模）在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，MN为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜MN的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜MN左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛AB，透过凸透镜后成的像为CD．平行于主光轴的光线AF，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线AO会聚于点C．若物距OB=6cm，像距OD=12cm，则凸透镜MN的焦距OE的长为 cm．
【变式6-3】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．若焦距OF=4，物距OB=6，小蜡烛的高度AB=1，求蜡烛的像CD的长度以及像CD与透镜MN之间的距离．
【题型7 裁剪问题】
【例7】现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张
【变式7-1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为52分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 立方分米．
【变式7-2】在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“L”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知AB=9，BC=16，FG⊥AD.
求（1）线段AF与EC的差值是___
（2）FG的长度.
【变式7-3】一个小风筝与一个大风等形状完全相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知它们的对应边之比为1：3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm．
（1）小风筝的面积是多少？
（2）如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需用多长的材料？（不记损耗）
（3）大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？
【题型8 三角形中内接矩形】
【例8】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）张师傅有一块如△ABC的锐角三角形木料，其中BC=120mm，高AD=80mm，张帅傅想把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PN与AD交于点E．
(1)当点P恰好为AB中点时，MQ=___________
(2)当四边形PQMN为正方形时，求出这个零件的边长；
(3)图2，如果把这块材料形状改为Rt△ABC的斜板，已知∠A=90°，AB=80mm，AC=60mm，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使MQ在BC上，P、N两点分别在AB，AC上，且PN=80mm，求出平行四边形PQMN的面积．
【变式8-1】（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）近年来，全国各地积极践行绿色发展理念，把打造绿色宜居环境作为提升城市形象和居民幸福感的重要举措，科学规划、合理布局，不断优化人居环境如图，某市要从一块Rt△ABC的城市绿地上划出一块矩形EFGH做花坛．已知∠A=90°，AB=160m，AC=120m，要求矩形花坛的长与宽的比为2:1，且较长边在BC上，点G、F分别在AB、AC上，所划出的矩形花坛的长和宽各是多少？
【变式8-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域，预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE之间的距离为1.4m，车宽AF=1.8m，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3DF=2AF，点A，F分别在PB，PE上，点C，D在EB上，求汽车盲区EB的长度．
【变式8-3】（1）【问题探究】如图①，点B，C分别在AM，AN上，AM=12米，AN=20米，AB=2米，BC=2.6米，AC=1.2米．
①探究△ABC与△AMN是否相似并说明理由；
②求MN的长．
（2）【问题解决】如图②，四边形ACBD规划为园林绿化区，对角线AB将整个四边形分成面积相等的两部分，已知AB=60米，四边形ACBD的面积为2400平方米，为了更好地美化环境，政府计划在BC，AC边上分别确定点E，F，在AB边上确定点P，Q，使四边形EFPQ为矩形，在矩形EFPQ内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪，为了方便市民观赏，计划在FQ之间修一条小路，并使得FQ最短，根据设计要求，求出FQ的最小值，并求出当FQ最小时，花卉种植区域的面积．

【题型9 实物抽象出相似问题】
【例9】如图是一个常见的铁夹的剖面图，OA，OB表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动轴的位置，CD⊥OA，垂足为D，DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为（ ）
A．30mmB．32.5mmC．60mmD．65mm
【变式9-1】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆EF∥BC，AE=13BE，EF=0.4米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米．
【变式9-2】如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2m．当BC=2.5m时，点B到地面的距离BE=1.5m，则点A到地面的距离AD为（ ）
A．2.6mB．2.5mC．2.46mD．2.22m
【变式9-3】如图是一个矩形足球球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB=a米．某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门，已知BD=3a米，QD=3a米，对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.25a米；此时门将站在张角∠AQB内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，MN中点与AB距离 米时，刚好能成功防守．
活动项目
测量南阳解放纪念碑的高度
活动方案
“测角仪”方案
方案示意图
实施过程
①选取与纪念碑底座点B位于同一水平地面的D处立一标杆CD；
②测量B,D两点间的距离；
③在F处从点E看到标杆顶点C与纪念碑顶点A在同一条直线上；
④测量D，F两点间的距离；
⑤测量E到地面的高度EF
测量数据
①CD=2.4 m；②BD=227 m；③DF=3 m；④EF=1.6 m
说明
①图上所有点均在同一平面内；②AB，CD，EF均与地面垂直