2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题12函数零点问题之三变量问题与共零点问题(4大题型)(学生版+解析)

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题型一：求值问题
题型二：求参数范围
题型三：求变量范围与最值
题型四：共零点问题
【方法技巧总结】
1、分离参数：将问题转化为函数最值恒成立，通过求导确定参数范围；
2、联立方程：解方程组找共同零点，结合韦达定理或消元法；
3、导数分析：研究函数单调性、极值，判断交点存在性；
4、图像辅助：利用函数图像交点验证解的情况。
【典型例题】
题型一：求值问题
【例题1】（2025·高三·重庆沙坪坝·开学考试）设，函数，若恰有三个不同的零点，且是其中的一个零点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】因为，且定义域为，
所以为偶函数，则也为偶函数，
又恰有三个不同的零点，
所以有，即，
所以，
同除以得，，设，
当时，不成立；
当时，，解得，则，；
当时，，解得不合题意舍去，
所以，
故选：B．
【例题2】已知函数，若方程在区间内有三个实数根，且，则等于 ．
【答案】/
【解析】函数，由，得函数图象的对称轴，
方程在上的实根，即函数在上的图象与直线的交点横坐标，
作出函数的图象及直线，，
观察图象知，当时，直线与在上的图象有3个交点，
由图象的对称性知，，即，
所以.
故答案为：
【典例1-1】（2025·高三·甘肃定西·期末）若函数的图象与函数的图象的任意连续三个交点的连线构成一个等腰直角三角形，则 ．
【答案】
【解析】
．
由可得，即
不妨取，得三个连续的交点依次为，
如图，因为是等腰直角三角形，设线段中点为，
则，，．
由，得，
故答案为：
【典例1-2】已知函数，若在区间内恰好存在三个不同的，使得，则的最小正周期不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设且上恰好存在三个不同的根，
结合余弦函数的图象及性质知，，可得，
所以最小正周期为.
故选：A
【变式1-1】（2025·高三·青海·期末）若函数的图象与函数的图象的任意连续三个交点的连线构成一个等腰直角三角形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】．令，得．
不妨取，得三个连续的交点依次为．
设线段的中点为，则，因为是等腰直角三角形，所以．
由，得.
故选：C.
题型二：求参数范围
【例题3】已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方程有三个不同的实数根，即函数的图象与直线有三个不同交点，
作函数的图象如图所示，，
观察图象，得当时，函数的图象与直线有三个交点，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
【例题4】（2025·山西太原·一模）已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
两侧平方得，即，
所以，
对于且，有，
上，即在上单调递增，
上，即在上单调递减，
当时有，当时有，当时有，
在上值域为，在上值域为，在上值域为，
当时，，则有三个根，则，满足题设；
当时，，可得或，共有两个零点，不合题设；
当时，或，且，
若，则，即为其中的两个根，
此时，结合上述分析且有且仅有一个根，共有三个零点，满足题设；
若，则为其中的两个根，而且有且仅有一个根为，
此时，一共只有两个零点，不满足题设；
若，则，此时为其中一个根，
此时，结合上述分析且有且仅有一个根，共有两个零点，不满足题设；
综上所述，的取值范围为.
故选：A.
【典例2-1】若关于x的方程存在三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于方程，当时，不成立，所以不是方程的解.
由题意关于x的方程存在三个不等的实数根，
等价于存在三个不等的实数根.
令，则，
所以在上，单调递减；
在上，单调递增.
时，；时，；时，，
函数图象如图，
令，则，
所以在上，单调递增；
在上，单调递减.
时，；时，；时，，
图像如图，
令，则，
由于在上恒成立，
所以在上，单调递减；
在上，单调递增，且.
从的函数图象可以看出，
当时，；当且时，.
函数大致图象如图，
则存在三个不等的实数根，.
故选：D.
【典例2-2】若函数是定义在上的偶函数，对任意的，当时，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴是周期为的函数．
又∵时，并且函数是偶函数．∴函数在上图象如图所示：
当，则，，
当，则，，
直线过，直线与的图象有3个不同的公共点，
当时，直线与的图象有无数个交点，
当时，直线与的图象有3个不同的公共点，有2个根，有1个根，
满足，即得，所以．
当时，直线与的图象有3个不同的公共点，有2个根，有1个根，
，即得，所以．
综上，实数的取值范围为.
故选：B．
题型三：求变量范围与最值
【例题5】设函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，
当时，当且仅当时等号成立，
则，且在上递增，在上递减，
当时，单调递增，且，作出函数的图象，如下，
观察图象，当且仅当，函数有三个不同的零点，
当时，，当时，令，则，有，，
因此，而函数在上递减，则，
所以的取值范围是.
故选：A
【例题6】已知函数 ，若方程有三个不同的实数根且 ，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】方程有三个不同的实数根，即直线与函数的图象有3个交点，
则当时，直线与射线有一个交点，
当时，直线与函数有2个交点，
在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图，
令直线与图象相切的切点为，由求导得：，
则，解得，即直线与图象相切时，，
因此当且仅当时，直线与函数的图象有3个交点，
由，解得，由，得，
即，因此，函数在上递减，
当时，，所以的取值范围是.
故答案为：
【典例3-1】设函数关于x的方程有三个不等实根，且，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】画出函数的图象，观察图形知，仅当时，方程有三个不等实根，
分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设，显然关于对称，则，
另一个交点位于直线上，在中，当时，，即，
因此，所以.
故答案为：
【典例3-2】（2025·广东佛山·二模）已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为 ；若，则的最大值为 .
【答案】
【解析】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，
由有三个零点，则，
由，而，则，
又，则，，
则，且，
对于且，则，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
所以，
综上，最大值.
故答案为：，.
【变式3-1】已知函数、的图象恰有三个交点，交点坐标分别为.则下列判断：
①②
③④
其中正确的是 .
【答案】①②④
【解析】因为，
又，
所以的对称中心为，
因为函数、的图象恰有三个交点，
且也是中心对称图形，
所以两个函数图象的三个交点也关于对称，
不妨设，则应为其中一个交点，故，
对于①，因为关于对称，则，
所以，故①正确；
对于②，将代入直线方程得，即，
联立得：，
因为是方程的根且，
所以是方程的两个根，
由韦达定理得，所以，故②正确；
对于③，因为，所以，
又
，
所以，故③错误；
对于④，，
因为两个函数图象的三个交点也关于对称，
所以，则，
即，故④正确.
故答案为：①②④.
题型四：共零点问题
【典例4-1】（2025·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得或，
由为增函数，解得或，
当时，则有或，
则存在，使得不等式，不符合；
当时，则有或，
则存在，使得不等式，不符合；
当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立，
因此，即.
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
【典例4-2】设函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题可得函数的定义域为，
因为函数恒成立，而，故，
则或，解得或，
若，得不等式的解集为，
则使得，不满足题意；
若，得不等式的解集为，
则使得，不满足题意；
若，得不等式的解集为，
则使得，不满足题意；
若，得不等式的解集为，满足题意，
综上所述，
所以，
因为且，即，
所以的取值范围为，
所以的取值范围为.
故选：C.
【变式4-1】设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意函数的定义域为，当时，，
则由，得恒成立，因为的值域为，故不可能恒成立，故不成立；
当时，由，得，由得，
由，得，由得，因为恒成立，故，即，
故，设，则，由，得到，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
故，所以的最小值为，
故选：D.
【变式4-2】已知，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，原不等式化为恒成立，
令，，求导得，
由得，；由得，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，当时，，当时，，
则函数在上有两个零点，记为，
显然当或时，，当时，
要使恒成立，则也是的两个零点，
于是，由，得，即，因此，
令，求导得，由，得，由得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以的最小值为.
故选：A
【变式4-3】已知实数，设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，恒成立，显然不满足题意；
当时，，故需要恒成立，显然不可能成立；
当时，若，则当时，，此时若取，则，则，不满足题意，故；
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
故两个函数的零点相同，则，同时成立，
则，故．
设，则，
由可得，即在上单调递增，同理在上单调递减．
注意到，当时，，故作出函数的大致图象如图所示：
因为，，，所以，
所以．
故选：A．
【过关测试】
1．已知函数，其中为自然对数的底数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数，作出函数的大致图象如图：
由有三个不同的零点，即函数的图象与有三个不同的交点，
结合图象，可得，即实数的取值范围是
故选：D
2．（2025·高三·全国·开学考试）函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于函数，令，则，
所以，解得，，
所以函数的零点为，.
当时，因为在区间上有且仅有三个零点，
所以当，，时满足条件，当时不满足条件，
所以，解得；
当时，因为在区间上有且仅有三个零点，
所以当，，时满足条件，当时不满足条件，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：C
3．函数是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知得，，
则，所以函数的图象关于直线对称，关于原点对称，
又，进而有，
所以函数是以为周期的周期函数．
由有三个零点可知，函数与函数得图象有三个交点，
当直线与函数图象在上相切时，由，
即，故方程有两个相等得实根．
由，解得，
当时，，令，
所以，所以，
所以在上的图象为以为圆心，为半径的圆弧（四分之一圆），
根据对称性可知在上的图象为以为圆心，为半径的半圆（轴及上方部分），
在上的图象为以为圆心，为半径的半圆（轴及下方部分），
作出函数与函数的图象如图：
由图知当直线与函数图象在上相切时，，
当直线与函数图象在上相切时，，
数形结合可得在上有三个零点时，实数满足，
再根据函数的周期为，可得所求的实数的范围为．
故选：C
4．（2025·高三·河北衡水·开学考试）已知函数有三个零点，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数有三个零点，
则有方程在上有三个不等的实数根，显然不符合要求，
令，问题等价于在上有三个不等的实数根，
函数，则的定义域为，有三个零点，
，
设，其中，
①当，即时，在上单调递增，有，所以，单调递增，不合题意；
②当，且，即时，，所以，单调递增，不合题意；
③当，且，即时，设的两根为，，
解得，，
，解得或，，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，
构造函数，则有，
当时，单调递增；当时，单调递减，
有，所以，即.
取，，
（其中，所以，即，
取，，
（其中，所以，即，
所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，
在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且，
所以时，有三个零点，此时，
即时，函数有三个零点.
故选：D.
5．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，且在R上单调递增，
，即，
方程，即，于是，
即，令，依题意，直线与函数的图象有三个不同的交点，
求导得，当时，，
当时，，函数在上递减，在上递增，
当时，取极小值；当时，取极大值为，
而当或时，恒有，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象得，原方程有三个不同实根，所以实数的取值范围为，
故选：A
6．（2025·河南濮阳·模拟预测）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，得，即，
记，则，对求导得，
因为当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
且当时，且，当时，，当时，，
则函数的大致图象如图，
记，由于有三个不同的零点，
所以必有两个不同的零点，记为，
当时，有，即，无解；
当时，有，即，无解；
当时，有，即，
解得，
所以的取值范围为.
故选：B.
7．（2025·高三·四川成都·期中）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，.
因为，所以在上单调递增.
当时，；当时，.
因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根，
即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点.
由题意可得，，则当时，；当时，，
所以是方程的根，则，即，且，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：A.
8．（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C． D．1
【答案】D
【解析】当时，，不满足恒成立；
当时，令，可得或，
函数的零点为和，
因为恒成立，所以，
所以，
令，则，
令，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则，
所以的最小值为1.
故选：D
9．（2025·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．9
【答案】C
【解析】解法一：的定义域为，易知函数在R上单调递增，
在R单调递减，
令解得或；
由恒成立可知必有，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
解法二：同法一得，
设点，则点在定直线上，
设点，则，
当时有最小值，由点线距公式可得，
故的最小值为．
故选：C．
10．已知，，若关于的不等式在恒成立．则的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】B
【解析】设.
由已知，在单调递增，
当时，；当时，.
由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根，
即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意，则当时，；当时，.
所以是方程的根，则，即，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
则的最小值是.
故选：B.
11．已知函数在时有最大值和最小值，设.若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围
【答案】
【解析】，
因为，当时，，为常函数，不满足题意；
所以，，在上单调递增，
因为函数在时有最大值和最小值，
所以，解得，
方程等价于，
即，，
令，则方程化为，，
因为方程有三个不同的实数解，
所以，画出的图像如下图所示，
所以，，有两个根､，且或，.
记，
所以，，即，此时
或得，此时无解，
综上，，即实数的取值范围.
故答案为：.
12．已知函数，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，则 ．
【答案】1
【解析】由题意可知：，
令，解得：或，
当时，恒成立，可知在上单调递增，不合题意；
当时，则，
当，；当，；
可知在，上单调递增；在上单调递减；
当时，则，
当，；当，；
可知在，上单调递增；在上单调递减；
综上所述：，且的两个极值为，.
若有三个零点，则，
即，
若的取值范围恰好是，
可知是关于a的方程的根，
代入可得，解得，
若，不等式即为，
整理可得，解得，符合题意，
综上所述：.
故答案为：1.
13．（2025·高三·江苏南通·开学考试）若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】不等式，即，不等式成立，则，
令，，则,
令，得或，得，
在和上单调递增，在上单调递减，
，且如图所示，
当时，至多有一个整数解．
当时，在区间内的解集中有且仅有三个整数，
只需，即，解得
故答案为：
14．（2025·河南·二模）已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为 ，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为 ．
【答案】 0
【解析】因为有三个零点，且，
所以有两个不相等的实数根，
所以，解得，
故a的取值范围为．
由题得，
所以，
同理，，
故
．
故答案为：，0．
15．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】①当时，
所以，，
，
解得，不符合题意，所以在上无解.
②当时，，
所以，，，
令，所以，
即
令，所以，
所以，所以在单调递增，
所以，即.
此时在上有唯一解；
③当时，，
因为函数恰有三个零点，
所以在上有两解，
即在上有两解，
即在上有两解.
令
所以，即
解得，
综上①②③，所以的取值范围是.
故答案为：.
16．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数有三个极值点，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为R，求导得，
由函数有三个极值点，得有三个不同的零点，显然，
则方程有三个不相等的实根，令，于是直线与的图象有三个不同交点，
求导得，由，得，由得，或，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
，又时，恒成立，因此，
而，则，令，则，即，
令，求导得，
令，求导得，函数在上单调递减，
，则，函数在上单调递减，，
而函数在上单调递增，当时，，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
17．已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 .
【答案】0
【解析】令，其中，，，互不相等.
则.
.
故答案为：0.
18．函数，若函数有三个零点，则实数m的值为 .
【答案】
【解析】由的定义域为，
当时，得，恒成立，
所以1在上单调增减，此时；
当时，，，
所以在上单调递增；
当时，，，
当时，；当，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，画出函数图象如下：
显然，当时，与的图象有三个交点，
此时有三个零点，满足要求，所以实数的值为.
故答案为：.
19．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，
在中，，
当时，解得或，
当即时，单调递减，
当即，时，单调递增，
∵，，
当，
方程有三个不同的实根，
∴即，
故答案为：.
20．（2025·北京西城·模拟预测）若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点，
的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去，
如图数形结合可得
故答案为：
21．（2025·上海青浦·一模）已知三个互不相同的实数、、满足，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题，，
得，
得，
所以，
则，
又，
所以由韦达定理得a和b为关于x的方程的两不等根，
所以，
得，
再由，所以，
构造函数，
则，
得或，
所以在，上，单调递增，
在上，单调递减，
，，
，
所以在上范围为，
所以的取值范围为.
故答案为：