2026年新高考数学函数与导数小题突破训练专题02奇函数+M模型问题(学生版+解析)

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奇函数+M模型通常指函数，其中f（x）为奇函数．解题时，首先利用奇函数的性质，分析函数图象的对称性．然后，结合M的值，判断函数图象的上下平移情况．对于求值或证明问题，可将用替换，简化表达式．此外，还需注意奇函数在原点处的性质，如，这有助于快速求解某些特殊点的函数值．掌握这些方法和技巧，能有效应对奇函数+M模型的相关问题．
【典型例题】
例1．（2025·高三·河南·期中）已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】D
【解析】因为，，
令，
则，
设，，则，
所以是奇函数，最大值为，最小值为，
则，由，解得．
故选：D．
例2．（2025·高一·安徽阜阳·期末）若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（ ）
A．有最小值B．有最大值5C．有最大值6D．有最小值
【答案】A
【解析】设，
因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称，
又
，
所以是奇函数，
因为在上有最大值，所以在上有最大值为，
所以在上有最小值，所以在上有最小值．
故选：A．
例3．（2025·高一·辽宁鞍山·阶段练习）若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】，
令，则其定义域为，又，
所以为奇函数，则，
所以，则．
故选：B．
例4．（2025·高三·山东淄博·阶段练习）函数与函数的图象交于不同的两点，．若点满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是一次函数，且函数图象过原点，所以的图象关于原点对称，为奇函数，
函数的定义域为，关于原点对称，
，所以函数为奇函数，函数的图象关于原点对称．
又因为函数与函数的图象交于不同的两点和，
所以和关于原点对称，设，则，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
当且仅当时等号成立．
故选：A．
例5．（2025·高三·河南·阶段练习）已知函数的最大值与最小值之和为6，则实数a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】，定义域为，
令，
因为，所以函数为奇函数，
设的最大值为，最小值为，
所以，
因为，函数的最大值与最小值之和为，
所以，解得．
故选：B
例6．（2025·高三·全国·专题练习）设函数的最大值为a，最小值为b，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】∵，
设，则，即，所以为奇函数，
由于奇函数的图象关于原点对称，
∴，
从而，
故选：D．
例7．（2025·高三·全国·专题练习）设函数，（为常数），曲线和恒有交点时，的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】依题意，令，即，令，
因为，所以是奇函数，
所以，故．
故选：B．
例8．（2025·高三·广东清远·开学考试）已知函数，若，则（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】D
【解析】由，其定义域为R，
又，
所以，则．
故选：D
例9．（2025·高三·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则 ．
【答案】4048
【解析】令，得，令，则，
所以，令，
所以，为奇函数，．
令，
则，
即为奇函数，所以．
而，
所以．
故答案为：4048
例10．（2025·高一·天津和平·期末）已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是 ．
【答案】
【解析】因为，，
令，，则，
因为定义域关于原点对称，，
所以是在上的奇函数，
故由奇函数的性质得，
所以，
所以，则．
故答案为：．
例11．（2025·高一·广东汕头·期末）函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，
令，定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数，∴，
∴，
，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
例12．（2025·高三·西藏拉萨·阶段练习）已知函数，若，则 ．
【答案】
【解析】由，则，
又，故．
故答案为：
例13．（2025·高三·北京·强基计划）设函数，且，则 ．
【答案】
【解析】由于，
于是函数是一个单调递增的奇函数，
而．
故答案为：
【过关测试】
1．（2025·全国·一模）设函数的最大值为a，最小值为b，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】∵，
函数为奇函数，
由于奇函数的图象关于原点对称，∴，
从而，
故选：D．
2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知定义域为的函数有最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则等于（ ）
A．7B．8C．9D．6
【答案】D
【解析】定义域为的函数有最大值和最小值，所以．则，令，则是奇函数，故，故，又，故．
所以．
故选：D
3．（2025·河南·模拟预测）若函数且为常数在（为常数）上有最小值，则在上（ ）
A．有最大值12B．有最大值6
C．有最小值D．有最小值
【答案】A
【解析】设，
因为，所以的定义域为，关于原点对称，
，
即为奇函数，且，
因为在上有最小值，所以在上有最小值，
由奇函数的对称性知，在上有最大值，
所以在上有最大值，
故选：A
4．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值与最小值之和为6，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】若将函数图象上所有的点向左平移一个单位得到，
则，
令，，
因为，
所以为奇函数，
则在区间上的最大值和最小值之和为0，
则在区间上的最大值和最小值之和为，
故在区间上的最大值和最小值之和为，则，
解得．
故选：C
5．（2025·高三·全国·专题练习）若存在常数，，使得函数对定义域内的任意值均有，则的图象关于点对称，函数称为“准奇函数”．现有“准奇函数”，对于，则函数的最大值与最小值的和为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】令，则，所以的图象关于点中心对称．
令，则，所以为奇函数．
因为，设在处取得最大值，则在处取得最小值，
所以，
所以的最大值与最小值的和为6．
故选：B．
6．（2025·高三·山东枣庄·期中）若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】，
令，
因为函数的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值为，最小值为，
因为，
所以函数是奇函数，
所以，即，所以．
故选：B．
7．（2025·高三·全国·专题练习）若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（ ）
A．4B．8C．6D．12
【答案】B
【解析】，．有，
取，则，故，
取，则，故，
令，则，故为奇函数，
，设，
，故为奇函数，故为奇函数，
故，
则，
故
故函数在上的最大值和最小值的和是8，
故选：B．
8．（2025·全国·模拟预测）设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1B．0C．D．2
【答案】B
【解析】由恒成立可知函数的定义域为，
由可知为奇函数，
则．
故选：B
9．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（ ）
A．B．6C．2D．
【答案】B
【解析】函数，
设，
因为，
所以，
则在上是奇函数，且最大值与最小值之和为零，
当时，函数的最大值与最小值的和为
．
故选：B．
10．（2025·高三·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，
由复合函数单调性的判断方法，知此函数在上为增函数
又，所以为上的奇函数，故其最大值加最小值为0，
所以．
故选：C
11．（2025·高一·湖南株洲·期末）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（ ）
A．8B．4C．2D．0
【答案】B
【解析】令，则，得；
令，则，
所以；令，
则，
所以为奇函数，故，即，
所以．
故选：B．
12．（2025·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为（ ）
A．2B．eC．D．
【答案】C
【解析】，
令，定义域关于原点对称，
于是，故为奇函数，
所以在区间上的最大值与最小值之和为0，
故函数在区间上的最大值与最小值之和为2．
所以，于是
，当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为．
故选：C．
13．（2025·山西临汾·模拟预测）若，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】由，得，令函数，
由，得，令函数，
在函数图象上任取点，该点关于直线对称点，
显然，而，
即点在函数的图象上，因此函数图象与函数的图象关于直线对称，
而点在函数的图象上，点在函数的图象上，
又函数在R上单调递减，函数在R上单调递增，所以的值唯一，
于是点与点关于直线对称，所以．
故选：C
14．（2025·高一·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ．
【答案】4
【解析】因为，
令，则，
又因为，所以函数为奇函数，
所以，所以．
故答案为：4．
15．（2025·高三·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】6
【解析】设，
则的定义域为，且连续不断，
由，可知为奇函数，
设在上的最大值为，
由奇函数的对称性可知在上的最小值为，
则函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以．
故答案为：6．
16．（2025·高三·福建莆田·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】
【解析】因为，
设，
则，
设，
则，
所以是上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
由，得，
故答案为：
17．（2025·高三·安徽·期中）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】1
【解析】，
设，则，
记，
因为，
所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：1．
18．（2025·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】
，
令，，
因为定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值之和为0，
则函数在区间上的最大值与最小值之和为2，即．
又，，
所以
，
当且仅当，，即，，等号成立．
故答案为：
19．（2025·全国·模拟预测）已知定义在R上的增函数满足对任意的，都有，且，函数满足，，且当时．若在上取得最大值的x值依次为，，…，，取得最小值的x值依次为，，…，，则 ．
【答案】2600
【解析】因为，
令，可得，
令，可得，
因为，所以，．
因为，可知的图象关于点对称，
又因为当时，，则在上单调递增，且，
所以在上单调递增，且．
因为，则的图象关于直线对称，
所以在上单调递减，且，
故在上的最大值为4，最小值为0．
由得，则，
所以，得，
故的一个周期为4，且在处取得最小值0，在处取得最大值4，
所以．
故答案为：2600．
20．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是 ．
【答案】/
【解析】已知，，
则，故函数在定义域内为非奇非偶函数，
令，
则，
则在定义域内为奇函数，
设的最大值为，则最小值为，则的最大值为，最小值为，
则，∴，
所以，
∴当时，，
∴关于中心对称，
故答案为：
21．（2025·安徽安庆·三模）若，都有成立，则函数在上的最大值与最小值的和为 ．
【答案】
【解析】依题意，，都有成立，
令，则，所以；
令，，即
令，则的定义域为，
且，
故为上的奇函数，
，
令，则的定义域为，
且，故为上的奇函数，
故为上的奇函数，由奇函数的图象关于原点对称，故在上的最大值与最小值的和为
故为上的最大值与最小值的和为，
故答案为：
22．（2025·高三·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，对任何实数、，都有，且函数的最大值为，最小值为，则的值为 ．
【答案】
【解析】，，
构造函数，则，
令，可得，，令，则，
，所以，函数为奇函数，即，
所以，，得，
所以，，
则函数的图象关于点对称，则该函数最高点和最低点也会关于这个点对称，
因此，，故答案为．
23．（2025·高一·江苏泰州·阶段练习）已知函数x的最大值为Ｍ，最小值为ｍ，则Ｍ＋ｍ＝ ．
【答案】2
【解析】，又为奇函数
∴的图象关于点对称，
∴最大值对应的点与最小值对应的点也关于点对称
∴，即
故答案为2
24．（2025·高一·广东湛江·期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值 ．
【答案】
【解析】由题意知，（），
设，则，
因为，定义域为，关于原点对称，
所以为奇函数，
则在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以．
故答案为：．
25．（2025·高一·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】4
【解析】是定义在上的奇函数，则有，
，
设，函数定义域为，
，为奇函数，
则有，即，所以．
故答案为：4．
26．（2025·高三·全国·专题练习）函数在上的最大值和最小值分别为，则 ．
【答案】2
【解析】，
令，，为奇函数，所以关于对称，
所以关于对称，
所以．
故答案为：2．
27．（2025·高三·全国·专题练习）设函数的最大值为M，最小值为m，则 ．
【答案】1
【解析】易知，设，则为奇函数，．
于是，，
由奇函数的图象关于原点对称，得，
∴．因此．
故答案为：．
28．（2025·高一·山东·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 ．
【答案】4046
【解析】，
设，定义域关于原点对称，
由，知函数为奇函数，
因为，，
所以．
故答案为：4046．
29．（2025·高三·全国·专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ．
【答案】2
【解析】当时，，当或时，，
所以的定义域为．
又，
设，则，∴ g（x） 为奇函数；设 g（x） 的最大数值为M，最小值为N，
则，则的最大数值为，最小值为，
∴的最大值与最小值之和为，得．
故答案为：2．